李 崢，柏思宇，王 悅，曹名圓

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

在捕食者-食餌系統(tǒng)中，功能反應(yīng)函數(shù)起著重要作用[1]，其中Holling-Ⅰ～Ⅲ型功能反應(yīng)函數(shù)在第一象限單調(diào)非減，而Holling-Ⅳ型功能反應(yīng)函數(shù)[2]用來(lái)描述當(dāng)食餌密度達(dá)到較高水平時(shí)，捕食者生長(zhǎng)可能受到抑制的非單調(diào)反應(yīng).隨著生物系統(tǒng)的不斷發(fā)展，學(xué)者們利用離散變量對(duì)Holling-Ⅳ型差分系統(tǒng)的性質(zhì)進(jìn)行了研究[3-8].

如Cinar[3]研究了如下差分系統(tǒng)的正解

Clark和Kulenovi[4，5]研究了如下差分系統(tǒng)的性質(zhì)

基于離散動(dòng)力系統(tǒng)的初步研究，本文研究Holling-Ⅳ型差分系統(tǒng)

(1)

正解的漸近性，其中參數(shù)α1、β1、γ1、α2、β2、γ2及初始條件u-1、u0、v-1、v0均為正數(shù).本文考慮un和vn的兩種不同取法，即un=xn，vn=yn與un=yn，vn=xn.針對(duì)這兩個(gè)差分系統(tǒng)，分別研究它們的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性.

1 穩(wěn)定性分析

首先考慮取un=xn，vn=yn時(shí)，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性，即

(2)

為了構(gòu)造系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的線性化形式，作如下變換

(xn，xn-1，yn，yn-1)→(f，f1，g，g1)

(3)

(4)

其特征多項(xiàng)式

(5)

定理2如果α1<β1，α2<β2，則系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)(0，0)局部漸近穩(wěn)定.

證明：由式(4)易知，系統(tǒng)(2)在點(diǎn)(0，0)處的雅可比矩陣為

其特征多項(xiàng)式

定理3系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)(0，0)全局漸近穩(wěn)定.

證明：在定理2結(jié)論的基礎(chǔ)上，如果平衡點(diǎn)(0，0)是全局吸引子，那么(0，0)是全局漸近穩(wěn)定的.因此，我們只需證明(0，0)是全局吸引子.

現(xiàn)在考慮第2種取法系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性，即取un=yn，vn=xn，則有

(6)

與第1種證法類似，作如下變換

(xn，xn-1，yn，yn-1)→(f，f1，g，g1)

(7)

這里f=xn+1，f1=xn，g=yn+1，g1=yn.系統(tǒng)(6)有唯一的平衡點(diǎn)(0，0).基于變換(7)，在點(diǎn)(0，0)處的雅可比矩陣為

(8)

定理4如果α3<β3，α4<β4，則系統(tǒng)(6)的唯一平衡點(diǎn)(0，0)全局漸近穩(wěn)定.

然后證明(0，0)是一個(gè)全局吸引子.因?yàn)閷?duì)系統(tǒng)(6)有

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證我們的結(jié)果，本節(jié)考慮簡(jiǎn)單的數(shù)值模擬.

例1選取系統(tǒng)(2)初始條件x-1=0.8，x0=3.5，y-1=1.7，y0=1.1，參數(shù)α1=118，β1=125，γ1=10，α2=135，β2=140，γ2=12，則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

此時(shí)，該系統(tǒng)的仿真結(jié)果見(jiàn)圖1.

圖1 參數(shù)α1=118，β1=125，γ1=10，α2=135，β2=140，γ2=12時(shí)，系統(tǒng)(2)中xn，yn的時(shí)序Fig.1 Plot of solutions xn，ynto Eq.(2) with parameters α1=118，β1=125，γ1=10，α2=135，β2=140，γ2=12

例2選取系統(tǒng)(6)初始條件x1=0.7，x0=1.8，y1=2，y0=1.1，參數(shù)α3=150，β3=151，γ3=2.3，α4=165，β4=175，γ4=8，則系統(tǒng)(6)變?yōu)?/p>

此時(shí)，該系統(tǒng)的仿真結(jié)果見(jiàn)圖2.

圖2 參數(shù)α3=150，β3=151，γ3=2.3，α4=165，β4=175，γ4=8時(shí)，系統(tǒng)(7)中xn，yn的時(shí)序Fig.2 Plot of solutions xn，yn to Eq.(7) with parameters α3=150，β3=151，γ3=2.3，α4=165，β4=175，γ4=8

由圖1和圖2可見(jiàn)：在兩組參數(shù)條件下，系統(tǒng)(2)和(6)的解都趨向于平衡點(diǎn)(0，0).這說(shuō)明系統(tǒng)(2)和(6)的參數(shù)只要分別滿足條件α1<β1，α2<β2和α3<β3，α4<β4，則平衡點(diǎn)(0，0)均全局漸近穩(wěn)定.