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        對(duì)線性交叉遞推數(shù)列問(wèn)題的探究

        2022-01-22 05:27:30江蘇省海安高級(jí)中學(xué)226600吉海波
        關(guān)鍵詞:消元公比降維

        江蘇省海安高級(jí)中學(xué) (226600) 吉海波

        一、考題呈現(xiàn)

        (2020年4月赤峰市高三??祭?8)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=2,b1=-1,an=2an-1-bn-1,bn=2bn-1-an-1,n∈N*,n≥2.

        (1)求證:數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列;

        該考題結(jié)構(gòu)對(duì)稱、優(yōu)美,兩個(gè)線性遞推關(guān)系式關(guān)系緊密,其中證明數(shù)列為等比數(shù)列{an-bn}是解題的基礎(chǔ),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.

        二、求解策略探析

        點(diǎn)評(píng):由于題中給出的兩個(gè)線性遞推式中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),因而這里運(yùn)用的“加減運(yùn)算”是最基本也是最簡(jiǎn)潔的策略.該策略依據(jù)兩個(gè)線性遞推式的特點(diǎn),并結(jié)合(1)的目標(biāo),利用兩式相加和相減運(yùn)算,先從整體上證明數(shù)列是等比或等差數(shù)列,然后再求得個(gè)體數(shù)列的通項(xiàng)公式的.

        分析2:(1)要證數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列,由于目標(biāo)明確,可運(yùn)用“待定系數(shù)”策略,只要證存在非零常數(shù)q,使得an-bn=q(an-1-bn-1)即可.

        策略2 (待定系數(shù)) (1)設(shè)an-bn=q(an-1-bn-1)(q≠0),則(2an-1-bn-1)-(2bn-1-an-1)=q(an-1-bn-1),整理得3(an-1-bn-1)=q(an-1-bn-1).所以q=3,所以an-bn=3(an-1-bn-1).又a1-b1=3,所以數(shù)列{an-bn}是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.

        (2)同策略1.

        點(diǎn)評(píng):該策略依據(jù)(1)的目標(biāo),先從整體上考慮利用待定系數(shù)列出關(guān)系式,然后求出待定系數(shù)后求解的.對(duì)于所證的目標(biāo)明確的這類問(wèn)題,“待定系數(shù)”是一種可行有效的策略.

        分析3:從代數(shù)方程的角度兩個(gè)線性遞推式可看成二元一次方程組,通過(guò)消元降維分別得到單個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系,再進(jìn)行求解.

        (2)同解法1.

        點(diǎn)評(píng):該策略以數(shù)列{an}為主,在求解的過(guò)程中還運(yùn)用到了“累加法”求和,同學(xué)們需好好體會(huì).就該題而言,應(yīng)用該策略實(shí)在是有點(diǎn)“小題大做”,純粹是為了說(shuō)明“消元降維”是求解這類線性遞推數(shù)列問(wèn)題一般性的策略.

        三、拓展變式

        上述的??碱}中,線性遞推關(guān)系中的系數(shù)交替,而且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),在“線性交叉遞推數(shù)列”一類問(wèn)題中是最為基礎(chǔ)、簡(jiǎn)潔的一種類型.在此基礎(chǔ)上,下面逐步拓展、變式為更為一般的情形.

        拓展1 系數(shù)交叉,常數(shù)項(xiàng)不為0,目標(biāo)明確

        變式1 (2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第19題)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

        (1)證明: {an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;

        (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

        分析:考題中的三種策略完全適用于這類問(wèn)題,按其中一種方法求解即可.

        (2)同解法1.

        拓展2 系數(shù)交替,目標(biāo)不明確

        變式2 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,4an+1=3an+bn+4,4bn+1=3bn+an+4.求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

        拓展3 系數(shù)無(wú)關(guān)

        變式3 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=5,an+1=-2an+bn+2,bn+1=3bn-4an+4,求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

        分析:由于兩個(gè)遞推式中的系數(shù)沒(méi)有關(guān)系,可從代數(shù)方程的角度,利用消元降維的策略求解.

        解:(消元降維)由an+1=-2an+bn+2,得bn=an+1+2an-2,所以bn+2+2an+1-2.代入bn+1=3bn-4an+4,得an+2+2an+1-2=3(an+1+2an-2)-4an+4,整理得an+2-an+1-2an=0,即an+2+an+1=2(an+1+an),所以數(shù)列{an+1+an}是首項(xiàng)為a2+a1=6,公比為2的等比數(shù)列,故得an+1+an=6·2n-1=3·2n.所以an+1-2n+1=-(an-2n),即數(shù)列{an-2n}是首項(xiàng)為-1,公比為-1的等比數(shù)列,所以an-2n=(-1)n,從而得an=2n+(-1)n.所以bn=an+1+2an-2=2n+2+(-1)n-2.可求得an=2n+(-1)n,bn=2n+2+(-1)n-2.

        四、題型歸納

        通過(guò)上述考題和變式題,對(duì)“線性交叉遞推數(shù)列”問(wèn)題的題型和求解策略歸納如下:

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