武 東, 李 瓊

(1. 安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,合肥230036;2. 徽商職業(yè)學(xué)院 電子信息系,合肥231201)

0 引言

加速壽命試驗(yàn)在可靠性工程、航天電子等領(lǐng)域的地位舉足輕重,而在工程實(shí)踐中最為常用是恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)[1-7],通常簡(jiǎn)稱為恒加試驗(yàn)。恒加試驗(yàn)相對(duì)于步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)和序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn),有較為明顯的優(yōu)點(diǎn)[2-4]: 試驗(yàn)操作方法較為簡(jiǎn)便,對(duì)儀器設(shè)備要求不高;試驗(yàn)理論與方法已經(jīng)成熟,試驗(yàn)不易失敗;能在試驗(yàn)中獲得較多的可靠信息,試驗(yàn)結(jié)果比較精準(zhǔn)。鑒于此,開展和繼續(xù)研究恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方面的統(tǒng)計(jì)分析仍然具有必要性。關(guān)于累積失效模型(Cumulative Exposure Model,CE 模型) 恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析研究方面,文獻(xiàn)[5-6]中利用逆矩估計(jì)法研究了Weibull 分布恒加試驗(yàn)的的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì);文獻(xiàn)[7]中對(duì)定數(shù)截尾和定時(shí)截尾情形下Weibull 分布恒加試驗(yàn)進(jìn)行了貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析。文獻(xiàn)[8-9]中分別討論了CE模型下指數(shù)分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)的最大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)。

瑞利分布[10]在可靠性分析、藥品、壽命測(cè)試和無線電通信等許多現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用,開展瑞利分布在可靠性統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用研究具有很大必要性。瑞利分布在加速壽命試驗(yàn)方面的研究文獻(xiàn)報(bào)道較少,為此,本文對(duì)基于定數(shù)截尾情形CE 模型下瑞利分布恒加試驗(yàn)進(jìn)行了貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析。主要分為3個(gè)部分: ① 給出定數(shù)截尾下瑞利分布恒加試驗(yàn)的基本假定和試驗(yàn)安排;② 討論了定數(shù)截尾下瑞利分布恒加試驗(yàn)參數(shù)的最大似然估計(jì)和貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析,考慮貝葉斯估計(jì)涉及到復(fù)雜的積分,采用了Tierney Kadane 近似[11]獲得參數(shù)的近似貝葉斯估計(jì);③ 利用數(shù)值模擬方法對(duì)瑞利分布恒加試驗(yàn)基于定數(shù)截尾樣本的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了精度分析。結(jié)果表明貝葉斯估計(jì)方法精準(zhǔn)而實(shí)用。

1 基本假定與試驗(yàn)安排

2 最大似然估計(jì)

3 貝葉斯估計(jì)

在貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析中,未知參數(shù)的先驗(yàn)分布選取至關(guān)重要, 對(duì)于λ的先驗(yàn)分布取其共軛先驗(yàn)分布[12],即取Gamma 分布比較多,而加速系數(shù)δ的先驗(yàn)分布常取無信息先驗(yàn)分布,并假定二者是相互獨(dú)立的, 從而構(gòu)建了未知參數(shù)的先驗(yàn)分布。但在實(shí)踐中,兩個(gè)參數(shù)可能會(huì)存在某種關(guān)聯(lián)性,本文取的是以下先驗(yàn)分布,其先驗(yàn)密度[13]為:

4 數(shù)值模擬

以上得到了基于定截尾CE 模型下瑞利分布恒加試驗(yàn)的兩種貝葉斯估計(jì),現(xiàn)用利用統(tǒng)計(jì)模擬法對(duì)算法進(jìn)行有效性和精度分析,試驗(yàn)方案和估計(jì)結(jié)果見表1。

表1 定數(shù)截尾下瑞利分布恒加試驗(yàn)的估計(jì)結(jié)果Tab.1 Estimation results for Rayleigh distribution of constant stress accelerated life tests under Type-II censoring

表中: MLE、MCBayes 和TKBayes 分別表示參數(shù)的最大似然估計(jì)、MC 積分得到的貝葉斯估計(jì)和Tierney Kadane 近似得到的貝葉斯估計(jì)。相對(duì)均方誤差(RMSE)可以看出,該模型的兩種估計(jì)的精度較高, 特別是Tierney Kadane 近似得到的貝葉斯估計(jì)的精度更好,說明貝葉斯估計(jì)是精準(zhǔn)而有效的。

具體步驟如下[12]:

(4)利用本文方法可得λ、δ的貝葉斯估計(jì),參數(shù)的先驗(yàn)按式(10),其參數(shù)分別取為a=b=c=d=1,從而得到λ、δ的貝葉斯估計(jì)。

(5)重復(fù)上述模擬1 000 次,然后計(jì)算貝葉斯估計(jì)的相對(duì)偏差(Rbias)和相對(duì)均方誤差(RMSE)。

5 結(jié) 語

利用Tierney Kadane 近似法獲得了定數(shù)截尾下瑞利分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)的一種近似貝葉斯估計(jì)。這種貝葉斯估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是避免了復(fù)雜的積分計(jì)算,從而提高了估計(jì)精度,其缺點(diǎn)是需要求解非線性方程。如果想避免求解非線性方程,可考慮其他近似貝葉斯估計(jì)方法,比如馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC方法)等[15]。