李文娟, 張亮

(武漢理工大學理學院, 湖北 武漢 430070)

1.引言

設(shè)Ω ?R3為帶光滑邊界?Ω的有界鄰域,ω為Ω的非空開子集.令T >0, 記QT=Ω ×(0,T),ΣT=?Ω×(0,T), Lebesgue空間Lp(Ω),Lp(QT)(1≤p ≤∞)的范數(shù)分別為|·|p,‖·‖p.

考慮如下非線性趨化方程

其中ut=?u/?t,vt=?v/?t.?ν=?/?ν表示邊界?Ω的外法向量.1ω指ω上的特征函數(shù),g=g(x,t)為控制函數(shù),u=u(x,t)為細菌密度,v=v(x,t)為氧氣濃度,χ >0為給定的常數(shù),u0(x)和v0(x) 表示初始值, 函數(shù)f(v)為氧氣消耗速率.為簡化符號, 本文省略函數(shù)表達式中的x和t.這里f和χ滿足

且

定義1.1稱函數(shù)(u,v)為方程(1.1)的弱解, 如果

u ≥0,v ≥0, a.e.在Ω×(0,T)中, 且

并且等式

方程(1.1)是由Tuval和Cisneros等[15]提出的, 該方程主要是為了描述在氧氣的趨化作用下細菌向液體與空氣接觸面的游動和在細菌重力的作用下液體產(chǎn)生流動這一生物過程.本文將討論非線性趨化方程(1.1)的能控性及時間最優(yōu)控制的存在性.

當方程(1.1)沒有控制項時, 該方程為標準的趨化模型, 也是一類典型的非線性Keller-Segel方程, 即

關(guān)于Keller-Segel方程(1.4)的研究, 在過去的幾年里取得了一些進展.若f是連續(xù)可微的單調(diào)遞增函數(shù)且滿足f(0) = 0, 在有界區(qū)域Ω ?RN(N= 2,3)上, Lorz[16]得出了局部弱解,當N=3且參數(shù)χ和f滿足條件(1.2)和(1.3)時, Winkler[18]給出在帶光滑邊界的有界凸區(qū)域上方程(1.1)弱解的存在性.

然而, 關(guān)于Keller-Segel方程在控制方面的相關(guān)成果很少.在文[7]中作者研究了Keller-Segel方程的最優(yōu)控制問題.在文[9]中, 作者給出如下描述藥物濃度不瞬時溶解情況下Keller-Segel方程的局部精確能控性,

本文考慮方程(1.1)的能控性和時間最優(yōu)控制, 原因如下: 其一, 由于drift-diffusion 項的存在, 使得在證明方程(1.1)的正則性和線性方程的能觀性估計等方面更為困難; 其二, 非線性項uf(v)的存在使得方程(1.1)的難度更大, 但結(jié)果也更為豐富; 其三, 本文考慮的是方程組在一個控制下的能控性問題和時間最優(yōu)控制問題, 該類問題近年來愈發(fā)引起關(guān)注.

本文將采用近年來發(fā)展的處理非線性方程的經(jīng)典方法證明(1.1)的能控性: 首先將非線性方程線性化, 然后運用線性方程的能控性結(jié)果, 結(jié)合不動點定理, 最后得到非線性方程的能控性.

2.線性拋物方程的正則性

考慮如下的線性拋物型方程組

其中a1(·,·),a2(·,·),B2(·,·)∈L∞(QT), B1(·,·)∈L∞(QT)N, B1·ν=0在ΣT上.ρ0(·), θ0(·)∈L2(Ω), G ∈L2(QT).

命題2.1設(shè)a1,a2,B2∈L∞(QT),B1∈L∞(QT)N,B1·ν=0在ΣT上.

1) 若ρ0, θ0∈L2(Ω),G ∈L2(QT), 則方程(2.1)有唯一解(ρ,θ)∈L2([0,T))×L2([0,T);W1,2(Ω)), 且滿足

2) 當2≤p < ∞時, 若G ∈Lp(QT),ρ0∈Lp(Ω), θ0?νθ0= 0在?Ω上,則方程(2.1)有唯一解(ρ,θ)∈Lp(QT)×且滿足

3) 當p >5時, 若G ∈L∞(QT),ρ0∈L∞(Ω), θ0∈W1,p(Ω), ?νθ0= 0在?Ω上, 則方程(2.1)有唯一解(ρ,θ)∈L∞(QT)×L∞(QT), 且滿足

其中

并且常數(shù)C=C(Ω).

證由于解的存在性證明類似于文[1], 不等式(2.2)與(2.3)的證明相似, 故本文只證明不等式(2.3)和(2.4)成立.

首先, 證明不等式(2.3)成立.

對(2.1)的第一、二個方程分別乘|ρ|p?2ρ, |θ|p?2θ, 并分別在Ω上積分, 可得

對關(guān)于t微分, 并利用(2.1)的第二個方程, 有

對(2.1)的第二個方程利用最大正則性[9]得

對(2.6)-(2.8)利用Gronwall不等式, 并在[0,T]上積分, 可得

綜上可得

故不等式(2.3)成立.

然后證明不等式(2.4)成立.

對于p ∈(1,∞),A=:Ap指扇形算子

假設(shè)γ為正常數(shù),ρ0∈C(().{e?tA}t≥0和{e?t(A+γ)}t≥0是由Lp(Ω)(1< p <∞) 中?A和?(A+γ)生成的解析C0半群.關(guān)于(2.1)第一個方程的解可表示為

對上式(2.11)兩邊取范數(shù)可得

對于任意的0≤s

設(shè)τ >0, D((A+γ)τ)是具有圖像范數(shù)的Banach空間, 并滿足如下嵌入性質(zhì)

由于p >5, 取ε足夠小,τ滿足(2.15), 對(2.12)通過Hlder不等式和文[9]中的Proposition 1得

由(2.9), (2.12)-(2.16)得

同理關(guān)于(2.1)第二個方程的解可表示為

對式(2.18)兩邊取W1,p(Ω)范數(shù)

對(2.19)作估計

再通過(2.9)、(2.19)-(2.21)和Sobolev嵌入W1,p(Ω)(p>3), 有

3.能觀性估計

引理3.1設(shè)z(x,t)為方程

的弱解,fi ∈L2(QT), ?fi/?xi是fi的弱導(dǎo)數(shù)(i= 1,...,N), 存在常數(shù)C=C(Ω,ω0,d)和常數(shù)λ0=λ0(Ω,ω0,d)>1, 對所有的λ ≥λ0和s ≥r(λ)(T+T2), 有

其中d是實數(shù), 且

不等式(3.2)的證明類似于文[6], 證明過程只需將ω=esνu替換成ω=(sφ)desνu, 并利用相同的方法估計.

考慮線性方程組(2.1)的共軛方程組

其中ζT,?T ∈L2(Ω).已知線性拋物方程的精確能控等價于其共軛方程的能觀性估計, 因此,為了研究方程(2.1)的零可控, 需對共軛方程(3.4)進行能觀性估計, 為了得到共軛方程的能觀性估計, 需利用共軛方程的Carleman估計.

其中常數(shù)C1=C1(Ω, ω, ω0), 且

證存在常數(shù)C0(Ω,ω0) 和滿足

對所有的和s ≥r(λ)(T+T2), 對(3.4)運用引理3.1, 并分別令d=2, d=0, 有

其中(ζ,?)為方程(3.4)關(guān)于ζT,?T ∈L2(Ω)的解,Ci(i=1,2,3)為僅依賴于Ω,ω,ω0的正常數(shù).

需對不等式(3.9)的后半部分作處理.

令(Ω),ξ=1在ω0上;ξ=0在中; 0≤ξ ≤1在ω中, 并且滿足

令η=λ4(sφ)3e2sν,將(3.4)的第一個方程化為a1?=?tζ+Δζ+B1?ζ, 再兩邊同乘?ηξ, 可得

上式利用分部積分得

通過(3.3)和(3.10)得

對Ψ1,Ψ2利用Cauchy不等式, 有

其中ε1和ε2是任意的正常數(shù).

再利用Cauchy不等式得

(3.5)成立.證明完畢.

眾所周知, 方程(2.1)關(guān)于L2(QT)的零可控等價于方程(3.4)的可觀測不等式,

其中(ζ,?)為方程(3.4)的解.為了使控制在空間L∞(QT)上, 需建立改進的可觀測不等式.

命題3.3存在正常數(shù)λ和s, 對任意的T >0, ζT,?T ∈L2(Ω), 則方程(3.4)的解(ζ,?)滿足

這里m由(2.5)給定.

證存在正常數(shù)λ1=λ1(Ω,ω,ω0), 對于任意的λ ≥λ1和s ≥r(λ)(T+T2), 令

根據(jù)引理3.2, 對方程(3.4)利用分部積分, 可得

由(3.6), (3.7)得

由于

再利用(3.5), 可得

故得到(3.14)成立.

4.能控性

證明非線性方程(1.1)的局部精確能控: 先證明線性方程(2.1)的零可控, 再利用不動點定理.

Ⅰ 在一個控制下線性方程的零能控性

定理4.1對于T >0, 任意的(ρ0,θ0)∈L2(Ω)×L2(Ω), 存在控制函數(shù)g ∈L∞(QT),使得方程(2.1)相對于g的解(ρ,θ)滿足(ρ,θ)∈L2([0,T))×L2([0,T);W1,2(Ω)),ρ(x,T) =θ(x,T)=0,?x ∈Ω, 且控制函數(shù)g滿足

其中C為依賴于Ω,ω的正常數(shù),m滿足(2.5).

證對于?ε>0, 考慮下面的最優(yōu)控制問題

其中

這里(ρ,θ)是方程(2.1)相對于g的解.存在控制問題(4.2)的最優(yōu)對(gε,(ρε,θε)),通過Pontryagin最大原理, 可得

令ν0=則有

其中r(λ)由(3.3)給定.

假設(shè)參數(shù)λ,s足夠大, 使得可觀測不等式(3.14)和

成立.

對每個i(i=0,1,...,k,k+1), 定義

對方程(4.7)利用Lp ?Lq估計, 則方程的解可表示為

對(4.8), (4.9)利用Lpi?1?Lpi估計, Young卷積不等式和文[9]中的Proposition 1, 可得

又

通過(4.10)-(4.12)得‖^ζi‖pi+‖^?i‖pi ≤eCm(‖^ζi?1‖pi?1+‖^?i?1‖pi?1),上式從0到k迭代, 再利用(4.4), 則有

即

由(4.11)得

再由(4.12)和(4.13)可得

利用嵌入不等式, 有

即

選擇δ足夠小, 由r(λ)>4, 可得通過(4.5), (4.14)得

Ⅱ 非線性方程的局部精確能控性

這部分, 通過線性拋物方程(2.1)的局部精確零能控性和Kakutani不動點定理來證明非線性方程(1.1)的局部精確能控性.

定理4.2p >5, (是方程(1.4)相對于的軌跡, 存在不依賴于T的正常數(shù)C, 對于任意的(當滿足

證首先將非線性拋物方程(1.1)線性化.

其中(ρ,θ)是方程(4.17)的軌跡.

令K={(α,β)∈L∞(QT)×L∞(QT)| ‖α‖∞≤e??Tm0,‖β‖∞≤m0}, 這里m0>0.對任意的(α,β)∈K, 將(4.17)化為線性方程, 有

故方程(1.1)的局部精確可控等價于方程(4.18)的局部零可控.已知(ρ,θ)是方程(4.18)相對于g和(α,β)的解, 由定理4.1得ρ(x,T)=θ(x,T)=0, 且控制函數(shù)滿足以下估計

然后利用Kakutani不動點定理.

對于(α,β)∈K, 定義一個多值映射Λ:K →2L2(QT),(α,β)→Λ(α,β),

Λ(α,β)={(ρ,θ)∈L2(QT)×L2(QT);?g滿足(4.19),方程(4.18) 相對于

(α,β) 和g的解(ρ,θ),滿足ρ(x,T)=θ(x,T)=0 a.e.在Ω中}.

下面將證明多值映射Λ滿足Kakutani不動點定理.

1) 證明Λ(α,β)是(L2(QT))2的非空緊凸集.通過前面的討論, 可得Λ(α,β)對每個(α,β)∈K是非空凸的, 通過(4.19)和(2.4)得(ρ,θ)滿足

通過(4.20)可得,Λ(α,β)在L2(Ω×[0,T))×L2([0,T);W1,2(Ω))中對每個(α,β)∈K是有界的, 再通過Aubin-Lions引理得Λ(α,β)是(L2(QT))2的緊子集.

2)證明Λ是上半連續(xù).取K中的有序數(shù)列(αn,βn)在L2(QT)中強收斂于(α,β),對每個n.設(shè)(ρn,θn)∈Λ(αn,βn), 由Λ(αn,βn)的定義, 對每個n, 存在gn, 使得(ρn,θn)為以下方程的解,

并且ρn(x,T)=θn(x,T)=0, 對幾乎所有的x ∈Ω, 此外, 控制函數(shù)gn滿足

由(4.22)和命題2.1 得

在方程(4.21)中, 當n →∞時, 可得(4.21)相對于(α,β)的弱解為(ρ,θ).下面需證明(ρ,θ)∈Λ(α,β).令Yn=ρn ?ρ,Zn=θn ?θ,Gn=1wgn.設(shè)(Yn,Zn)為以下方程的解

其中‖(B2)αn‖∞≤C,‖(a1)βn‖∞≤C,‖(a2)βn‖∞≤C, 對所有的n成立.通過能量估計, 有

又(ρ,θ)是(4.18)的解.當2≤p<∞時, 由命題2.1(ii)得

由(4.19)得1wg是有界的, 通過Sobolev嵌入(QT)1(QT) (P >5), 可得

因為(αn,βn)→(α,β)在L2(QT)中強收斂, (Yn,Zn)→(0,0)在L2(QT)中強收斂, (Gn ?G)→0在L2(QT)中弱收斂, 當n →∞時, (4.25)的右邊趨于0, 所以|Yn(·,t)|2→0,|Zn(·,t)|2→0,?t ∈[0,T], 由于ρn(x,T) =θn(x,T) = 0,?x ∈Ω, 可得ρ(x,T) =θ(x,T) = 0,?x ∈Ω,即(ρ,θ)∈Λ(α,β).綜上可得,Λ是上半連續(xù).

5.時間最優(yōu)控制的存在性

本節(jié), 利用定理4.2的局部精確能控性, 討論具有控制的非線性趨化方程(1.1)關(guān)于時間最優(yōu)控制的存在性問題.

則(1.5)至少存在一個時間最優(yōu)控制.

取T >T1, 作輔助函數(shù)