李永華，肖云豪，章偉豪，揭一鳴

(南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院，江西 南昌 330031）

近幾年來，一種組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件得到了廣泛的應(yīng)用。與混凝土內(nèi)支撐相比，組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件可回收利用，減少了資源消耗，且施工過程噪聲小，綠色環(huán)保。組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件是H型鋼之間采用綴條或綴板相連，從而形成格構(gòu)式支撐構(gòu)件，水平面內(nèi)抗彎剛度得到明顯提高，在大型基坑中通?？梢詥蜗虿贾茫蟠蠓奖懔耸┕?yīng)用。在臨近地鐵或鐵路的基坑施工過程中，組合型鋼內(nèi)支撐可以通過施加預(yù)應(yīng)力來控制地鐵隧道或鐵路路基的變形，具有重要的工程意義。圖1為組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件現(xiàn)場施工圖，內(nèi)支撐構(gòu)件根據(jù)設(shè)計(jì)需要通常采用3肢及以上型鋼進(jìn)行組合，圖2為組合型鋼內(nèi)支撐托架圖，下承托架由立柱與橫梁組成，立柱和橫梁一般均采用H型鋼，橫梁支承于立柱牛腿上，兩者之間通過高強(qiáng)螺栓進(jìn)行連接。當(dāng)?shù)刭|(zhì)情況較好時(shí)，立柱可直接插入地基土中，當(dāng)?shù)鼗临|(zhì)較差時(shí)常設(shè)置素混凝土灌注樁作為立柱基礎(chǔ)[1]。劉興旺等[1]認(rèn)為組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件承載力實(shí)際上是穩(wěn)定性問題，包括水平面內(nèi)和豎直平面內(nèi)，且立柱對穩(wěn)定性起關(guān)鍵作用。組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件穩(wěn)定類似于具有多道彈性支撐桿的鋼柱穩(wěn)定問題[2-13]，陳紹蕃[2]對軸向荷載作用下，具有2～4道彈性支撐桿鋼柱的彈性臨界荷載進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上提出了具有多道彈性支撐桿鋼柱臨界荷載的擬合公式。本文采用能量法對10道及以下彈性支撐的鋼柱彈性臨界荷載進(jìn)行分析，通過在公式中引入屈曲半波數(shù)及支撐道數(shù)作為變量，直接得出無量綱化的鋼柱臨界壓力和無量綱化支撐剛度之間的通解，避免了文獻(xiàn)[2]曲線擬合帶來的誤差，同時(shí)分析了剪切變形對多肢組合格構(gòu)式型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件穩(wěn)定的影響，便于工程應(yīng)用。

圖1 組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件現(xiàn)場施工圖Fig.1 Construction diagram of assembly steel struts

圖2 組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件托架Fig.2 Bracket of assembly steel struts

1 具有多道彈性撐桿的鋼柱臨界壓力擬合公式

陳紹蕃[2]對具有多道彈性撐桿的鋼柱無量綱化的臨界壓力和無量綱化的支撐剛度之間的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到統(tǒng)一的近似公式：

當(dāng)Kl/N0≤3/j4時(shí)：

當(dāng)3/j4

當(dāng)1.5

當(dāng)Kl/N0≥3.75時(shí)：

式中：N為具有多道彈性撐桿鋼柱的彈性臨界壓力；N0為支撐間柱段的彈性臨界壓力，N0=π2EI/l2，l為柱段長度；K為彈性撐桿的剛度；j為柱的分段數(shù)，即彈性撐桿道數(shù)加1。

《預(yù)應(yīng)力魚腹式基坑鋼支撐技術(shù)規(guī)程》[14]給出了組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件考慮托架作用時(shí)水平面內(nèi)穩(wěn)定分析時(shí)計(jì)算長度系數(shù)統(tǒng)一公式μ=(3N0/kl0)1/4，由于μ=，所以規(guī)程中的計(jì)算長度系數(shù)μ實(shí)際上是根據(jù)式(2)推導(dǎo)出來的，需強(qiáng)調(diào)的是，式(2)適用范圍為無量綱化的支撐剛度Kl/N0位于3/j4

2 具有多道彈性撐桿鋼柱臨界壓力通解

2.1 能量法理論求解

具有j-1個(gè)支撐的鋼柱受軸向壓力N作用，如圖3所示，支撐間的長度均為l，鋼柱總長度L=jl，鋼柱的抗彎剛度為EI，彈性撐桿剛度為K，當(dāng)屈曲半波數(shù)m=j時(shí)，這時(shí)全部撐桿均達(dá)到門檻剛度，門檻剛度為當(dāng)撐桿達(dá)不到門檻剛度時(shí)，假設(shè)鋼柱呈現(xiàn)m個(gè)半波屈曲，屈曲變形曲線為：

圖3 j-1個(gè)支撐鋼柱計(jì)算模型Fig.3 Calculation model of steel column with j-1 braces

式中：am為常數(shù)，m屈曲半波數(shù)，m=1，2，3，…，j-1。x表示沿柱軸向方向的坐標(biāo)，正方向?yàn)閺淖笾劣摇?/p>

y的一階導(dǎo)函數(shù)和二階導(dǎo)函數(shù)如下：

柱子的彎曲應(yīng)變能力和彈性支座的應(yīng)變能分別為：

式中：yi為第i個(gè)彈性支座的位移。

柱子的外力功為：

總勢能為：

式中：NE為支撐桿剛度為0時(shí)鋼柱的歐拉臨界力，NE=π2EI/L2。

按勢能駐值原理對am進(jìn)行求導(dǎo)并令導(dǎo)函數(shù)等于0得到：

將式(12)進(jìn)行整理，可得：

式中：N0為撐桿達(dá)到門檻剛度或者說撐桿起剛性支座作用時(shí)鋼柱臨界力，N0=π2EI/l2，進(jìn)一步整理可推導(dǎo)出：

式(14)為鋼柱發(fā)生m個(gè)半波屈曲時(shí)無量綱化的支撐剛度與無量綱化的臨界壓力之間的關(guān)系，比陳紹蕃擬合曲線還簡單，但由于公式中引入了屈曲半波數(shù)m這個(gè)變量，故需對屈曲半波數(shù)m變化時(shí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)進(jìn)行求解。

當(dāng)鋼柱產(chǎn)生m+1個(gè)半波屈曲時(shí)，同理可得出：

式(15)為鋼柱發(fā)生m+1個(gè)半波屈曲時(shí)鋼柱的支撐剛度與臨界力之間的關(guān)系。式(14)與式(15)可聯(lián)立進(jìn)行求解，得出由m個(gè)半波屈曲向m+1個(gè)半波屈曲轉(zhuǎn)折時(shí)的無量綱化的支撐剛度與臨界壓力值如下：

2.2 應(yīng)用步驟

具體應(yīng)用時(shí)，操作步驟如下：

1)先根據(jù)彈性支撐的剛度K，支撐間距l(xiāng)及撐桿達(dá)到門檻剛度時(shí)臨界力N0，計(jì)算無量綱化的支撐剛度Kl/N0，然后從m=1，2，3…開始，分別計(jì)算式(16)中的值；

2)如果當(dāng)m=p時(shí)，無量綱化的支撐剛度Kl/N0滿足則p即為與彈性支撐剛度對應(yīng)的屈曲半波數(shù)；

3)m值確定后，可由式(14)直接計(jì)算出與支撐剛度相對應(yīng)的無量綱化的臨界力N/N0的值。

2.3 計(jì)算結(jié)果對比分析

采用本文計(jì)算方法，分別對2，4，6，8，10道彈性撐桿作用下的鋼柱臨界壓力采用式(14)，式(15)進(jìn)行計(jì)算，得出的無量綱化的支撐剛度Kl/N0與無量綱化的鋼柱臨界壓力N/N0之間的關(guān)系，具體計(jì)算結(jié)果如圖4～8所示。為便于對比分析，圖中同時(shí)給出了陳紹蕃擬合曲線、有限元彈性特征值屈曲方法計(jì)算結(jié)果，由于本文研究僅限于Kl/N0≤1.5這一范圍應(yīng)用，故只給出該范圍的計(jì)算結(jié)果。

圖4 2道彈性支撐時(shí)的彈性臨界荷載與支撐剛度的關(guān)系Fig.4 Relationship between the critical load and the brace stiffness of two elastic braces

圖5 4道彈性支撐時(shí)的彈性臨界荷載與支撐剛度的關(guān)系Fig.5 Relationship between the critical load and the brace stiffness of four elastic braces

圖6 6道彈性支撐時(shí)的彈性臨界荷載與支撐剛度的關(guān)系Fig.6 Relationship between the critical load and the brace stiffness of six elastic braces

圖7 8道彈性支撐時(shí)的彈性臨界荷載與支撐剛度的關(guān)系Fig.7 Relationship between the critical load and the brace stiffness of eight elastic braces

圖8 10道彈性支撐時(shí)的彈性臨界荷載與支撐剛度的關(guān)系Fig.8 Relationship between the critical load and the brace stiffness of ten elastic braces

有限元驗(yàn)證時(shí)，采用圖3所示鋼柱模型，鋼柱采用beam3單元進(jìn)行模擬，鋼柱截面面積為0.109 4 m2，截面慣性矩為0.219 m4，鋼柱支撐間距為12 m。當(dāng)屈曲半波數(shù)確定后，式(14)和式(15)均為線性方程，2條直線的交點(diǎn)就是圖(4)～(8)中的折線轉(zhuǎn)折點(diǎn)，所有轉(zhuǎn)折點(diǎn)均在圖上采用三角形進(jìn)行標(biāo)注，轉(zhuǎn)折點(diǎn)之間采用直線相連，所以沒用三角形進(jìn)行標(biāo)注。

從圖4～8對比分析可以看出，本文采用的方法與ANSYS有限元曲線驗(yàn)證點(diǎn)很接近，計(jì)算精度比陳紹蕃擬合曲線有一定的提高，陳紹蕃擬合曲線N/N0誤差總體上呈現(xiàn)隨支撐剛度增大而增大趨勢。

3 剪切變形對組合型鋼內(nèi)支撐影響

從圖1～2可以看出，組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件水平面內(nèi)的穩(wěn)定為繞虛軸的穩(wěn)定，文獻(xiàn)[15]給出了平行雙肢格構(gòu)柱考慮剪切變形影響的計(jì)算公式，但對于平行三肢或以上的格構(gòu)柱剪切變形影響公式還未見相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行研究，本文以三肢綴板式組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)為例，進(jìn)行剪切變形影響系數(shù)的推導(dǎo)。

三肢組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件綴板與肢件的連接同樣視為剛接，整個(gè)構(gòu)件相當(dāng)于一個(gè)多跨的多層剛架體系，體系發(fā)生剪切變形時(shí)，綴板與肢段均呈S形彎曲(圖9)，柱肢反彎點(diǎn)可近似取在肢段的中點(diǎn)。圖9(a)為三肢格構(gòu)柱整體計(jì)算模型，圖9(b)為肢件變形詳圖，圖9(c)為綴板變形詳圖。

圖9 三肢格構(gòu)柱計(jì)算模型Fig.9 Three-limbed lattice column calculation model

圖9(b)肢件在A結(jié)點(diǎn)和反彎點(diǎn)間的一段，可視為一懸臂梁，在單位水平剪力作用下的線位移為：

式中：Izh表示單根肢件繞平行于虛軸的形心軸的慣性矩；b為相鄰綴板之間的距離。

圖9(c)為連續(xù)綴板計(jì)算模型圖，由于A，B，C3點(diǎn)彎矩相等，對該超靜定結(jié)構(gòu)采用力法進(jìn)行求解后可得出：

式中：Ib表示綴板對其形心軸的慣性矩，由式(18)和式(19)可得單位剪力作用下的剪切角γ：

由結(jié)構(gòu)力學(xué)相關(guān)知識(shí)可知，考慮剪切變形后的彈性臨界荷載為[11,15]：

式中：N是不考慮剪切變形時(shí)構(gòu)件彈性臨界荷載；Ns為考慮剪切變形時(shí)構(gòu)件彈性臨界荷載。

將式(20)代入式(21)中，可得：

假定考慮剪切變形后的彈性臨界荷載采用下式進(jìn)行表示：

式中：Is就是考慮剪切變形修正后的整體截面慣性矩，綜合式(22)與式(23)可得出：

同理，可推導(dǎo)出五肢綴板式格構(gòu)構(gòu)件考慮剪切變形修正后的截面慣性矩，由于相對于肢件的彎曲變形產(chǎn)生的剪切角，綴板彎曲角θ的影響較小，通常可略去[15]，簡化后的五肢格構(gòu)柱考慮剪切變形影響后的截面慣性矩為：

4 工程算例

4.1 1號(hào)型鋼內(nèi)支撐

1號(hào)組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件總長度120 m，組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件截面如圖10所示，由5肢型鋼進(jìn)行組合，單肢型鋼為HW400×400×13×21，綴板型號(hào)為-4 350 mm×750 mm×12 mm，型鋼肢件中心間距1 m，綴板中心間距2 m，內(nèi)支撐構(gòu)件下面設(shè)置了9道由立柱與橫梁組成的托架進(jìn)行支托，托架沿內(nèi)支撐構(gòu)件長度方向等間距布置，間距l(xiāng)=12 m，內(nèi)支撐構(gòu)件的水平面內(nèi)穩(wěn)定問題可以抽象為9道彈性支撐桿作用下的鋼立柱穩(wěn)定問題(j=10)，彈性撐桿的剛度等于托架水平抗側(cè)移剛度。

圖10 1號(hào)組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件截面Fig.10 No.1 assembly steel struts section

托架立柱采用H350×350×12×19型鋼，橫梁采用H300×300×10×15型鋼，橫梁跨度6 m，立柱總長度16 m，基坑上部8 m，嵌入基坑底部8 m，基坑坑底以下土體分別為細(xì)砂、中砂及礫砂，土層信息如表1所示。

表1 土層信息Table 1 Soil information

考慮到PLAXIS有限元軟件在處理立柱與土體接觸比較方便，本文采用PLAXIS有限元軟件來計(jì)算托架的水平抗側(cè)剛度，托架立柱彈性嵌固于土體中，彈性嵌固的立柱可采用m值法進(jìn)行計(jì)算[16]，也可采用有限元方法計(jì)算，m值計(jì)算時(shí)嵌固程度主要由土的黏聚力c值及內(nèi)摩擦角?值確定，有限元計(jì)算時(shí)嵌固程度主要由土體彈性模量確定，當(dāng)托架為排架時(shí)，計(jì)算得出抗側(cè)移剛度K=180 kN/m，當(dāng)托架為剛架時(shí)，抗側(cè)移剛度K=1 314 kN/m?？紤]到托架的初始偏心以及初始幾何缺陷，設(shè)計(jì)時(shí)將托架抗側(cè)移剛度均降低一半[11]，即分別采用K=90 kN/m和K=657 kN/m用于分析。

共采用了4種方法進(jìn)行計(jì)算，一種是本文方法，另一種為陳紹蕃曲線擬合法，這2種方法計(jì)算過程中均采用式(25)計(jì)算了剪切變形對組合型鋼截面慣性矩的影響；另外2種方法均為采用ANSYS有限元軟件進(jìn)行彈性特征值屈曲分析，有限元方法1將格構(gòu)式構(gòu)件等效成實(shí)腹桿模型，慣性矩采用剪切變形修正后的組合型鋼截面慣性矩，有限元方法2直接采用格構(gòu)式模型建模，即對組合型鋼分肢及綴板逐一采用Beam3單元進(jìn)行建模。

表2和表3分別給出了托架為排架、剛架2種工況下，4種方法計(jì)算得出的組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件水平面內(nèi)的無量綱化支撐剛度、無量綱化的臨界壓力及計(jì)算長度系數(shù)。

表2 托架為排架時(shí)，1號(hào)內(nèi)支撐臨界荷載及計(jì)算長度系數(shù)Table 2 Critical load and effective length factor of No.1 strut supported by bent

表3 托架為剛架時(shí)，1號(hào)內(nèi)支撐臨界荷載及計(jì)算長度系數(shù)Table 3 Critical load and effective length factor of No.1 strut supported by portal frame

從表2和表3可以看出，本文方法與有限元計(jì)算方法1很接近，精度比陳紹蕃曲線有一定的提高，另外本文計(jì)算方法與有限元格構(gòu)式模型計(jì)算結(jié)果也很接近，說明本文剪切變形影響系數(shù)的推導(dǎo)是合理的。不考慮托架的貢獻(xiàn)時(shí)，1號(hào)組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)應(yīng)為10，從表2和表3可以看出，當(dāng)托架為排架時(shí)，計(jì)算長度系數(shù)降低約15%，但當(dāng)托架為剛架時(shí)，計(jì)算長度系數(shù)下降約50%。

4.2 2號(hào)型鋼內(nèi)支撐

2號(hào)組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件總長度60 m，內(nèi)支撐構(gòu)件截面如圖11所示，由3肢型鋼進(jìn)行組合，單肢型鋼截面同上，綴板型號(hào)為-2 350 mm×750 mm×12 mm，型鋼肢件中心間距1 m，綴板中心間距2 m。

圖11 2號(hào)型鋼組合內(nèi)支撐構(gòu)件截面Fig.11 No.2 assembly steel strut section

內(nèi)支撐構(gòu)件下面共設(shè)置了4道托架進(jìn)行支托，托架沿內(nèi)支撐構(gòu)件長度方向等間距布置，間距l(xiāng)=12 m。內(nèi)支撐構(gòu)件的水平面內(nèi)穩(wěn)定問題可以抽象為4道彈性支撐桿作用下的立柱穩(wěn)定問題(j=5)，彈性支撐桿的剛度等于托架的水平抗側(cè)移剛度。

采用前述方法可得出2號(hào)內(nèi)支撐構(gòu)件水平面內(nèi)無量綱化支撐剛度、無量綱化的臨界壓力及計(jì)算長度系數(shù)，詳見表4和表5。

表5 托架為剛架時(shí)，2號(hào)內(nèi)支撐臨界荷載及計(jì)算長度系數(shù)Table 5 Critical load and effective length factor of No.2 strut supported by portal frame

不考慮托架貢獻(xiàn)時(shí)，2號(hào)內(nèi)支撐構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)應(yīng)為5，當(dāng)托架為排架時(shí)，組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件的計(jì)算長度系數(shù)降低至4.72，計(jì)算長度系數(shù)下降約5.6%，當(dāng)托架為剛架時(shí)，組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件的計(jì)算長度系數(shù)降低至3.6，計(jì)算長度系數(shù)下降約28%。

需說明的是，當(dāng)托架為排架時(shí)，表4中無量綱化的支撐剛度Kl/N0=1.93×10-3，本算例中j=5，故3/j4=4.8×10-3，此時(shí)，Kl/N0≤3/j4，剛好處于陳紹蕃擬合曲線第一段，但如果按現(xiàn)行《預(yù)應(yīng)力魚腹式基坑鋼支撐技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》[14]中的計(jì)算長度系數(shù)公式μ=(3N0/kl0)1/4來進(jìn)行計(jì)算，得出的計(jì)算長度系數(shù)μ=6.3，明顯失真。

表4 托架為排架時(shí)，2號(hào)內(nèi)支撐臨界荷載及計(jì)算長度系數(shù)Table 4 Critical load and effective length factor of No.2 strut supported by bent

5 結(jié)論

1)通過引入屈曲半波數(shù)及支撐道數(shù)2個(gè)變量，推導(dǎo)了對應(yīng)不同屈曲半波數(shù)的彈性臨界荷載與支撐桿剛度之間的通解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出了不同屈曲半波數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的支撐剛度，與傳統(tǒng)曲線擬合方法相比，本文方法計(jì)算結(jié)果精度有一定的提高。

2)通過對60 m和120 m長度的2個(gè)組合型鋼內(nèi)支撐構(gòu)件基坑工程算例可以看出：考慮托架作用時(shí)，當(dāng)托架為排架形式，120 m長度內(nèi)支撐構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)可降低15%，60 m長度內(nèi)支撐構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)可降低5.6%；當(dāng)托架采用剛架形式時(shí)，120 m長度內(nèi)支撐構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)可降低50%，60 m長度內(nèi)支撐構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)可降低28%。