王賢鵬，何 楨

(天津大學 管理與經濟學部，天津 300072)

在制造業(yè)質量管理實踐中，很多重要過程和產品的質量特性由響應變量與協變量之間的函數關系表示。函數型質量特性分析優(yōu)化在汽車制造、零件車削加工、木制品加工、金屬注射成型等制造過程和產品中需求廣泛。例如，汽車制造業(yè)中，汽車發(fā)動機不同轉速對應的不同功率決定了汽車在起步、前行和剎車時的加速特點，該特性曲線受發(fā)動機制造材料厚度、線圈匝數、寬節(jié)比等因素的影響[1]；零件車削加工過程中，零件的特定形狀可表示為曲率、寬度與長度的函數，該函數關系受進刀深度和切割速率的影響[2-3]；金屬注射成型過程中，金屬件的重量隨高注射壓力的變化有所不同，零件重量與高注射壓力之間的函數關系受注射速度、緊固時間、緊固壓力、高注射時間等因素的影響[4]。

在上述函數型質量特性例子中，功率值、形狀參數值、重量等都是連續(xù)型變量，因此該類質量特性屬于連續(xù)型函數響應。當響應變量類型不是連續(xù)型，而是計數型時，響應變量與協變量之間形成的函數關系即為計數型函數響應。計數型函數響應優(yōu)化在工業(yè)制造業(yè)具有重要的應用。以手機液晶顯示屏制造過程為例，驅動集成電路與液晶屏導電層之間需要通過混有金屬球粒子的各向異性導電膠實現電路連接。在一定溫度壓力條件下，樹脂膠固化使驅動集成電路與液晶屏導電層之間實現粘連，同時金屬球粒子絕緣層爆破，粒子球上下表面分別與驅動集成電路和液晶屏導電層連接，實現二者的電路導通。驅動集成電路引腳可達上千，從左至右均勻排布，與液晶屏導電層端子對應區(qū)域一一連接。每個引腳區(qū)域內爆破的有效粒子數決定了該線路的電路導通電流大小，決定了液晶屏的像素顯示效果。驅動集成電路不同位置對應的引腳區(qū)域內有效金屬球粒子數量與位置變量之間構成計數型函數響應。該計數型函數響應受到溫度、壓力、壓接時間等工藝參數的影響。通過優(yōu)化有效粒子數與引腳位置變量的函數響應，可以改善液晶屏畫面顯示質量。計數型函數質量特性的優(yōu)化對制造業(yè)質量改善具有重要應用價值，因此本文對該類響應優(yōu)化方法進行研究。

1 文獻綜述

國內外學者已對連續(xù)型函數響應的試驗設計和優(yōu)化方法進行了較多研究。Govaerts等[5]提出采用基于多項式參數模型、按點函數回歸等方法，對非線性質量特性曲線進行優(yōu)化。Del等[6]從貝葉斯預測的角度，提出基于二階段層級混合效應模型的函數響應優(yōu)化方法。Goh[7]提出線性質量特性的因子篩選和優(yōu)化方法。許靜等[8]提出基于主成分分析的雙響應曲面法和滿意度函數相結合的函數響應優(yōu)化方法。Pan等[9]基于混合效應模型提出響應協變量與試驗因子選點的試驗設計方法，并給出了用于搜索D-optimal設計的算法。

針對多元函數響應優(yōu)化問題，Fogliatto[10]基于Hausdorff距離指標，結合滿意度函數法，對函數響應與數值響應同時優(yōu)化。Bakhtiarifar等[11]基于函數帶深度和過程能力指數，提出多元函數響應的綜合優(yōu)化方法。

已有研究主要針對的是連續(xù)型函數響應的分析和優(yōu)化方法，對計數型函數響應研究較少。本文以計數型函數響應為研究對象，基于無窮范數空間距離和滿意度函數方法，提出包含計數型函數的多響應優(yōu)化方法。通過仿真試驗，說明本方法能夠更精準地反映函數響應與目標函數之間的實際距離。最后，本方法應用于某液晶顯示屏制造商的柔性電路板與玻璃基板壓接工藝改進實例分析，結果令人滿意。

2 方法構建

2.1 計數型響應與協變量模型構建

記計數型函數響應的協變量為t，第i次試驗因變量為yi(t)。假定每次試驗協變量t的觀測值相同，且yi(t) 服從參數為μi的泊松分布，即

其中，p(yi(t))是yi(t)的概率質量函數；μi是位置參數；yi(t)! 表示yi(t)的階乘，即yi(t)!=1×2×···×yi(t)；yi(t)的所有可能取值為非負整數。給定泊松分布參數μi，則可以估計計數型響應樣本的均值為E(yi(t))=μi， 方差為Var(yi(t))=μi。

構建因變量yi(t) 與協變量t的廣義線性模型。記聯系函數為g(·)，采用對數函數作為聯系函數，對位置參數μi進 行轉換，并記轉換后的值為ηi，即

構建ηi與協變量t之間的線性模型為

其中，T是對應于協變量t的模型矩陣。當模型中只包含協變量的一階項時，有

θi為q維參數列向量。

采用迭代再加權最小二乘算法，對模型參數進行極大似然估計，采用似然比檢驗方法，檢驗廣義線性模型和回歸系數的顯著性[12]。進而通過式(2)和(3)估計函數響應的擬合值向量。

2.2 基于無窮范數空間距離指標的函數響應優(yōu)化方法

參考Fogliatto等[10]基于觀測值向量Hausdorff距離的函數優(yōu)化方法，本文在向量的范數空間內衡量函數之間的距離，結合滿意度函數法提出計數型響應優(yōu)化方法。本方法主要特點如下。1) 考慮響應的函數特性，采用擬合值向量而非觀測值向量進行優(yōu)化。2) 在無窮范數空間內計算響應向量與目標函數向量的距離，作為計算滿意度的基礎。這樣做的優(yōu)勢在于：(1) 能夠更精準地反映函數向量之間的距離；(2) 通過使函數響應因變量中距離目標函數最遠的點最近，保證所有函數點都令人滿意。

記第i次試驗所對應的計數型函數擬合值向量(y?i1(ti1),···,y?im(tim) ) 為y?i。在正無窮范數空間中，向量y?i與目標向量C之間的距離為[13]

在負無窮范數空間內，向量y?i與向量C之間的距離為

在工程實踐中，優(yōu)化目標通常分為望目、望大和望小3種情形。在望目情形下，優(yōu)化目標是使函數響應接近某一目標函數，即應使估計的函數擬合值向量與目標函數向量的距離越小越好。在正無窮范數空間內，優(yōu)化目標為

式(7)的解是使響應中距離目標函數對應點絕對距離最大的距離值最小，保證函數響應中的所有點均令人滿意。

在望大情形下，優(yōu)化目標是使函數響應在某一規(guī)格下限函數的上方，且越遠離越好。記規(guī)格下限函數對應于協變量觀測值的響應向量為L，在負無窮范數空間內，優(yōu)化目標為

式(8)的解是使響應中距離規(guī)格下限函數對應點絕對距離最小的距離值最大，保證函數響應中的所有點均令人滿意。

在望小情形下，優(yōu)化目標是使函數響應在某一規(guī)格上限函數的下方，且越遠離越好。記規(guī)格上限函數對應于協變量觀測值的響應向量為U，則優(yōu)化目標為

式(9)的解是使響應中距離規(guī)格上限函數對應點絕對距離最小的距離值最大，保證函數響應中的所有點均令人滿意。

2.3 包含計數型函數響應的多響應優(yōu)化方法

當試驗中有R(R＞1)個需要關注的質量特性時，在優(yōu)化中需要對各個響應的滿意程度進行綜合考量?？紤]第r個響應為計數型函數響應，結合傳統滿意度函數方法[14-15]，基于無窮范數空間距離指標定義滿意度水平。

對于望目情形，記函數響應擬合值向量與目標函數向量的最小距離為變量DLr，最大距離為變量DUr，采用線性滿意度函數，則不同因子水平所對應的響應滿意度為

其中，I[a,b](Dir)為指示函數，且有

對于望大或望小情形，在負無窮范數空間內，函數響應擬合值向量與規(guī)格下限或規(guī)格上限函數的最小和最大距離分別為DLr和DUr。則不同因子水平所對應的響應滿意度為

對于q個響應中的非函數型一般響應變量，采用傳統滿意度函數法對響應滿意度進行評價。參照傳統滿意度函數優(yōu)化方法，綜合考慮多個響應的滿意度，計算總體滿意度值為

其中，wr為 第r個響應的權重。通過找到使D(di1,di2,···,diq)最大的因子水平組合，實現過程優(yōu)化。

3 仿真試驗

本節(jié)通過仿真試驗對本文所提方法的優(yōu)勢進行分析，主要討論：1) 與直接采用觀測值向量作為響應相比，采用擬合值響應進行分析的優(yōu)勢；2) 比較Hausdorff距離、歐氏距離、無窮范數空間距離的可靠性。

采用廣義線性模型 η=α+βt+ε (μ =exp(η)為泊松分布位置參數)，隨機生成計數型函數響應并進行仿真試驗。設定模型截距項為α=2，斜率為β=0.5，協變量t的取值為(0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0)，則函數響應擬合值向量真實值為(9, 12, 16, 20, 26,33, 43, 55)。假設隨機誤差ε服從均值為0，標準差為1的正態(tài)分布。隨機生成10 000組觀測值樣本，并對每一個樣本擬合廣義線性模型，得到計數型擬合值向量。

設定目標函數為=1+0.5t，則目η標函數向量為(3, 4, 6, 7, 9, 12, 16, 20)。分別計算每一組隨機樣本的觀測值和擬合值向量與目標函數向量之間的Hausdorff 距離、正無窮范數距離、負無窮范數距離以及歐氏距離指標。為評價不同方法的準確性和波動性，計算距離的樣本均值和方差，結果見表1。

表1 擬合值和觀測值向量與目標向量的不同距離指標值的均值和方差Table1 Mean and variance of different distances from the fitted and predicted vectors to the target vector

由表1可見，采用擬合值和觀測值計算的所有距離與真實距離值都有一定偏差。相較于采用觀測值進行計算，擬合值向量的偏差明顯較小。從波動性大小來看，除了負無窮范數空間距離，采用觀測值進行計算的標準差值明顯大于擬合值向量距離指標的對應值。從該仿真試驗結果可以看出，對于計數型函數響應，采用擬合值向量進行計算，明顯減小了距離估計結果的偏差和波動性。總體而言，采用擬合值向量的Hausdorff距離和無窮范數空間距離進行計算分析，偏差和波動性更令人滿意。

4 實例分析

某企業(yè)手機液晶顯示屏模組關鍵過程為將驅動集成電路(integrated circuit，IC)和柔性電路板(flexible printed circuit，FPC)分別與玻璃基板通過各向異性導電膠壓接。這兩個過程分別稱為Chip on Glass(COG)和FPC on Glass(FOG)工藝。在一定溫度、壓力和時間條件下，導電膠固化使驅動IC、FPC與玻璃基板實現粘連，同時導電膠內金屬球絕緣層爆破，使驅動IC、FPC和玻璃基板導電層實現電路連接。圖1為驅動IC和FPC與玻璃基板連接位置的示意圖。圖2顯示了高位顯微鏡下驅動IC和FPC與玻璃端子壓接區(qū)域的局部放大圖。圖中在條狀區(qū)域內凸起的點為爆破的金屬球粒子。對于驅動IC，條形壓接區(qū)域從上到下區(qū)分電流流通的輸入和輸出端，因此，有效爆破粒子數與左右橫向和上下縱向位置變量構成計數型函數響應。對于FPC，壓接區(qū)域從左至右，不分輸入和輸出端，因此，有效爆破粒子數與橫向位置變量構成計數型函數響應。

圖1 驅動IC和FPC與玻璃基板連接位置示意圖Figure1 The diagram of the bonding locations of the Drive IC and the FPC on the glass substrate

圖2 驅動IC和FPC與玻璃基板壓接區(qū)域的局部放大圖Figure2 Partial enlarged detail of the bonding areas of the Drive IC and the FPC on the glass substrate

2019年5月～ 8月，產品不合格率呈明顯增長趨勢。經圖像檢測，發(fā)現不合格原因主要是由于驅動IC與玻璃基板之間有效粒子數減少。由圖1可以看出，FPC和驅動IC連接位置較近，工藝工程師推斷經過COG壓接的驅動IC在FOG階段可能會由于熱傳導或應力傳導等影響使IC與玻璃基板導電層的連接狀態(tài)發(fā)生變化。為解決該問題，需優(yōu)化FOG工藝參數，改善驅動IC有效粒子數減少問題，同時保證FPC壓接質量。

經討論分析，確定影響因子為壓接溫度、壓接時間、壓力和風管吹風延時時間。采用24-1部分析因子試驗方案，并在中心點位置增加5次試驗。試驗方案如表2所示。為減少重復測量所造成波動性的影響，每次試驗采用3個試驗件，利用自動光學檢測設備獲得試驗件IC和FPC連接區(qū)域的例子爆破圖像。

表2 因子試驗設計方案Table2 The design plan of the factorial experiments

在FOG前后，分別測量記錄各個試驗件驅動IC左、中、右側輸入和輸出端同一區(qū)域的有效粒子數。試驗完成后，計算各個試驗件驅動IC不同連接區(qū)域對應的有效粒子減少數量，結果見表3；各試驗件FPC左、中、右側選定區(qū)域的合格爆破粒子數量見表4。其中次序對應于試驗的運行序。

表3 驅動IC左側(L)、中段(C)、右側(R)的輸入(In)和輸出(Out)端對應區(qū)域的粒子減少數量Table3 Reduced numbers of the particles in the left (L), center(C), and right (R) sides of the input (in) and output (out) parts of Drive ICs

表4 FPC左側(L)、中段(C)、右側(R)區(qū)域的合格爆破粒子數Table4 Numbers of qualified broken particles at the left (L),center (C), and right (R) sides of FPCs

由于粒子減少數為離散計數型數據，且數值較小，故采用響應為泊松分布的廣義線性模型擬合粒子減少數與位置變量的關系。記左、中、右側位置變量值為?1、0、1，記輸入和輸出位置變量值為0、1，對每個試驗件擬合回歸模型。考慮在左中右位置方向上可能存在彎曲性，回歸模型形式為η=α+ω1x1+ω2+ω3x2。其中，x1為左中右橫向位置變量；x2為輸入輸出端縱向位置變量；α為截距項；ω1和ω2分別為x1的一次和二次項系數；ω3為x2的一次項系數?；貧w系數估計值見表5。

表5 粒子減少數量與位置變量的廣義線性回歸模型參數估計值Table5 Parameter estimates of the generalized linear regression model for the reduced particle numbers and the location variable

經檢驗，所有模型均是顯著的。同時，在90%的置信水平下，幾乎所有模型截距項均顯著，各個試驗響應的位置變量的線性和彎曲性參數的顯著性不完全相同。進一步計算擬合值向量如表6所示，其中L、C、R分別為左、中、右；In和Out代表輸入和輸出端。FOG之后不同試件的FPC在左中右位置上的有效粒子數如表7所示。

表6 驅動IC壓接區(qū)域粒子減少數的廣義線性模型擬合值向量Table6 Fitted vectors for the generalized linear model for the reduced number of particles in the bonding areas of Drive ICs

對于驅動IC的粒子減少數，優(yōu)化方向為望目，最理想的目標函數為所有位置上的粒子減少數均為0，即目標函數向量為(0, 0, 0, 0, 0, 0)。對各次試驗驅動IC的擬合值向量的3次重復測量值取平均，并計算平均擬合值向量與目標向量的正無窮范數距離，結果見表7。對于FPC的有效粒子數，優(yōu)化方向為望大。分別計算這兩個響應的滿意度，結果如表8所示。

表7 FPC在左中右位置上的有效粒子數Table7 Qualified particle numbers at the left, center,and right sides of FPCs

根據表8，綜合滿意最高的為第8次試驗。在表2的試驗設計方案中找到對應的因子水平組合為溫度180 ℃，壓接時間為10 s，壓力為110 N，吹風延時為6 s。按照該結果設定工藝參數，產線11、12月份由有效粒子數減少造成的產品不合格率顯著下降。

表8 驅動IC有效粒子減少數與位置關系的函數響應和FPC平均有效粒子數響應的綜合滿意度Table8 The overall desirability for the functional response of reduced particle numbers and the location variable for Drive ICs and the mean qualified particle numbers for FPCs

5 結論

本文基于擬合值向量的無窮范數空間距離指標，結合滿意度函數法，提出一元和多元計數型函數響應優(yōu)化方法。仿真試驗結果表明，與Fogliatto等采用的函數觀測值向量的Hausdorff距離指標相比，本文提出的擬合值向量無窮范數空間距離指標更精準地反映函數響應向量之間的真實值。本文提出的優(yōu)化方法應用于某公司液晶顯示屏模組FOG工藝參數改進，成功改善驅動IC有效粒子數減少問題，同時保證了FPC壓接質量，有效降低了產品不合格率。