江西省鄱陽(yáng)縣第一中學(xué) (333199) 周方旦

在中學(xué)階段，集合是一個(gè)大家族，許多問(wèn)題都可以納入到集合中來(lái).在這些問(wèn)題當(dāng)中，主要有三種問(wèn)題值得重視，它們分別是集合的對(duì)象問(wèn)題、空集問(wèn)題及補(bǔ)集思想，鑒于這三點(diǎn)在集合中的重要性，本文以具體的例題加以闡述.

1 集合的對(duì)象問(wèn)題

我們知道把指定的對(duì)象放在一起就是一個(gè)集合，然而這個(gè)確定的對(duì)象是什么應(yīng)該要搞清楚，其中表現(xiàn)突出的是點(diǎn)集和數(shù)集的區(qū)分，這一點(diǎn)同學(xué)們?nèi)菀谆煜?，一般點(diǎn)的集合表示為{(x,y)|p(x,y)}，而數(shù)的集合表示{x|p(x)}.

例1 已知M={x|y=x2+1}，N={(x,y)|y=-x+1}，則M∩N=( ).

A.{0,-1} B.{(-1,0)，(0,1)}

C.{0,1} D.Φ

解析：首先我們要明確集合中的元素是什么，M集合中的元素是直線y=x+1上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而N={(x，y)|y=-x2+1}中的元素則是拋物線y=-x2+1所有的點(diǎn)，因此M與N之間是沒(méi)有交集的，因?yàn)樗鼈兪遣煌念?lèi)，故選D，而實(shí)際上有許多同學(xué)會(huì)選擇A或B，主要是因?yàn)闆](méi)有清楚集合的對(duì)象是什么而導(dǎo)致錯(cuò)誤的.

例2 已知P={(x,y)|y=x+1}，Q={(x,y)|y=-x+1)}，那么集合P∩Q=( ).

A.x=0,y=1 B.(0,1)

C.{0,1} D {(0,1)}

解析：只要明確集合中的對(duì)象是什么，本題幾乎不用任何計(jì)算，因?yàn)榧螾，Q都是點(diǎn)的集合，因此它們的交集一定是由點(diǎn)組成的集合，故選D.

2 補(bǔ)集思想

補(bǔ)集思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，有些問(wèn)題，我們?nèi)绻m當(dāng)運(yùn)用補(bǔ)集思想有時(shí)會(huì)使問(wèn)題解決起來(lái)更加簡(jiǎn)便.

例4 若命題“?x∈R使得ax2+2x+a≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______ .

分析：本題若我們直接去做，需要分a>0,a=0,a<0，同時(shí)結(jié)合Δ=b2-4ac加以討論，另外，可以運(yùn)用補(bǔ)集思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為?x∈R,ax2+2x+a>0恒成立.

例5 已知方程x2+ax+1-2a=0至少有一個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù)a的范圍.

分析：此題若從正面直接去做，容易漏解，不如反其道而行之，運(yùn)用補(bǔ)集的思路來(lái)考慮.由于方程x2+ax+1-2a=0至少有一個(gè)負(fù)根，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x2+ax+1-2a=0沒(méi)有負(fù)根，由此求出a的范圍，再求補(bǔ)集即可.

3.空集別忽視，否則悔不及

空集作為集合中一個(gè)真實(shí)的存在，學(xué)生總是容易忽視，它就像幽靈一樣存在于集合中時(shí)而跑出來(lái)帶來(lái)不少麻煩，因此應(yīng)當(dāng)警惕.

例7 已知集合A={x|x2-2x-3=0}，集合B={x|ax-2=0}，且B?A，求實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合M.

例8 已知A={x|1≤x≤6},B={x|m+1