張景新

（廈門大學附屬實驗小學，福建 漳州 363100）

數(shù)學是一個關(guān)于模式的科學。數(shù)學建模其實是一種利用學科知識將現(xiàn)實問題作為基礎(chǔ)抽象凝練出數(shù)學模型，并利用數(shù)學語言進行描述的過程。小學生以直觀形象思維為主，漸進抽象邏輯思維的階段，而數(shù)學概念、定理等抽象而復(fù)雜，對多數(shù)小學生來說學習難度比較大。數(shù)學模型思想的構(gòu)建能幫助學生對數(shù)學概念的理解，提高教與學有效性，促使學生順利從形象思維過渡到抽象邏輯思維；也是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分。本文結(jié)合人教版六年級上冊《比的意義》一課的教學實踐，探討在概念教學中滲透模型思想的教學方法。

一、動手實踐，感悟模型，感知認知問題

建構(gòu)主義學習觀認為，知識不能簡單地由教師或他人傳授給學生，而只能由學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu)。［1］數(shù)學概念的學習是一個同化過程，是用來解決問題的工具。教學中，教師要充分利用學生的經(jīng)驗，使學生從生活經(jīng)驗中感知問題，并通過語言符號將之抽象為數(shù)學問題，最終運用模型思維構(gòu)建數(shù)學模型、尋求解決問題的方案。

例如，在教學中筆者進行布迷陣、造沖突，引學生入憤悱之境，誘導(dǎo)學生主動認知，感悟理解和認知“比”，合理地構(gòu)建數(shù)學知識的比這一概念。

師：（投影一個長方形）在本子上畫一個形狀一樣的長方形。展示作品（如圖1）：

圖1

師：哪個更像原圖？（生：第2 個）你的做法是什么？

生：我應(yīng)用了直尺在空中單眼比量屏幕中長方形的長與寬大約是多少厘米，再畫出這個長方形。

師：嗯，這樣操作有什么好處呢？

生：因為長和寬的長度決定了長方形形狀。

師：好方法，如果給定數(shù)值，再畫一個呢？

師：為什么這時同學們畫的大小不同，但形狀就相同了呢？長和寬之間是怎樣決定圖形的形狀？

生：用長除以寬，根據(jù)商不變的性質(zhì)，這里長與寬的“比例”關(guān)系是確定的，相對應(yīng)的形狀就相同。

師：如果長畫12 厘米，寬應(yīng)該畫幾厘米，形狀才不會變呢……

師：其實這里蘊含一種新的知識：如果長與寬處于相除關(guān)系，那么我們也稱為長與寬的比，這就是“比的意義”。

史寧中教授認為：“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而是表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程，表現(xiàn)在思考的過程中?！保?］以上教學片段中，學生以長方形為認知載體，通過觀察與繪圖，思考怎樣保證畫出的長方形形狀保持不變。在討論中，學生的觀點與自我的認知互相交融，尋找到圖形變與不變的主要原因，將特征通過數(shù)的關(guān)系表征出來；然后進行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，碰撞出知識的火花；最終在原有認知結(jié)構(gòu)中建立起新的知識模型。教師再適時點撥，用規(guī)范的數(shù)學語言引導(dǎo)學生，界定“比”的本質(zhì)特性，理解其核心意義，完成由經(jīng)驗世界到理論世界的過渡。

二、知識遷移，刻畫模型，把握概念特征

數(shù)學概念的價值在于讓學生經(jīng)歷一系列的數(shù)學活動，深入理解并主動建模，把握概念的特征。教師要善于挖掘概念中所蘊含的思想，結(jié)合學生的學情，把生活中反映實際問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、數(shù)量及相互關(guān)系提煉出來，運用數(shù)學知識之間的共性特征進行類比遷移，在相互聯(lián)系、互相映襯的過程中完成數(shù)學表征的逐步抽象，自然地理解知識的意義與特征，并用準確的數(shù)學語言提出合理表述，刻畫出模型。

師：同學們想法真好，國旗就是根據(jù)長與寬的倍數(shù)值不變，生產(chǎn)出不同的旗面。生活中還有哪些量之間也是以倍數(shù)方式變化的例子？

生：路程÷時間來表示速度。

師：你能舉個例子說說嗎？

生：一輛汽車2 小時行駛120 千米，它每小時行60 千米。

師：那么3 小時行駛多少千米？4 小時呢？

師：這里什么變了，什么就跟著變？

師：這樣的變化你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：時間與路程是一組有規(guī)律變化的兩個量，但它們商沒變。

師：路程除以時間，我們也說路程比時間，它們都表示速度。反之，速度是路程與時間的比?，F(xiàn)在就這個例子來說說，工作效率是誰與誰的比；單價又是誰與誰的比……

只有基于學生自己的經(jīng)驗領(lǐng)悟獲得的知識才是深刻和穩(wěn)固的。以上教學片段的回顧舊知，讓學生置身于原有認知結(jié)構(gòu)的重述過程，認知與理解不同類量之間的比。這里蘊含著兩個層次的思考：其一，知識遷移。學生通過經(jīng)驗回顧，感受知識間的共同特性，讓除法等數(shù)學知識遷移產(chǎn)生“比”的感悟。其二，倍數(shù)變化。學生思考中交流，在交流中體驗，體會量之間的變化規(guī)律，感悟變中有不變的函數(shù)思想，以此還原“比”的真正意義。

三、對比辨析，鞏固模型，區(qū)分概念的差異

課中數(shù)學概念的習得不僅需要舉例強化，也需要提供“反例”，辨析概念之間的差異，讓學生參與解釋與應(yīng)用正是對數(shù)學建模的一個不斷修正和沉淀的過程。所以，在學生形成數(shù)學模型之后，置學生于思考與應(yīng)用之中加以辨別解析，其數(shù)學知識的本質(zhì)方能得以強化，形成完整穩(wěn)固的模型思想。

視頻中哪個“比”具有數(shù)學意義，并說說理由。

①金龍魚調(diào)和油廣告（1∶1∶1）；②球場上的比分變化（3∶0）；③活力28 洗衣粉廣告（1∶4）。

視頻播放寓學于趣，以問題驅(qū)動學生進行理性思考，三段視頻中的比含義上是否相同，在前后項的變化上存在哪些區(qū)別，經(jīng)歷深度思考與觀點交流，辨析區(qū)分差比與倍比，從而拋棄“錯誤”模型，在數(shù)學知識結(jié)構(gòu)中刪去“偽比”，建立“真比”，也明確數(shù)學是研究有規(guī)律的學科。基于生活化練習讓“比”的特征在學生認知結(jié)構(gòu)體系中組成一個完整模式。

四、形成思想，檢驗?zāi)Ｐ停w會概念的價值

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》強調(diào)：“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睌?shù)學模型是數(shù)學學科與現(xiàn)實問題之間的紐帶，完善并拓展數(shù)學模型思想是為解決實際問題提供科學有效的途徑和方法，使學生在應(yīng)用中體會概念的價值實現(xiàn)學習自主化發(fā)展。

1.在我們班上，找一找比。

2.有2 杯不同質(zhì)量的蜂蜜水，猜猜哪杯甜？需要知道哪些信息才能準確判斷？

比的定義來自兩數(shù)相除關(guān)系，又“不局限于”它倍數(shù)關(guān)系，史寧中教授認為，比概念的起源與度量分不開［3］。以上練習設(shè)計，從學生熟悉的生活情境著手，提出不能品嘗但要判斷出哪杯蜂蜜水甜，引發(fā)學生進行數(shù)學思考，主動尋找“比”的模型知識及思想、方法去思考隱匿著的數(shù)學問題。這樣的練習教學，將比的運用歸還于度量的本源，幫助學生理解“比”意義。運用“比”解決生活中的數(shù)學問題，可以化繁為簡，使解決問題的方法更加靈活多樣。這樣的模型運用使學生獲得問題解決的成功體驗檢驗了模型并體會概念的價值。

總之，在教學中，要善于引導(dǎo)學生挖掘數(shù)學知識中所蘊含的數(shù)學模式，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識；為學生搭建模型應(yīng)用平臺，在實踐應(yīng)用中滲透建模思想，讓思想根植于學生的內(nèi)心，提升數(shù)學素養(yǎng)。