陳 冰， 陳陽舟， 詹璟原

(1.北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部， 北京 100124； 2.教育部數(shù)字社區(qū)工程中心， 北京 100124)

多智能體網(wǎng)絡(luò)是由具備感知、通信、執(zhí)行能力的多個(gè)智能體構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng). 近年來，多智能體網(wǎng)絡(luò)的協(xié)作控制在無人機(jī)編隊(duì)、移動(dòng)車輛的協(xié)調(diào)合作和隊(duì)形控制、傳感器網(wǎng)絡(luò)以及交通網(wǎng)絡(luò)信號(hào)燈協(xié)調(diào)控制等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用. 多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)一致性是指智能體之間通過信息交換和相互協(xié)調(diào)使所有智能體的狀態(tài)趨于共同值[1]. 同樣，在日常生活中也存在通過多個(gè)智能體之間的相互協(xié)作來共同完成一項(xiàng)任務(wù)的現(xiàn)象，類似于生物群聚集的自然現(xiàn)象，如大雁南飛、魚群游動(dòng)、螞蟻覓食、蜜蜂筑巢等生物行為，體現(xiàn)了多智能體之間的協(xié)同大大提高個(gè)體行為的智能化程度，進(jìn)而更高效地完成很多個(gè)體無法完成的活動(dòng). 實(shí)際情況中的多智能體系統(tǒng)具有個(gè)體的數(shù)量多，并且智能體之間的相互作用關(guān)系也較復(fù)雜. 因此，大部分學(xué)者研究多智能體系統(tǒng)時(shí)，利用相關(guān)的圖論知識(shí)將它建模成圖，從而解決多智能體協(xié)同控制問題. 目前，盡管多智能體系統(tǒng)一致性理論研究取得了豐富的成果，但還存在一些不足. 例如，多智能體系統(tǒng)在一般有向通信拓?fù)錀l件下具有采樣數(shù)據(jù)丟失的一致性問題研究還不充分.

由于數(shù)字傳感器和控制器的廣泛應(yīng)用，采樣控制被運(yùn)用到多智能體網(wǎng)絡(luò)中，控制協(xié)議只在預(yù)定的采樣時(shí)刻進(jìn)行信息交換和控制更新. 文獻(xiàn)[2]直接將連續(xù)系統(tǒng)離散化，建立了一個(gè)基于采樣數(shù)據(jù)的一致性協(xié)議. 文獻(xiàn)[3]利用采樣控制得出了二階采樣多智能體系統(tǒng)一致性的充要條件. 文獻(xiàn)[4-5]基于數(shù)據(jù)采樣控制器研究了領(lǐng)導(dǎo)- 跟隨多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性問題. 文獻(xiàn)[6]分別針對(duì)固定和馬爾可夫切換拓?fù)淝闆r提出了基于采樣觀測(cè)器的一致性協(xié)議. 文獻(xiàn)[7]考慮了狀態(tài)不可測(cè)的二階無向圖多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)保性能一致性問題，采用觸發(fā)條件和Lyapunov穩(wěn)定性方法，給出了保性能輸出反饋一致性的一些充分條件. 文獻(xiàn)[8]討論了位置和速度采樣的二階多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性的牽引控制. 文獻(xiàn)[9]研究了具有切換拓?fù)浜陀型ㄐ旁肼暻闆r下的二階多智能體系統(tǒng)的平均一致性問題，結(jié)果表明均方平均一致的充分條件是: 一致性控制增益滿足近似性條件，并且每個(gè)采樣時(shí)刻的通信拓?fù)鋱D是一個(gè)具有生成樹的平衡圖. 文獻(xiàn)[10]采用模型預(yù)測(cè)控制方法研究了周期采樣系統(tǒng)和連續(xù)時(shí)間一階系統(tǒng)一致性問題，給出了解析解以及系統(tǒng)漸近一致的理論證明. 文獻(xiàn)[11]解決了具有網(wǎng)絡(luò)時(shí)變時(shí)延和動(dòng)態(tài)變拓?fù)涞碾x散時(shí)間的多智能體系統(tǒng)一致性問題. 文獻(xiàn)[12-13]分別研究了連續(xù)時(shí)間二階多智能體系統(tǒng)的量化一致性問題. 文獻(xiàn)[14]利用脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和圖論，得到了保證基于采樣數(shù)據(jù)多智能體系統(tǒng)一致的充要條件.

智能體之間通過共享的通信網(wǎng)絡(luò)傳輸信息，通信信道中會(huì)存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包、有限帶寬等情況，將會(huì)給多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制性能帶來極大影響，因此，對(duì)其進(jìn)行分析和研究顯得非常重要. 近幾年，針對(duì)具有采樣數(shù)據(jù)丟失情況的多智能體系統(tǒng)的一致性問題的研究成果較少，關(guān)于此類問題現(xiàn)有的研究成果[15-18]主要針對(duì)無向通信拓?fù)浠蛴邢蚱胶馔ㄐ磐負(fù)淝闆r，并且文獻(xiàn)中僅考慮了一階或二階多智能體系統(tǒng)特殊情況. 文獻(xiàn)[15]研究了具有連續(xù)時(shí)間丟包的數(shù)據(jù)采樣多智能體系統(tǒng)一致性問題，采用正交矩陣作為變換矩陣，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，實(shí)現(xiàn)了具有丟包和時(shí)延的采樣數(shù)據(jù)多智能體一致性. 文獻(xiàn)[16]討論了連續(xù)時(shí)間有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)丟包情況下的一致性，通過引入誤差變量，將一致性問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并將采樣數(shù)據(jù)看作時(shí)變時(shí)延數(shù)據(jù)，通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函，利用積分不等式技術(shù)得出了領(lǐng)導(dǎo)- 跟隨多智能體系統(tǒng)達(dá)到一致的充分條件. 文獻(xiàn)[17-18]針對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中存在隨機(jī)通信通道故障并且各通信通道的數(shù)據(jù)丟失情況是相互獨(dú)立的領(lǐng)導(dǎo)- 跟隨多智能體系統(tǒng)，利用Lyapunov方法和線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)設(shè)計(jì)控制協(xié)議增益，得出了所有智能體狀態(tài)達(dá)到漸近一致的充分條件. 但上述文獻(xiàn)的結(jié)論都是基于通信拓?fù)錇闊o向圖或是有向平衡圖.

本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，考慮一般高階線性多智能體系統(tǒng)在有向通信拓?fù)湎麓嬖诓蓸訑?shù)據(jù)丟包時(shí)的一致性問題，其中隨機(jī)丟包由Bernoulli隨機(jī)過程描述. 基于通信拓?fù)鋱D的有向生成樹的關(guān)聯(lián)矩陣構(gòu)造線性變換將一致性問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成一個(gè)降階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題，應(yīng)用漸近穩(wěn)定性理論給出隨機(jī)丟包情況下的多智能體系統(tǒng)狀態(tài)一致性條件，并采用線性矩陣不等式方法將分布式一致性協(xié)議的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)凸優(yōu)化問題，并進(jìn)一步分析采樣周期的允許邊界、隨機(jī)丟包概率與拉普拉斯矩陣之間的相互影響關(guān)系.

1 問題描述

考慮N個(gè)智能體構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)，其中第i個(gè)智能體的狀態(tài)方程為

(1)

式中，xi∈Rn,ui∈Rm分別為第i個(gè)智能體的狀態(tài)變量與控制輸入變量(或稱為控制協(xié)議).

假設(shè)智能體i能獲取其鄰居智能體j∈Ni相對(duì)于自身的狀態(tài)信息，并且假設(shè)智能體i獲得采樣數(shù)據(jù)

(2)

考慮具有采樣數(shù)據(jù)丟包的控制協(xié)議

(3)

式中,K為需要設(shè)計(jì)的反饋增益矩陣.隨機(jī)變量α(tk)為滿足Bernoulli分布的{0,1}序列，滿足

(4)

定義1如果對(duì)智能體i的任意初始狀態(tài)xi(0)滿足

則稱多智能體系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(3)作用下狀態(tài)達(dá)到均方漸近一致.

定義2如果一個(gè)有向圖除根節(jié)點(diǎn)以外的其他所有節(jié)點(diǎn)都只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，則稱一個(gè)有向圖為一棵樹；如果存在一棵包含該有向圖所有節(jié)點(diǎn)的樹，則稱一個(gè)有向圖包含一棵有向生成樹.

本文假設(shè)多智能體系統(tǒng)的有向通信拓?fù)鋱D包含有向生成樹.

2 基于線性變換的一致性問題轉(zhuǎn)化

在控制協(xié)議(3)的作用下，系統(tǒng)(1)的全狀態(tài)閉環(huán)形式為

(5)

現(xiàn)在討論如何通過線性變換將系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(3)下的一致性問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為降階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題.由上述假設(shè)，通信拓?fù)鋱DG的一棵有向生成樹包含N個(gè)節(jié)點(diǎn)和N-1條有向邊，可選取該有向生成樹的關(guān)聯(lián)矩陣來構(gòu)造線性變換.

(6)

式中，1N為元素全為1的N維列向量.逆矩陣W-1可表示為

利用矩陣(6)構(gòu)造系統(tǒng)(5)的線性變換

(7)

則進(jìn)一步系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化為

(8)

(9)

式中：

引理1[19]系統(tǒng)(9)等價(jià)變?yōu)?/p>

(10a)

(10b)

式中：

3 一致性條件和協(xié)議設(shè)計(jì)

為分析系統(tǒng)(10a)在采樣數(shù)據(jù)丟包情況下的穩(wěn)定性，首先給出幾個(gè)相關(guān)引理.

成立.

引理3[21]對(duì)任意向量a、b和一個(gè)正定矩陣Φ，有

-2aTb≤aTΦa+bTΦ-1b

下面給出使系統(tǒng)(10a)均方漸近指數(shù)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件.

定理1多智能體系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(3)作用下狀態(tài)達(dá)到均方漸近一致的充分條件是: 存在正定對(duì)稱矩陣X∈Rn×n，標(biāo)量β>0以及矩陣Y∈Rm×n，使得

(11)

成立.式中

若不等式(11)的可行解為X和Y，則控制協(xié)議(3)中的反饋增益矩陣可取為K=YX-1.

證明針對(duì)系統(tǒng)(10a)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V(t)=yT(t)(IN-1?P)y(t)

對(duì)V(t)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得到

(12)

根據(jù)式(10a)，得出

(13)

利用引理3來獲取式(13)中第1項(xiàng)的上界，可得

(14)

根據(jù)引理2，式(14)中的第2項(xiàng)可寫為

同樣,對(duì)式(13)第3項(xiàng)利用引理3獲得該項(xiàng)的上界，可得

(15)

(16)

由式(16)可得

(17)

其中標(biāo)量β>0.

應(yīng)用引理3，式(16)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(18)

根據(jù)式(17)(18)，可得

(19)

令

接下來證明

(20)

利用反證法，假設(shè)式(19)不成立，至少存在一個(gè)t*滿足E{V(t*)}>E{V(tk)}.由t∈[tk,tk+1),t-tk<τ,以及式(19)得出

(21)

式(20)表明E{V(tk)}自tk時(shí)刻起在較短時(shí)間內(nèi)是逐漸減小的，因此，存在t**∈[tk,t*]滿足

(22)

由式(19)可知

(23)

令φ(t)=eβtV(t)/V(tk),并由式(19)(20),t∈[tk,tk+1), 可得出

(24)

對(duì)式(24)兩邊在[tk,tk+1]進(jìn)行積分，得到

(25)

由式(25)以及t-tk<τ, 得出

(26)

然后

E{V(tk+1)}≤σV(tk)≤σ2V(tk-1)≤…≤
σk+1E{V(t0)}

(27)

4 數(shù)值例子

例1考慮二階多智能體系統(tǒng)包含6個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)智能體系統(tǒng)的模型參數(shù)為

假設(shè)通信權(quán)值均gij=1，由圖1可知系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為

圖1 有向拓?fù)銯ig.1 Directed topology

根據(jù)式(6)構(gòu)建的非奇異變換矩陣為

選擇采樣周期τ=0.05滿足定理1中的條件.假定系統(tǒng)的初始值為

具有丟包的數(shù)據(jù)采樣多智能體系統(tǒng)(1)在信息拓?fù)?3)下的狀態(tài)軌跡如圖2所示.圖3為隨機(jī)變量α(·)Bernoulli 0-1分布圖.

圖2 例1中多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectories of multiagent systems in example 1

圖3 例1的隨機(jī)變量α(·)分布Fig.3 Stochastic variable α(·) distribution of example 1

例2智能體個(gè)數(shù)及其通信拓?fù)鋱D同例1，但每個(gè)智能體的狀態(tài)方程(1)的參數(shù)矩陣為

選擇采樣周期τ=0.2來滿足定理1中的條件.假定系統(tǒng)的初始值為

具有丟包的數(shù)據(jù)采樣多智能體系統(tǒng)(1)在信息拓?fù)?3)下的狀態(tài)軌跡如圖4所示.圖5為隨機(jī)變量α(·)Bernoulli 0-1分布圖.

圖4 例2中多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectories of multiagent systems in example 2

圖5 例2的隨機(jī)變量α(·)分布Fig.5 Stochastic variable α(·) distribution of example 2

5 結(jié)論

1) 為克服文獻(xiàn)[15]特殊情況下的無向通信拓?fù)浠蛴邢蚱胶鈭D的不足，在此基礎(chǔ)上本文針對(duì)一般有向通信拓?fù)淝闆r下的采樣數(shù)據(jù)丟失的多智能體系統(tǒng)一致性問題進(jìn)行研究，采用有向生成樹的關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行線性變換，將數(shù)據(jù)采樣的多智能體的漸近狀態(tài)一致性問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題.

2) 利用LMIs分析了轉(zhuǎn)化后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得出了采樣周期的允許邊界、隨機(jī)丟包概率和拉普拉斯矩陣之間的相互關(guān)系，證明了在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性條件與采樣周期允許范圍內(nèi)使得所有智能體狀態(tài)達(dá)到漸近一致.

3) 仿真結(jié)果表明，多智能體系統(tǒng)狀態(tài)分量仍能各自漸近地達(dá)到一致，從而實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的目的.

4) 雖然本文對(duì)周期采樣的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了研究，但是該方法可以擴(kuò)展到非周期采樣以及丟包概率在每條通道上不同分布的情況.該方法在不同情況下的拓展研究將是下一步的研究目標(biāo).