于 凱 賈 曉

（南陽(yáng)理工學(xué)院信息工程學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473004）

0 引言

近年來(lái)，通過(guò)調(diào)整光與1個(gè)或多個(gè)機(jī)械振子的相互作用來(lái)控制光的傳播的研究取得了許多成果。一種類(lèi)似于原子物理學(xué)中電磁感應(yīng)透明現(xiàn)象[1]，即光力誘導(dǎo)透明[2]，這一現(xiàn)象在最近的理論和試驗(yàn)上都得到了證實(shí)。在最近幾十年的研究中，有關(guān)于光和機(jī)械振子耦合的研究大多數(shù)都是線(xiàn)性耦合的[3]。除了經(jīng)典線(xiàn)性耦合的光力系統(tǒng)外，還存在一個(gè)平方耦合的光力系統(tǒng)[4]，即光腔場(chǎng)與機(jī)械振子位移的平方相互耦合。與線(xiàn)性耦合不同，平方耦合是雙聲子過(guò)程，而線(xiàn)性耦合只涉及單聲子過(guò)程，這使平方耦合能提供更多復(fù)雜的非線(xiàn)性效應(yīng)。Huang和Agarwal分析了在平方耦合膜系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)的光力誘導(dǎo)透明效應(yīng)，并解釋了環(huán)境溫度及其他系統(tǒng)參數(shù)影響平方耦合光力系統(tǒng)中出現(xiàn)透明窗口[5]的原因。平方耦合腔光力系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的干涉效應(yīng)，導(dǎo)致信號(hào)場(chǎng)從不透明傳輸?shù)酵该髟俚奖伙@著放大[6]。這些現(xiàn)象取決于光力耦合的強(qiáng)度、弱相干驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的振幅和外加場(chǎng)的相位。因此，平方耦合的光機(jī)械系統(tǒng)可以用作光學(xué)晶體管，其中信號(hào)場(chǎng)可以被視為由控制場(chǎng)和探測(cè)場(chǎng)控制。首次觀(guān)察到電磁誘導(dǎo)透明現(xiàn)象是在原子蒸氣中，最近在量子阱、超材料等各種固體系統(tǒng)中也觀(guān)察到了電磁誘導(dǎo)透明現(xiàn)象。對(duì)腔光力學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在光學(xué)領(lǐng)域和微波領(lǐng)域都已經(jīng)觀(guān)察到基于光力誘導(dǎo)透明的慢光與快光現(xiàn)象。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型與動(dòng)力學(xué)方程

1.1 物理結(jié)構(gòu)

平方耦合光力系統(tǒng)原理圖如圖1所示。由1個(gè)振幅為εS、頻率為ωS的強(qiáng)探測(cè)場(chǎng)和1個(gè)振幅為εc、頻率為ωc的弱探測(cè)場(chǎng)共同驅(qū)動(dòng)。機(jī)械諧振器的位置用x表示，l是法布里-珀羅腔的長(zhǎng)度，kL=ηLk（kR=ηRK）表示左（右）鏡的空腔衰減率（K為總衰減率）。其中，總損耗率k=kL+kR+k0，k0表示系統(tǒng)固有損耗率，kL和kR分別表示左邊和右邊鏡子的耗散率，耦合參數(shù)ηL（ηR）可連續(xù)調(diào)節(jié)，選擇ηL=ηR=0.499。強(qiáng)控制場(chǎng)振幅為εS、頻率為ωS，弱探測(cè)場(chǎng)振幅為εc、頻率為ωc，力學(xué)驅(qū)動(dòng)振幅為εd、頻率為ωd，εt-out表示輸出場(chǎng)振幅。

圖1 平方耦合光力系統(tǒng)原理圖

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

該平方耦合光力系統(tǒng)的哈總密頓量如公式（1）所示。

式中：δa為湮滅算符的波動(dòng)值；δp為系統(tǒng)動(dòng)量的波動(dòng)值；δP為動(dòng)量平方的波動(dòng)值；A1+為湮滅算符一階上邊帶系數(shù)；A1-為湮滅算符一階下邊帶系數(shù)；A2+為湮滅算符二階上邊帶系數(shù)；A2-為湮滅算符二階下邊帶系數(shù)；x1為位移一階上邊帶系數(shù)；x1*為位移一階下邊帶系數(shù)；x2為位移二階上邊帶系數(shù)；x2*位移二階下邊帶系數(shù)；p1為動(dòng)量一階上邊帶系數(shù)；p1*動(dòng)量一階下邊帶系數(shù)；p2為動(dòng)量二階上邊帶系數(shù)；p2*為動(dòng)量二階下邊帶系數(shù)；X1為位移平方的一階上邊帶系數(shù)；X1*為位移平方的一階下邊帶系數(shù)；X2為位移平方的二階上邊帶系數(shù)；X2*為位移平方的二階下邊帶系數(shù)；P1為動(dòng)量平方的一階上邊帶系數(shù)；P1*為動(dòng)量平方的一階下邊帶系數(shù)；P2為動(dòng)量平方的二階上邊帶系數(shù)；P2*為動(dòng)量平方的二階下邊帶系數(shù)；Q1為動(dòng)量平方的一階上邊帶系數(shù)；Q1*為動(dòng)量平方的一階下邊帶系數(shù)；Q2為動(dòng)量與位移乘積的二階上邊帶系數(shù)；Q2*為動(dòng)量與位移乘積的二階下邊帶系數(shù)。

基于系統(tǒng)的光力非線(xiàn)性，輸出場(chǎng)有一系列的頻率分量（ωc±nω）產(chǎn)生，整數(shù)n是邊帶的階數(shù)。A1±表示一階邊帶的系數(shù)，頻率為ωc±Ω。其中，一階上邊帶ωc+Ω被稱(chēng)為反斯托克斯場(chǎng)，一階下邊帶ωc-Ω被稱(chēng)為斯托克斯場(chǎng)。該文只關(guān)注一階邊帶和二階邊帶的過(guò)程，忽略其他頻率分量。

該文重點(diǎn)討論輸出場(chǎng)的分量，它通過(guò)法布里-珀羅腔的右鏡傳輸，并在信號(hào)場(chǎng)的頻率上振蕩。利用輸入和輸出理論，可以得到法布里-珀羅腔傳輸?shù)妮敵鰣?chǎng)如公式（9）所示。

公式（10）表示信號(hào)和耦合場(chǎng)的貢獻(xiàn)，它在平方耦合光力系統(tǒng)中引起光機(jī)械誘導(dǎo)的不透明度。結(jié)果表明，信號(hào)場(chǎng)探測(cè)法布里-珀羅腔有3條途徑：通過(guò)右鏡直接透過(guò)光耦；通過(guò)2個(gè)聲子過(guò)程干擾磁共振散射的耦合場(chǎng)；通過(guò)2個(gè)聲子過(guò)程干擾磁共振直接機(jī)械驅(qū)動(dòng)散射的聲子散射的耦合場(chǎng)。因此，信號(hào)場(chǎng)的透射譜是由這3條路徑的干涉決定的。其中，耦合功率Pc、相位差φ和機(jī)械驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的振幅εd發(fā)揮了重要的作用。

2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)透射譜線(xiàn)的影響

2.1 不同功率激光場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)對(duì)探測(cè)場(chǎng)透射率的影響

該文選擇的所有參數(shù)都來(lái)自于最近的試驗(yàn)。可以清楚地看到，在平方耦合機(jī)制下，探測(cè)場(chǎng)的透射率隨著失諧量的變化的譜線(xiàn)圖如圖2所示。探測(cè)場(chǎng)透射率是指將一束探測(cè)光入射到平方耦合腔光力系統(tǒng)后，透過(guò)該系統(tǒng)的探測(cè)光的光通量與入射探測(cè)光的光通量的比值。失諧量為控制場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)之間頻率的差值。

圖2中|tp|2表示探測(cè)光的透射率，Ω=ωs-ωc是信號(hào)和耦合場(chǎng)之間的失諧量，Ωm=2 π×0.1 MHz為振子頻率，驅(qū)動(dòng)功率為50 μW。

圖2 平方耦合機(jī)制下，探測(cè)場(chǎng)的透射率隨著失諧量的變化圖

圖2（a）在平方耦合機(jī)制下，受驅(qū)動(dòng)場(chǎng)影響的探測(cè)場(chǎng)透射率隨著失諧量的增加不斷變化，在失諧量Δ=2 Ω時(shí)，控制場(chǎng)產(chǎn)生的反斯托克斯光與探測(cè)光發(fā)生干涉形成共振。圖2（b）增大驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的幅值，在該驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的影響下，在失諧量Δ=2 Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透射率發(fā)生變化，出現(xiàn)了1個(gè)很小的透明窗口。出現(xiàn)透明窗口的原因?yàn)樘綔y(cè)場(chǎng)與驅(qū)動(dòng)場(chǎng)2個(gè)頻率不同的激光形成1個(gè)拍頻，拍頻驅(qū)動(dòng)振子，在該過(guò)程中出現(xiàn)非線(xiàn)性的上下轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生反斯托克斯光，一階邊帶需要轉(zhuǎn)換1次，二階邊帶需要轉(zhuǎn)換2次，控制場(chǎng)失去2個(gè)振子，吸收或增加1個(gè)振子為反斯托克斯光。反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)之間是共振的，反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)的頻率相同，在腔場(chǎng)內(nèi)方向一致，相位差恒定。即反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)會(huì)發(fā)生相消干涉，從而使探測(cè)場(chǎng)的透射譜線(xiàn)在控制場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)失諧量和機(jī)械振子頻率匹配處出現(xiàn)1個(gè)透明窗口。圖2（c）繼續(xù)增大驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的幅值，在該驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的影響下，當(dāng)失諧量為1.5 Ω～2.0 Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透射率逐漸減少，而當(dāng)失諧量為2.0 Ω～2.5 Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透視率逐漸增大。當(dāng)失諧量為Δ=2 Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透射率發(fā)生突變，此時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透射率等于0.6，出現(xiàn)很明顯的透明窗口。圖2（d）繼續(xù)增大驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的幅值，在該驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的影響下，在失諧量為1.5 Ω～2.0 Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透射率逐漸減少，在失諧量2.0 Ω～2.5 Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透視率逐漸增大。在失諧量Δ=2Ω時(shí)，探測(cè)場(chǎng)透射率發(fā)生突變，此時(shí)探測(cè)場(chǎng)透射率趨近于1，即探測(cè)光被完全吸收。由于圖2中驅(qū)動(dòng)場(chǎng)幅值的不同，因此會(huì)導(dǎo)致透射率譜線(xiàn)出現(xiàn)很大差異。其中，透明窗口出現(xiàn)的物理過(guò)程為控制場(chǎng)產(chǎn)生的反斯托克斯光與探測(cè)光發(fā)生相消干涉，使探測(cè)場(chǎng)的透射譜線(xiàn)在控制場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)失諧量和機(jī)械振子頻率匹配處出現(xiàn)1個(gè)透明窗口。而驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的功率大小會(huì)影響反斯托克斯場(chǎng)的出現(xiàn)，不能使所有的探測(cè)光都與反斯托克斯場(chǎng)發(fā)生相消干涉，影響透明窗口的出現(xiàn)。

2.2 溫度對(duì)透明窗口的影響

透明窗口（光力誘導(dǎo)透明現(xiàn)象）可以由泵浦光與探測(cè)光之間的拍頻Ω=ωp-ωl振蕩的輻射壓力來(lái)解釋?zhuān)该鞔翱诔霈F(xiàn)的原因?yàn)槿绻?qū)動(dòng)力接近于機(jī)械共振頻率Ωm，則振動(dòng)模相干激發(fā)，導(dǎo)致強(qiáng)控制場(chǎng)光產(chǎn)生斯托克斯散射和反斯托克斯散射。如果在腔的紅邊帶驅(qū)動(dòng)光學(xué)腔，腔場(chǎng)內(nèi)的斯托克斯的散射過(guò)程將被抑制，只剩下反斯托克斯散射。當(dāng)探測(cè)光與腔發(fā)生諧振時(shí)，控制場(chǎng)產(chǎn)生的反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)之間是共振的，它們之間滿(mǎn)足干涉的條件，反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)的頻率相同，在腔場(chǎng)內(nèi)方向一致，相位差恒定。即反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)會(huì)在法布里-珀羅腔內(nèi)發(fā)生干涉，并導(dǎo)致出現(xiàn)透明窗口。

改變環(huán)境的溫度，選取T=50 K。將圖3的透射率譜線(xiàn)圖與圖2進(jìn)行對(duì)比，升高溫度，透明窗口會(huì)變寬，出現(xiàn)了本征模式劈裂，透射率譜線(xiàn)從尖銳變得圓滑。如果繼續(xù)升高溫度，那么譜線(xiàn)會(huì)出現(xiàn)2次吸收凹陷，此時(shí)透明窗口消失。通過(guò)分析透射率譜線(xiàn)圖可以得出，溫度的變化很大程度地影響了透明窗口的大小，當(dāng)溫度過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致透明窗口消失。

圖3 T=50 K時(shí)，失諧量對(duì)透射率的影響

3 結(jié)論

綜上所述，該文介紹了腔力光學(xué)的研究歷史、當(dāng)前研究現(xiàn)狀以及非線(xiàn)性的平方耦合光力系統(tǒng)的模型，通過(guò)分析該模型，在雙色激光場(chǎng)包括控制場(chǎng)和探測(cè)場(chǎng)驅(qū)動(dòng)在內(nèi)的情況下，根據(jù)量子光學(xué)的基本知識(shí)寫(xiě)出系統(tǒng)的哈密頓量以及其相應(yīng)的海森堡-朗之萬(wàn)運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)控制場(chǎng)的強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于探測(cè)場(chǎng)的強(qiáng)度時(shí)，即在微擾機(jī)制的條件下時(shí)，可以將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中的光力非線(xiàn)性項(xiàng)線(xiàn)性化。在半經(jīng)典近似的條件下，將運(yùn)動(dòng)方程中的算符寫(xiě)為平均值和小量漲落的和，并忽略其高階小量，只保留到一階小量，從而得到線(xiàn)性化的運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)該線(xiàn)性化的運(yùn)動(dòng)方程可以求解一階邊帶即探測(cè)場(chǎng)振幅的解析表達(dá)式。最后通過(guò)MATLAB對(duì)理論計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬并畫(huà)圖，進(jìn)一步探究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)探測(cè)場(chǎng)透射率的影響。該文主要探究了不同功率激光場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)對(duì)探測(cè)場(chǎng)透射率的影響以及溫度對(duì)透明窗口的影響。

驅(qū)動(dòng)場(chǎng)功率的大小會(huì)影響斯托克斯散射，從而使腔場(chǎng)內(nèi)反斯托克斯場(chǎng)與探測(cè)場(chǎng)發(fā)生不完全的相消干涉，影響透明窗口的出現(xiàn)。溫度也會(huì)影響透明窗口的大小，當(dāng)溫度過(guò)大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)本征模式劈裂，從而導(dǎo)致透明窗口消失。