王金華, 向紅軍

(湘南學院數學與信息科學學院, 湖南 郴州 423000)

1.引言

分數階微積分、分數階差分與和分理論近二十年來有了較快的發(fā)展.相關理論在很多的領域, 比如: 生物工程、化學材料、控制理論等都有較為廣泛的應用, 參見文[1-9]及所引參考文獻.因此, 分數階微分、差分方程理論與應用研究也受到了相關學者們廣泛的關注, 涌現出不少關于分數階微分、分數階差分方程解的存在性及周期性等研究文獻.由于分數階微分方程研究出現比較早, 其方法也已經被不少研究者推廣到了微分方程組的研究應用上.相對而言, 分數階差分方程的研究相對較晚, 其理論與方法推廣到分數階差分方程組的研究也比較復雜.所以, 雖然出現不少分數階差分方程的研究文獻, 但分數階差分方程組邊值問題正解的研究文獻不多, 文獻中提出的邊值條件也很少含分數階差分算子.一般來說, 如果邊界條件中帶分數階差分算子, 那么其格林函數相對復雜, 格林函數的性質應用相對困難.目前的文獻中, 多數的邊值條件是函數本身的兩端函數值或是帶函數的整數階差分算子.如: 文[10]中, 作者分析了下列分數階差分方程組邊值問題解的存在性問題：

其中, 1＜v1,v2≤2,b ∈N1,Δv1,Δv2是Riemann-Liouville分數階差分算子.該文作者應用不動點原理, 分析了以上分數階邊值問題至少有一個解的充分條件, 其方程組中的邊界條件是函數在區(qū)間兩端點函數值為0.

文[11]分析了下列分數階差分方程組：

其中, 1＜v1,v2≤2,b ∈N1,Δv1,Δv2是Riemann-Liouville分數階差分算子.作者用著名的Krasnosel’ski定理得到了此分數階邊值問題在滿足一定條件時存在正解.其方程組中邊界條件也是已知函數在區(qū)間兩端點值.

文[12]的作者討論了如下分數階差分方程組的解存在性問題：

其中, 2＜vj ≤3,b ∈N1,b ＞3,λj ＞0,j=1,2,··· ,n,(j=1,2,··· ,n)是Caputo分數階差分算子.在文[12]中作者應用相關不動點理論對該問題解的存在情況進行了討論, 獲得了一些充分條件, 也舉例驗證了理論的可靠性.其方程組中邊界條件是函數在區(qū)間兩端點函數值為0,邊界條件中帶有2階差分算子.

文[10-12]中涉及的邊值條件主要是函數本身的邊界值或函數的整數階差分邊界值.本文將考慮如下具有分數階差分邊值條件的差分方程組問題：

其中,t ∈[0,b+1]N0, 對i= 1,2有1＜qi ≤2,0＜γi ＜1,0＜qi -γi ＜1,b ∈N1,b ＞3,Δqi,Δγi是Riemann-Liouville分數階差分算子.ai:[qi-1,qi+b]→[0,+∞),gi:[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)均是連續(xù)函數.對任意a ∈R,I ?R,定義Na={a,a+1,a+2,···},INa=I ∩Na.對任意k ∈Na及Na上的函數u, 有

2.定義及引理

為了方便文章后面部分的討論, 本節(jié)將介紹分數階差分的定義及分數階和分的定義.同時介紹在后面的證明中需要用到的一些結論.

定義2.1[3]對任意的t,v, 定義且規(guī)定當t+1-v是Γ函數的極點, 而t+1不是Γ函數的極點時, 有tv=0.

定義2.2[3]對于v ＞0, 函數f:Na →R的v階和分定義如下：

其中,t ∈{a+v,a+v+1,···}:=Na+v, 而函數f:Na →R的v階Riemann-Liouville差分為：

Δvf(t):=ΔNΔ-(N-v)f(t),0≤N -1＜v ≤N,

ΔN是N階向前差分算子.

引理2.1[3]設0≤N -1＜v ≤N, 則函數f:Na →R滿足：

其中Ci ∈R,1≤i ≤N.

1) 當u ∈K ∩?Ω1時,‖Tu‖≤‖u‖,且當u ∈K ∩?Ω2時,‖Tu‖≥‖u‖;

2) 當u ∈K ∩?Ω1時,‖Tu‖≥‖u‖,且當u ∈K ∩?Ω2時,‖Tu‖≤‖u‖.

則T在K ∩(Ω2Ω1)中至少存在一個不動點.

引理2.4[9]設μ-1,μ+v+1非零或非負整數, 則有：

引理2.5[9]設1＜q ≤2, 函數g: [q-1,q+b]Nq-1→R, 則以下分數階差分方程邊值問題：

3.解的存在性

下面討論判別分數階方程組邊值問題(1.1)存在正解的另一個充分條件, 后面的討論中用到的條件記為：

定理3.2若條件(H1),(H2)和(H3)都成立, 則分數階差分方程組邊值題(1.1)至少有一個正解.

證由引理3.1可知T:K →K, 且由算子T的定義知能滿足完全連續(xù)的性質.由條件(H3)可知, 存在正數ε使得：

由條件(H1), 對以上的正數ε, 存在常數K1＞0, 使得當‖(u1,u2)‖＜K1時,

同理存在常數K2＞0, 使得當‖(u1,u2)‖＜K2時,

令K:= min{K1,K2}, 且記Ω1={(u1,u2)∈E:‖(u1,u2)‖ ＜K}, 則對任意(u1,u2)∈K ∩?Ω1有:

4.應用舉例

例4.1考慮以下分數階差分方程組邊值問題：

即q1=1.4,q2=1.7,γ1=0.5,γ2=0.9,b=20.取r1=1,r2=400,a1(t)=a2(t)=et-4,

通過計算可得：α1=3.0350×108,α2=1.4292×109,β1=4.7768×105,β2=1.4970×106, 且

所以, 由定理3.2可知, 當λ1,λ2∈[4.5238×10-8,1.6474×10-5]時, 分數階差分方程組(4.2)至少有一個正解.