田啟華 鄢君哲 張玉蓉 李 浪 周祥曼 付君健

（1.三峽大學 機械與動力學院,湖北 宜昌 443002；2.上海良信電器股份有限公司,上海 201315；3.聞泰科技股份有限公司,上海 200030；4.湖北江漢建筑工程機械有限公司,湖北 荊州 434020）

現(xiàn)代企業(yè)之間競爭的核心力是產(chǎn)品的開發(fā)與創(chuàng)新,而在產(chǎn)品的開發(fā)過程中,設計任務之間的耦合關系是引起整個產(chǎn)品設計過程復雜性的主要原因,并使得不同的設計任務間出現(xiàn)大量返工和迭代,這種關系延長了產(chǎn)品的整個設計周期,增加了開發(fā)成本.為了解決設計任務中的耦合關系,內(nèi)部迭代作為一種處理耦合集的新方法近年來得到了廣泛的關注.其中,工作轉移矩陣(work transformation matrix,WTM)作為內(nèi)部迭代的一種分析方法,可以識別出產(chǎn)品設計過程中的迭代驅動任務及特性和收斂的速率,因此被廣泛應用.例如:Smith等[1]運用WTM 建立了經(jīng)典的并行耦合設計任務工期模型；Xiao R 等[2]運用WTM對迭代過程進行分析并結合資源約束條件,建立了一種基于資源均衡策略的并行耦合設計任務工期模型；Chen T 等[3]運用WTM 識別出了并行耦合設計任務工期模型中存在的缺陷,然后從任務迭代時間、信息傳遞的不完備特性以及迭代次數(shù)的有限性等方面進行了修正,建立了改進的并行耦合設計任務工期模型,進而結合遺傳算法,求解出了耦合集的最優(yōu)執(zhí)行工期和成本；田啟華等[4]針對耦合設計任務工期的不確定性,將WTM 與模糊理論相結合,建立了并行耦合設計任務模糊工期模型,在此基礎上,采用相離度和質(zhì)心相結合的排序方法求解該模型,得到每次迭代返工的關鍵任務；張金標[5]在WTM 的基礎上,引入一種多參數(shù)任務轉移矩陣,建立了一個能實現(xiàn)串行迭代的并行迭代模型.以上研究都是在運用WTM 對耦合集任務進行分析的基礎上所開展的一系列研究,但這些研究都有一定的局限性,其主要表現(xiàn)在:①當采用WTM 對耦合設計任務進行分析并建立并行耦合設計任務工期模型時,模型所反映出的設計任務迭代過程是離散的,與實際情況下設計活動是連續(xù)性的特點相沖突；②未考慮設計人員在設計活動過程中產(chǎn)生的學習效應會縮短任務開發(fā)時間的問題.

狀態(tài)空間法能反應出系統(tǒng)具有連續(xù)性的特點,同時也能確定系統(tǒng)全部內(nèi)部運動狀態(tài).目前,狀態(tài)空間法在耦合集迭代的求解問題上已經(jīng)得到不少應用.例如:Ong等[6]用狀態(tài)空間法識別出了并行耦合設計任務中耗時最長的任務；Kim[7]利用狀態(tài)空間法,使并行耦合設計任務開發(fā)過程的動態(tài)特性能夠被很方便地分析和預測；Lee等[8]用狀態(tài)空間法對并行耦合設計任務進行了建模,通過求解資源矩陣,識別出了那些需要消耗大量資源和時間的任務；高斯博[9]基于狀態(tài)空間法,給出了一種狀態(tài)空間模型下不同觀測時刻下機械設備剩余使用壽命預測的計算方法.

在產(chǎn)品設計開發(fā)過程中,學習效應作為一種自然產(chǎn)生的現(xiàn)象,是不可被忽視的.當員工進行重復性勞動時,完成單位產(chǎn)品的勞動時間會越來越短,從而使得產(chǎn)品的生產(chǎn)成本越來越低,因此在耦合集迭代的求解問題中考慮學習效應是一種符合實際的做法.目前學習效應在耦合集任務上得到了很多應用.例如胡金昌[10]將學習效應應用到了單機調(diào)度問題中,得到了總完工時間最小化的單機排序組合；李永林等[11]將學習效應引入到多目標車間調(diào)度問題中,以最大完工時間和總加權滯后時間為優(yōu)化目標,建立了與加工順序相關的對數(shù)線性調(diào)度模型.本文針對并行耦合設計任務工期模型存在的問題,運用狀態(tài)空間法和學習效應函數(shù)對模型進行修正,建立一個新的并行耦合設計任務工期模型,最后通過某空氣進化器的開發(fā)實例對模型的有效性進行驗證.

1 并行耦合設計任務工期模型描述

設計任務之間總是存在著耦合的關系,而耦合度的大小則體現(xiàn)出了設計任務之間關聯(lián)性的強弱.設計任務之間的關聯(lián)性越強,就意味著設計任務之間存在的返工程度越強；反之,越弱.因此,設計任務之間的耦合關系可以通過WTM 用矩陣的形式來定量化描述.WTM 一般由兩個單獨的m×m方陣構成,即任務工期矩陣C和返工量矩陣R構成.其中任務工期矩陣C描述了每個任務獨立完成一次需要消耗的時間單位,返工量矩陣R描述了設計任務之間產(chǎn)生迭代時返工量的大小.WTM 矩陣也可以用數(shù)學表達式來定量描述,即:T＝C+R.以A,B,C 3個設計任務作為WTM 示例,如圖1所示.其中圖1(a)中的數(shù)值表示:任務A 需要1個單位時間來獨立完成,任務B需要2個單位時間來獨立完成,任務C需要3個單位時間來獨立完成.圖1(b)中的數(shù)值表示:當任務A 每次完成后,任務B有20%的工作需要重做,任務C有40%的工作需要重做；當任務B 每次完成后,任務A有30%的工作需要重做,任務C 有50%的工作需要重做；當任務C每次完成后,任務A 有60%的工作需要重做,任務B有30%的工作需要重做.

圖1 WTM 示例

根據(jù)文獻[12],假設第n次的迭代時每個任務的工作量用一個工作向量vn表示,則有:

式中:[·](i)表示向量的第i個元素；n最大取值為∞,描述了設計任務的迭代過程是一個趨近正無窮的過程.

2 學習效應模型的建立

產(chǎn)品設計過程中的復雜性主要體現(xiàn)在耦合設計活動之間需要進行反復的迭代返工工作,隨著迭代次數(shù)的增加,產(chǎn)品設計人員設計能力與設計經(jīng)驗不斷提高,因此整個產(chǎn)品的設計周期通常由于多次執(zhí)行同一活動而縮短,這種現(xiàn)象被稱為學習效應[13].耦合集中的所有設計活動在迭代返工過程中都是一個自我學習的過程,即在每次的迭代過程中,資源的設計效率不斷提高,本文引入如下學習曲線函數(shù)[14]來表示學習效應:

3 并行耦合設計任務工期模型的改進

狀態(tài)空間法是建立在狀態(tài)變量描述基礎上的對控制系統(tǒng)分析和綜合的方法.在狀態(tài)空間方法中,用狀態(tài)變量和狀態(tài)方程可以完全地描述一個系統(tǒng),其狀態(tài)方程可以用微分方程表示為:

式中:k為n維列向量；σ為(m×1)維向量；z為(n×1)維向量；B為(p×p)系統(tǒng)矩陣；F為(p×m)輸入控制矩陣；G為(n×p)輸出矩陣；H為(n×m)前饋矩陣.由于B,F,G,H矩陣完整地表現(xiàn)了系統(tǒng)的動態(tài)特性,所以可以把一個確定的系統(tǒng)用系統(tǒng)圖描述出來,如圖2所示.

圖2 狀態(tài)空間方程式系統(tǒng)描述圖

假設系統(tǒng)的狀態(tài)變量用工作向量vn進行刻畫,其含義表示在第n次迭代后每個任務的工作量,其中n≥0,n∈N+.為方便計算,取輸入系統(tǒng)的擾動狀態(tài)為零,根據(jù)式(8),即σ為零向量,表示系統(tǒng)不受外界干擾,系統(tǒng)的迭代過程完全由自身決定,且每次迭代設計過程在單位時間內(nèi)發(fā)生,則根據(jù)式(8),每次產(chǎn)生的工作量與初始工作量的關系為:

對比式(16)與式(1)可知,采用WTM 來描述設計任務的迭代過程是一種離散化的描述方法,這種方法是在用狀態(tài)空間法對系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣進行求解的基礎上,將結果中的二次項和高次項忽略掉后得到的一種描述方法,是一種被簡化后的描述方法,與設計任務真實的迭代過程不相符.

由于耦合設計任務的迭代過程是一個趨于正無窮的過程,迭代的整個過程可以看成是信息有效性的積累過程,在實際的生產(chǎn)活動當中,當信息的有效性積累到一定程度,就可以認為其設計參數(shù)已經(jīng)不會影響到產(chǎn)品的性能了,不需要再繼續(xù)進行迭代求解.對全并行迭代模型,可以采用如下兩種方式中的一個來作為迭代終止的判斷條件:①當?shù)趎次的工作量與初始工作量的比值小于等于某一給定閾值ε時,迭代停止；②第n次迭代前后,任務累計工作時間的變更小于等于某一給定的閾值ε時,迭代停止.

本研究取第一種情況作為迭代的終止條件,即:

式中:ε為預先設定的閾值,根據(jù)經(jīng)驗,通常取0.01.

根據(jù)本文第1、2節(jié)原理方法可推導出在狀態(tài)空間法下完成整個耦合集所需要的工期C為:

4 并行耦合設計任務工期模型的求解

根據(jù)式(11)可知,如果矩陣B＝[R—E]的行列式的值不為0,即矩陣B是可逆矩陣,則矩陣B可以表示為:

式中:Λ是由矩陣B的特征值為元素構成的對角矩陣；S是由矩陣B的各個特征值所對應的特征向量所構成的變換矩陣.

式(19)可以改寫為:

根據(jù)文獻[8],系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以用狀態(tài)方程中系統(tǒng)矩陣的特征值和特征向量來衡量.在并行設計迭代中,若工作轉移矩陣的最大特征值λmax＞1,則剩余工作量將隨著時間的推移而增加,即整個設計項目的運行失去控制,隨著迭代次數(shù)的增加,任務將變得更加繁重；若工作轉移矩陣的最大特征值λmax＝1,則剩余工作量不隨時間的推移而增加,隨著迭代次數(shù)的增加,剩余工作量是恒定的；若工作轉移矩陣的最大特征值λmax＜1,則剩余工作量將隨著時間的推移而減少,直到整個設計收斂完成.由此可見,工作轉移矩陣的最大特征值λmax＜1,是所期望的.

運用數(shù)學帶入法對并行耦合設計任務迭代模型進行求解時,計算過程復雜且計算量過于龐大,有時可能因為某一次迭代出現(xiàn)計算錯誤,從而導致后續(xù)的計算都出錯,因此采用Matlab仿真優(yōu)化方法來簡化數(shù)學計算,具體實施步驟如圖3所示.根據(jù)圖3,編寫Matlab仿真優(yōu)化代碼.

圖3 Matlab仿真步驟圖

5 實例分析

以某空氣進化器開發(fā)過程為例,說明本文建立的工期模型在實際生產(chǎn)中的應用.根據(jù)文獻[15],該產(chǎn)品開發(fā)過程包括概念設計(任務Q1)、風扇設計(任務Q2)、空氣過濾器設計(任務Q3)、水箱設計(任務Q4)、智能監(jiān)控系統(tǒng)設計(任務Q5)、主體設計(任務Q6)、負離子發(fā)生器設計(任務Q7)和電路設計(任務Q8)等8個任務,其中任務Q2、Q3、Q4、Q5及Q6等5個任務構成帶循環(huán)信息流的耦合集.空氣進化器產(chǎn)品開發(fā)過程耦合信息如圖4所示.

圖4 設計任務耦合信息圖

根據(jù)任務工期矩陣C、返工量矩陣R的定義,結合圖4,可得到空氣進化器開發(fā)過程中設計任務的任務工期矩陣C和返工量矩陣R分別為:

在設計任務迭代開始階段,設初始工作向量v0＝[1 1 1 1]T,代表每個任務在迭代的初始階段都單獨執(zhí)行一次,由式(8)可知,在本實例中,整個設計活動系統(tǒng)的狀態(tài)變量由工作向量v描述,因此系統(tǒng)矩陣B可以用返工量矩陣R和單位矩陣E的差值表示,即:

通過矩陣論相關知識求得系統(tǒng)矩陣B的特征值矩陣Λ與特征向量矩陣S,將Λ與S帶式(22),并用Matlab對式(1)和式(12)所建立的設計任務之間的迭代關系進行仿真,得到每個任務在不同工期模型下的剩余工作量迭代過程圖,如圖5～6所示.

圖5 WTM 下并行設計任務剩余工作量迭代圖

由圖5可知,采用WTM 對設計任務的迭代過程進行分析時,設計任務需要經(jīng)過20次迭代才能達到收斂條件.而在不同設計任務的收斂過程中,總存在一些點游離于收斂趨勢之外,這種現(xiàn)象反映了WTM描述方法的離散性特征,此特征掩蓋了設計任務真實的迭代過程,使得設計任務過早地收斂.

由圖6可知,設計任務剩余工作量的收斂趨勢是平穩(wěn)的,不存在游離于收斂趨勢之外的點.這說明本文運用狀態(tài)空間法對設計任務迭代過程進行分析,解決了WTM 描述方法存在的離散性問題,同時也反映出了設計任務在真實的迭代過程中是一個連續(xù)性的迭代過程.在整個迭代過程中設計任務需要更多的迭代次數(shù)才能使得自身收斂.本實例中,設計任務需要經(jīng)過22次迭代才能使設計任務收斂.基于以上分析,本文建立的基于狀態(tài)空間法的并行耦合設計任務工期模型是一種能反映設計任務真實迭代情況的工期模型,是一種更好的工期模型.

圖6 狀態(tài)空間法下設計任務剩余工作量迭代圖

考慮設計人員在設計活動中所產(chǎn)生的學習效應,運用Matlab對此實例按照圖3所示的仿真流程進行仿真,得到在基于狀態(tài)空間法的并行耦合設計任務工期模型下并行耦合設計任務不同學習效率下迭代次數(shù)與耗時量關系,如圖7所示.

圖7 不同學習效率下迭代次數(shù)與耗時量關系圖

由圖7可知,在機械產(chǎn)品的開發(fā)過程中,當設計任務采用并行執(zhí)行模式進行設計活動時,設計小組在設計活動中自發(fā)產(chǎn)生的學習效應使得設計任務在每一次迭代返工中的工作時間都得到了有效減少.

根據(jù)式(18),得到不同學習效率下空氣進化器開發(fā)過程總工期.當c＝0時,即設計人員在設計活動中不存在學習效應時,空氣進化器所需的工期為36.207 3個時間單位；若考慮設計人員在設計活動過程中產(chǎn)生的學習效應,當學習效率c＝0.2時,空氣進化器所需的工期為21.0520個時間單位.在學習效應的影響下,空氣進化器的整個工期減少了41.8%,這說明設計人員在設計活動過程中產(chǎn)生的學習效應能有效縮短產(chǎn)品的整個工期.在實際情況下,設計人員產(chǎn)生的學習效應不應該被忽視,而應該被作為重要的影響因素被納入到產(chǎn)品的設計開發(fā)中.

6 結 語

本文通過引入狀態(tài)空間法,對并行耦合設計任務工期模型進行了改進,解決了原工期模型中存在的離散性問題；在此基礎之上,考慮到設計人員在多次設計活動中會產(chǎn)生學習效應,進而提出了學習效率矩陣,建立了基于狀態(tài)空間法并考慮學習效應的并行耦合設計任務工期優(yōu)化模型.以某空氣進化器的開發(fā)過程為實例,運用Matlab對優(yōu)化模型就行求解,得到了設計任務小組在不同學習效率影響下完成耦合集設計任務開發(fā)的總時間.結果表明,本文所建立的優(yōu)化模型更為接近實際生產(chǎn)狀況,所得到的計算結果更可靠,可以為項目開發(fā)時間的控制和管理提供一種有效的指導和幫助。