陳兆波，李曉卿，田春英

(太原科技大學(xué) 1.裝備制造業(yè)創(chuàng)新發(fā)展研究中心；2.經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，山西 太原 030024；3.哈爾濱理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

制造企業(yè)的設(shè)備維修決策對(duì)自身的產(chǎn)出量以及供應(yīng)鏈其他成員的相關(guān)決策都會(huì)產(chǎn)生影響。首先，維修費(fèi)用是制造商產(chǎn)品生產(chǎn)過程中總成本的重要組成部分，而收益與成本的權(quán)衡是企業(yè)生產(chǎn)決策的關(guān)鍵依據(jù)；其次，設(shè)備維修決策直接決定制造商的產(chǎn)能，產(chǎn)能水平又作為約束條件影響整條供應(yīng)鏈的最優(yōu)運(yùn)營策略；此外，因設(shè)備維修不當(dāng)導(dǎo)致的延期交貨還會(huì)給企業(yè)造成如違約賠償、信譽(yù)下降等損失。因此，有必要將設(shè)備維修與供應(yīng)鏈管理結(jié)合起來，研究維修活動(dòng)對(duì)供應(yīng)鏈決策的影響。

根據(jù)維修時(shí)機(jī)，設(shè)備維修可以分為事后維修和預(yù)防性維修兩類。由于事后維修會(huì)延長設(shè)備停機(jī)時(shí)間，增加維修代價(jià)，并且隨著傳感器技術(shù)以及信息技術(shù)的發(fā)展，預(yù)防性維修越來越受到人們的青睞。理論研究表明，預(yù)防性維修可以有效地延長機(jī)器使用壽命并減少運(yùn)行成本[1-2]。因此，大量文獻(xiàn)從維修效果和費(fèi)用方面設(shè)計(jì)了諸多的預(yù)防性維修策略[3-4]?？紤]到維修活動(dòng)與企業(yè)其他生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)相互影響，還有一些研究將預(yù)防性維修與庫存管理、生產(chǎn)調(diào)度等決策相結(jié)合，研究維修與其他職能活動(dòng)的集成優(yōu)化模型。例如，Jin等[5]在需求不確定情況下引入期權(quán)策略，研究制造商的最佳預(yù)防性維修策略和生產(chǎn)策略。Kaican等[6]在考慮預(yù)防性維護(hù)水平的情況下，研究制造企業(yè)的生產(chǎn)和預(yù)防性維護(hù)的聯(lián)合決策問題。Wu等[7]在按訂單生產(chǎn)模式下，構(gòu)建以平均成本最小化為目標(biāo)的動(dòng)態(tài)調(diào)度和預(yù)防性維修模型，研究表明，預(yù)防性維護(hù)和調(diào)度策略的協(xié)調(diào)有助于提高機(jī)器的利用率。Nourelfath等[8]針對(duì)存在經(jīng)濟(jì)依賴性和共同失效的設(shè)備組，研究了生產(chǎn)系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)批量和最佳T-age預(yù)防性維護(hù)策略。Li等[9]基于績效合同研究單組件系統(tǒng)的兩階段預(yù)防性維護(hù)策略。現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于維修決策都是局限于制造企業(yè)內(nèi)部，缺乏供應(yīng)鏈背景下維修策略的研究。

供應(yīng)商的維修活動(dòng)通過提高設(shè)備的可靠性對(duì)整條供應(yīng)鏈產(chǎn)生影響，這是因?yàn)榫S修不善造成的設(shè)備故障或停機(jī)會(huì)產(chǎn)生供應(yīng)中斷風(fēng)險(xiǎn)。在供應(yīng)鏈管理的研究中，許多學(xué)者對(duì)供應(yīng)鏈的供應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)問題進(jìn)行了研究。一般來講，多源采購策略、制造商提供支持與合作策略、響應(yīng)價(jià)格策略是目前解決供應(yīng)中斷風(fēng)險(xiǎn)問題的3種主要手段。大量文獻(xiàn)表明，多源采購能夠有效解決供應(yīng)不確定的問題[10-14]，但多源采購會(huì)增加采購成本[15]，并且還存在產(chǎn)品質(zhì)量是否一致的問題[16-17]。此外，還有一些研究通過響應(yīng)價(jià)格以緩解需求，降低企業(yè)的市場需求量以解決供應(yīng)不足的問題[18]。如Anderson等[19]研究分散式和集中式兩種模式下價(jià)格競爭對(duì)供應(yīng)鏈成員利潤的影響。Yang等[20]和Ali等[21]研究價(jià)格競爭在供應(yīng)中斷下的應(yīng)用，確定最優(yōu)價(jià)格策略。目前研究采購商通過與供應(yīng)商合作從而提高供應(yīng)穩(wěn)定性的文獻(xiàn)較少。例如，Wang等[22]研究如何通過過程改進(jìn)提高供應(yīng)可靠性，并將其與雙源采購策略進(jìn)行對(duì)比。Wang等[23]研究制造商改善供應(yīng)商的可靠性帶來的潛在溢出效應(yīng)問題。陳崇萍等[17]研究制造商對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行投資改善質(zhì)量的雙源采購決策問題。在上述相關(guān)文獻(xiàn)中，學(xué)者們重點(diǎn)關(guān)注企業(yè)運(yùn)用知識(shí)轉(zhuǎn)移或資金技術(shù)投資改善供應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)，并未考慮設(shè)備維修對(duì)供應(yīng)企業(yè)產(chǎn)能的影響。本文考慮通過設(shè)備維修提高供應(yīng)穩(wěn)定性的情形，研究此時(shí)供應(yīng)鏈成員的最優(yōu)運(yùn)營策略。

綜上，本文研究供應(yīng)商在通過設(shè)備維修提高供應(yīng)能力的前提下，供應(yīng)鏈成員企業(yè)的維修與運(yùn)營聯(lián)合決策問題。在討論制造商維修策略的基礎(chǔ)上，研究制造商的最優(yōu)定價(jià)策略和零售商的最優(yōu)訂貨策略，并分析設(shè)備可靠性參數(shù)與市場規(guī)模參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的影響，分別研究其對(duì)制造商最佳產(chǎn)出量、最優(yōu)維修次數(shù)和利潤以及零售商利潤的影響，并通過收益共享契約對(duì)供應(yīng)鏈進(jìn)行協(xié)調(diào)，最后運(yùn)用數(shù)值方法分析零售商提供補(bǔ)貼以改善制造商設(shè)備可靠性的動(dòng)機(jī)臨界條件及其影響因素。

1 問題描述

考慮一條由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商構(gòu)成的單周期二級(jí)供應(yīng)鏈。制造商在綜合考慮生產(chǎn)和維修成本的情況下確定產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)w，單位產(chǎn)品可變成本為c(包括原材料成本、能源消耗費(fèi)用以及工人工資等)。零售商根據(jù)制造商提出的產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格確定產(chǎn)品的訂購量q，并且產(chǎn)品的價(jià)格需求函數(shù)為p=a?bq，其中，p為零售價(jià)格。產(chǎn)品的訂貨提前期為τ，不考慮產(chǎn)品的運(yùn)輸時(shí)間，即制造商的產(chǎn)品生產(chǎn)周期也為τ。

在訂貨期開始時(shí)，制造商收到下游零售商的訂單組織生產(chǎn)和設(shè)備維修，并且在期末向零售商配送產(chǎn)品。在生產(chǎn)過程中，制造商為防止設(shè)備失靈，提高生產(chǎn)率，需對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行若干次預(yù)防性維修。另外，在相鄰兩次預(yù)防性維修之間，制造商還需要在出現(xiàn)故障時(shí)對(duì)設(shè)備進(jìn)行小修以保證其正常運(yùn)行。這種維修活動(dòng)不改變?cè)O(shè)備性能，稱之為恢復(fù)性維修。單次恢復(fù)性維修的維修成本為CP，平均維修時(shí)間為tθ；單次預(yù)防性維修成本為CPM，平均維修時(shí)間為ts。制造商采取的維修方案是在一次預(yù)防性維修后，如果發(fā)生過k次故障(即進(jìn)行k次恢復(fù)性維修)，就進(jìn)行下一次預(yù)防性維修，并且在生產(chǎn)期間 [ 0,τ]內(nèi)總共進(jìn)行n次預(yù)防性維修作業(yè)，即生產(chǎn)期內(nèi)共發(fā)生kn次恢復(fù)維修。為確保下個(gè)生產(chǎn)周期開始時(shí)設(shè)備狀態(tài)完好，假設(shè)在計(jì)劃期 [ 0,τ]期末必須實(shí)施一次預(yù)防性維修，實(shí)施預(yù)防性維修的時(shí)間分別為t1,t2, ···,tn時(shí)刻，并且tn=τ。

2 制造商的維修決策

用Xi表示兩次預(yù)防性維修間隔之間的有效生產(chǎn)時(shí)間，則

參照文獻(xiàn)[5]假定，Xi服從Erlang分布，并且，Xi的平均值與設(shè)備在相鄰兩次預(yù)防性維修之間發(fā)生故障的次數(shù)(恢復(fù)性維修的次數(shù))成正比，即

其中，假設(shè)λ是與機(jī)器生產(chǎn)壽命有關(guān)的指數(shù)分布參數(shù)[24-25]， λ＞0， 且λ越小則設(shè)備可靠性越高，λ越大設(shè)備可靠性越差。另外，由于訂貨提前期由有效生產(chǎn)時(shí)間和設(shè)備維修時(shí)間構(gòu)成，從而

結(jié)合式(2)和(3)，可得

因此，制造商在[ 0,τ]內(nèi)的產(chǎn)能為

另一方面，結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)維修情況，在產(chǎn)能相同的情況下制造商會(huì)選擇維修次數(shù)較小的方案以降低設(shè)備維修費(fèi)用，因此，預(yù)防性維修次數(shù)n滿足n≤。對(duì)于給定的產(chǎn)品生產(chǎn)量q，制造商會(huì)使其產(chǎn)能與產(chǎn)品的生產(chǎn)量相等以減少預(yù)防性維修次數(shù)，防止過維修情形，即q=Q(n)。

圖1 制造商產(chǎn)品生產(chǎn)量與預(yù)防性維修次數(shù)之間的關(guān)系Figure1 Relationship between the manufacturer's product throughput and the number of preventive maintenance

3 考慮設(shè)備維修的供應(yīng)鏈決策

3.1 制造商與零售商的最優(yōu)策略

由于制造商確定的批發(fā)價(jià)格w與零售商的最優(yōu)產(chǎn)品訂購量q存在一對(duì)一映射關(guān)系，將零售商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)表示為w(q)=a?2bq，結(jié)合式(4)，制造商的利潤函數(shù)πm表示為

命題2若假設(shè)1成立，則制造商的最優(yōu)產(chǎn)品生產(chǎn)量q*與最優(yōu)預(yù)防性維修次數(shù)n*為

證明用“低產(chǎn)出”策略代表q≤Q0，用下標(biāo)L表示；用“高產(chǎn)出”策略代表Qo≤q≤Qmax，用下標(biāo)H表示。

3.2 雙方最優(yōu)策略的性質(zhì)分析

應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)式(9)中的一階條件兩端關(guān)于a求導(dǎo)，可以得到命題3。

由命題3和命題4，市場規(guī)模大小是影響供應(yīng)鏈企業(yè)設(shè)備維修與運(yùn)營策略的重要因素，命題5則給出了設(shè)備的可靠性對(duì)均衡結(jié)果的影響。

根據(jù)命題5第1)點(diǎn)，制造商最優(yōu)策略與λ的關(guān)系表示為圖2。a#和aˉ與 λ 負(fù)相關(guān)，反映設(shè)備可靠性很高時(shí)，制造商通過設(shè)備維修滿足市場需求以實(shí)現(xiàn)最大收益的必要性將會(huì)減小。命題5第2)點(diǎn)說明，當(dāng)市場規(guī)模低于某一閾值(a＜A)，設(shè)備可靠性變差，制造商最優(yōu)預(yù)防性維修次數(shù)會(huì)變少；但是當(dāng)市場規(guī)模高于閾值(a≥A)時(shí)，設(shè)備可靠性變差，制造商最優(yōu)預(yù)防性維修次數(shù)會(huì)變多。因此，制造商的最優(yōu)預(yù)防性維修次數(shù)與設(shè)備可靠性和市場規(guī)模是密切相關(guān)的。

圖2 制造商的最優(yōu)策略隨設(shè)備可靠性參數(shù)的變化情況(λ 1＞λ2)Figure2 The manufacturer's optimal strategy varies with the equipment reliability parameters

3.3 維修與運(yùn)營聯(lián)合決策對(duì)供應(yīng)鏈的影響分析

用符號(hào)“∧”表示制造商在生產(chǎn)過程中不采取預(yù)防性維修，即只在計(jì)劃期末預(yù)防性維修一次。很容易得到制造商的最優(yōu)產(chǎn)品生產(chǎn)量決策為

當(dāng)a≤時(shí)，不考慮維修策略時(shí)供應(yīng)鏈的最優(yōu)產(chǎn)出水平與考慮維修策略時(shí)相同，此時(shí)維修與運(yùn)營聯(lián)合決策不會(huì)產(chǎn)生影響。而當(dāng)a＞時(shí)，維修策略對(duì)供應(yīng)鏈的影響則會(huì)顯現(xiàn)出來。用?q?、 ?w?、 ?、 ?分別表示a＞aˉ時(shí)生產(chǎn)過程中采取預(yù)防性維修策略與不采取預(yù)防性維修相比，供應(yīng)鏈的產(chǎn)出量、批發(fā)價(jià)格、制造商的利潤及零售商利潤的增量。容易驗(yàn)證?q?＞0 ， ?w?＜0， ?＞0， ?＞0。這就說明，當(dāng)市場規(guī)模較大時(shí)，預(yù)防性維修有助于提高制造商的產(chǎn)品出產(chǎn)量，有助于降低產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格，并且使得制造商和零售商都能夠獲益。

4 考慮設(shè)備維修時(shí)的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)

由于制造商和零售商分別追求各自利潤的最大化，在考慮設(shè)備維修的情景下供應(yīng)鏈中同樣存在雙重邊際效應(yīng)。本節(jié)討論二者通過收益共享契約進(jìn)行供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的效果及條件。

首先，用πSC=πr+πm表示采取集中決策時(shí)供應(yīng)鏈的總利潤，仿照命題2，容易得出此時(shí)的最優(yōu)產(chǎn)出及維修策略，即

其中，

在收益共享契約下，制造商將以較低的價(jià)格wC向零售商提供商品，但零售商需將未來銷售收入的一定比例1 ?φ分給制造商作為補(bǔ)償。決策順序?yàn)椋褐圃焐淌紫葲Q策契約參數(shù)(wC，φ)；零售商以此為依據(jù)決策最優(yōu)的訂購量qC。此時(shí)，二者的利潤函數(shù)如下。

根據(jù)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)理論，有效的契約既要能夠提高供應(yīng)鏈的產(chǎn)出量使其盡量達(dá)到集中決策時(shí)的水平，又要保證協(xié)調(diào)后各成員方的收益高于不協(xié)調(diào)的情況。根據(jù)上述目標(biāo)，命題6給出了考慮設(shè)備維修時(shí)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)策略。

由命題6，當(dāng)市場規(guī)模處于某個(gè)特定區(qū)間時(shí)，雖然增大維修次數(shù)可以提高產(chǎn)量，但新增產(chǎn)能獲得的額外收益無法彌補(bǔ)維修成本支出。由于限制最優(yōu)產(chǎn)出量的主要原因是設(shè)備性能，而不是雙重邊際效應(yīng)，因此沒有必要進(jìn)行供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。當(dāng)市場規(guī)模較低(a＜a#) 時(shí)，n=n?=1，顯然制造商設(shè)計(jì)收益分配比例時(shí)不考慮設(shè)備維修成本，而主要考慮協(xié)調(diào)能夠帶來的產(chǎn)出量的提高。而當(dāng)市場規(guī)模較大(a＞aˉ)時(shí)，制造商通過控制φ的上限來實(shí)現(xiàn)維修費(fèi)用在雙方之間的分擔(dān)，并且φ越大，零售商留存的收益比例的上限越低。

5 零售商提供補(bǔ)貼改善設(shè)備可靠性的動(dòng)機(jī)分析

雖然收益共享契約能夠從提高運(yùn)營管理效率的角度提出改善供應(yīng)鏈成員績效的方法，但對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造提高其可靠性則有助于從本質(zhì)上緩解設(shè)備故障對(duì)供應(yīng)鏈企業(yè)的消極影響。前已述及，設(shè)備的可靠性系數(shù)λ將會(huì)對(duì)供應(yīng)鏈成員的均衡策略產(chǎn)生影響，以下命題則說明過高的λ將同時(shí)減小供應(yīng)商和零售商的利潤水平。

由命題7，當(dāng)市場規(guī)模較大時(shí)，制造商和零售商在一定程度上都存在改進(jìn)設(shè)備可靠性的動(dòng)機(jī)。假定設(shè)備的初始可靠性系數(shù)為λ0，改善后設(shè)備的可靠性系數(shù)為λ ， λ ＜λ0。假設(shè)設(shè)備可靠性系數(shù)與設(shè)備改造資金之間的函數(shù)為： λ=λ0/μB， 假定 λ0=1；B為設(shè)備改造資金，由零售商和制造商雙方共同承擔(dān)，該資金主要專項(xiàng)用于設(shè)備改造以提高設(shè)備可靠性。μ為常數(shù)，且μ ＞1，為改造資金對(duì)設(shè)備可靠性參數(shù)的影響系數(shù)，μ越大則資金的利用效率越高。函數(shù)形式基本符合實(shí)際情形：設(shè)備可靠性隨著投入的改造資金的增大而提高，且資金對(duì)可靠性參數(shù)的影響是邊際遞減的。用(λ0)、(λ0)表示設(shè)備改善前制造商和零售商的最優(yōu)利潤，(λ)、(λ)分別表示改善后制造商和零售商的最優(yōu)利潤(不包括投入的改造資金)。制造商和零售商在單次交易中投入改造資金的條件可以表示為

本節(jié)將采用數(shù)值分析的方法，分析制造商和零售商是否存在改善設(shè)備可靠性的動(dòng)機(jī)。假定c=2，b=0.5， τ=5，ts=1，tθ=0.6，CP=0.6 ，CPM=1.5，α0=0.4， β=0.3。根據(jù)第4節(jié)的結(jié)論，制造商和零售商的利潤隨設(shè)備可靠性參數(shù)的變化如圖3和圖4所示。

根據(jù)圖3，當(dāng)市場規(guī)模較小時(shí)，由于計(jì)劃期內(nèi)零售商的訂貨量較小，但是計(jì)劃期內(nèi)設(shè)備的恢復(fù)性維修成本較高，導(dǎo)致制造商的利潤為負(fù)。進(jìn)一步，隨著設(shè)備可靠性的提高(λ變小)，制造商的利潤提高，因此制造商在任何情況下都有改善設(shè)備可靠性的動(dòng)機(jī)。根據(jù)圖4，當(dāng)市場規(guī)模小于a0時(shí)，設(shè)備可靠性系數(shù)的提高并不會(huì)對(duì)零售商利潤產(chǎn)生影響，此時(shí)零售商將不會(huì)為制造商分擔(dān)設(shè)備改造資金。

圖3 制造商利潤隨設(shè)備可靠性參數(shù)的變化趨勢(shì)Figure3 The variation trend of manufacturer's profit with equipment reliability parameters

圖4 零售商利潤隨設(shè)備可靠性參數(shù)變化趨勢(shì)Figure4 The variation trend of retailer profits with equipment reliability parameters

由于設(shè)備可靠性系數(shù)與設(shè)備改造資金之間的函數(shù)為 λ=λ0/μB，因此如果改造后的設(shè)備系數(shù)相同，則B越大 μ會(huì)越小，其中B的上限值為設(shè)備改造后制造商和零售商利潤的增加總額，此時(shí)可以獲得μ的下限值。當(dāng)改造資金對(duì)設(shè)備可靠性參數(shù)的影響系數(shù) μ大于該下限時(shí)，制造商和零售商越容易進(jìn)行設(shè)備改造，否則制造商和零售商不會(huì)對(duì)設(shè)備進(jìn)行改造，所以可以用 μ的下限值反映設(shè)備改造決策的臨界點(diǎn)。

根據(jù)表1，當(dāng)市場規(guī)模固定時(shí)，隨著改造后設(shè)備可靠性越高，可用于設(shè)備改造的資金上限值會(huì)越大，但設(shè)備改造決策的臨界點(diǎn)(μ下限值)會(huì)越高。因此，設(shè)備改造效果與資金利用效率密切相關(guān)，且只有當(dāng)改造資金的利用效率足夠高才會(huì)使得設(shè)備改造發(fā)生。當(dāng)改造后的設(shè)備可靠性系數(shù)一定時(shí)，隨著市場規(guī)模的增加，可用于設(shè)備改造的資金上限值會(huì)先增加，然后降低，最后增加，從而使得設(shè)備改造決策的臨界點(diǎn)會(huì)先降低，然后增加，最后降低。例如，若 μ =1.4 并 且改造后 λ =0.8時(shí) ，當(dāng)a=5.5和a=8時(shí)不會(huì)發(fā)生改造活動(dòng)，但是當(dāng)a=7和a=10時(shí)就可能會(huì)發(fā)生改造活動(dòng)。因此，零售商在單次訂貨過程中的設(shè)備改造決策受設(shè)備改造效率、市場規(guī)模等多種因素的影響。

表1 設(shè)備改造決策的臨界點(diǎn)變化Table1 Critical point changes of equipment transformation decision

6 結(jié)論

本文在考慮設(shè)備維修活動(dòng)的情況下，針對(duì)單制造商和單零售商構(gòu)成的二級(jí)供應(yīng)鏈系統(tǒng)，利用博弈論的方法研究設(shè)備維修策略對(duì)供應(yīng)鏈決策的影響。研究表明，制造商的最大預(yù)防性維修次數(shù)與設(shè)備可靠性無關(guān)，而設(shè)備可靠性越高則最大產(chǎn)能越大。當(dāng)市場規(guī)模較大時(shí)，預(yù)防性維修有助于提高制造商的產(chǎn)品出產(chǎn)量，降低產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格；當(dāng)市場規(guī)模較小時(shí)，在期末進(jìn)行一次預(yù)防性維修即可滿足零售商的最優(yōu)訂購量。滿足一定條件下，收益共享契約能夠?qū)崿F(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。制造商在任何情形下都具有提高設(shè)備可靠性的動(dòng)機(jī)，而零售商只有當(dāng)市場規(guī)模較大時(shí)，才會(huì)為制造商提供設(shè)備改造資金。本文的設(shè)備改善決策是從單周期決策情景下提出的，未來可以將其擴(kuò)展到多周期情況。此外，本文假設(shè)需求是確定的，對(duì)于需求隨機(jī)情況下的考慮設(shè)備維修的供應(yīng)鏈決策，也是比較有意義的研究方向。