左冉東，賀小帆，李玉海

（北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083）

飛機(jī)結(jié)構(gòu)在使用過程中長期承受交變載荷作用，由此造成的疲勞斷裂是飛機(jī)結(jié)構(gòu)最主要的失效模式，為了保證飛機(jī)結(jié)構(gòu)的使用安全和經(jīng)濟(jì)性，應(yīng)進(jìn)行耐久性分析確定結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)壽命［1］。概率斷裂力學(xué)方法是一種有效的耐久性分析方法，該方法基于描述結(jié)構(gòu)原始疲勞質(zhì)量的當(dāng)量初始缺陷尺寸（EIFS）分布給出損傷度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而依據(jù)指定的損傷度要求預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)壽命。在該方法中，原始疲勞質(zhì)量和使用期裂紋擴(kuò)展控制曲線（SCGMC）的確定都需要建立結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式［2］，因此相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式的研究非常重要。

按幾何尺寸不同，疲勞裂紋可分為小裂紋和長裂紋。一般而言，小裂紋是指裂紋長度小于幾百微米的裂紋，而長裂紋則是指長于2 mm的裂紋［3］。受裂尖應(yīng)力場(chǎng)的影響，小裂紋和長裂紋的擴(kuò)展規(guī)律不同，需要分別描述［4-5］。而結(jié)構(gòu)耐久性分析針對(duì)的多是長度小于或等于工程可檢裂紋尺寸的裂紋，其長度一般在0.1～1.2 mm 范圍內(nèi)，通常稱為相對(duì)小裂紋［6］。目前，已經(jīng)對(duì)相對(duì)小裂紋范圍內(nèi)的裂紋擴(kuò)展規(guī)律進(jìn)行了大量研究。Frost和Dugdale［7］指出等幅載荷下，裂紋長度隨載荷循環(huán)數(shù)的變化可用對(duì)數(shù)線性關(guān)系來表征。Barter等［8-9］基于大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)指出Frost和Dugale［7］的結(jié)論符合F／A-18和Macchi飛機(jī)中的7050鋁合金的裂紋擴(kuò)展行為。Molent等［10-11］對(duì)隨機(jī)譜下多個(gè)飛機(jī)型號(hào)結(jié)構(gòu)疲勞斷口數(shù)據(jù)的分析也驗(yàn)證了該結(jié)論的正確性。

Yang等［12］在進(jìn)行飛機(jī)結(jié)構(gòu)耐久性分析時(shí)，認(rèn)為相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率與裂紋長度的常數(shù)冪線性相關(guān)，其中這個(gè)常數(shù)與材料有關(guān)，并用以確定EIFS分布。Gallagher和Stalnaker［13-14］基于孔邊角裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)分析，驗(yàn)證了Yang等［12］結(jié)論的有效性。Hoeppner和Krupp［15］通過對(duì)大量裂紋擴(kuò)展模型的對(duì)比分析，驗(yàn)證了該結(jié)論的正確性。

盡管大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)已經(jīng)證明了Yang等［12］所提相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式的有效性，且該公式在概率斷裂力學(xué)方法中具有非常重要的作用，但仍存在如下問題：

1）該公式的適用范圍不明確，相對(duì)小裂紋尺寸范圍與細(xì)節(jié)幾何尺寸有關(guān)，目前只能從試驗(yàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律予以確定，缺乏統(tǒng)一的確定方法。

2）該公式中參數(shù)的確定基于耐久性試驗(yàn)，需要取結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)模擬試件進(jìn)行至少3個(gè)應(yīng)力水平下的成組耐久性試驗(yàn)，試驗(yàn)工作量大。

為了建立相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式中參數(shù)的確定方法，本文以受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉伸載荷作用的中心圓孔板為分析對(duì)象，通過對(duì)材料裂紋擴(kuò)展速率公式的分析、裂紋擴(kuò)展分析的數(shù)值模擬、典型結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)耐久性試驗(yàn)，以及該式適用范圍的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，得到參數(shù)Q和b的確定方法。

1 相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式分析

按飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思想，耐久性分析的對(duì)象是除飛行安全關(guān)鍵件外的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵件，這些關(guān)鍵件通常承受較高應(yīng)力水平且存在應(yīng)力集中，其疲勞失效對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)性造成嚴(yán)重影響，在全壽命周期內(nèi)需要進(jìn)行修理才能滿足壽命指標(biāo)要求［16-17］。因此，在相對(duì)小裂紋擴(kuò)展范圍內(nèi)，其裂紋擴(kuò)展過程主要集中在材料的穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展段。材料疲勞裂紋擴(kuò)展的d a／d N-ΔK曲線在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下成“S”型，可分為3個(gè)階段，其中第2個(gè)階段，即穩(wěn)定擴(kuò)展區(qū)，一般可用Paris公式來表征：

當(dāng)裂紋長度相對(duì)較小時(shí)，與Y0相比，式（3）等號(hào)右側(cè)第2項(xiàng)為小量，即存在au，當(dāng)a≤au時(shí)，可僅保留式（3）等號(hào)右側(cè)第1項(xiàng)，即有

需要指出的是，Q為d a／d N＝Qab中的系數(shù)；au取值與具體分析對(duì)象有關(guān)，可根據(jù)Y的變化情況，按工程許用誤差（如±5%）予以確定。

2 遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉伸中心圓孔板相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式參數(shù)確定

中心圓孔板在遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉伸載荷作用下，孔邊會(huì)出現(xiàn)多種形態(tài)的裂紋，如孔邊角裂紋、孔壁裂紋等。在相對(duì)小裂紋范圍內(nèi)，裂紋均為三維裂紋，應(yīng)力強(qiáng)度因子求解復(fù)雜。本節(jié)針對(duì)典型裂紋形態(tài)，分有近似解和沒有近似解2種情況進(jìn)行研究。

2.1 基于應(yīng)力強(qiáng)度因子近似解的參數(shù)確定

Shah［18］、Raju和Newman［19］使用有限元法得到了中心圓孔有限寬板孔邊單邊／雙邊角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解。Raju和Newman［20］基于有限元解得到了單邊／雙邊角裂紋、單邊／雙邊孔壁裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子近似解。

取3種中心圓孔有限寬板，模型尺寸如表1所示。在單側(cè)孔邊設(shè)置長度為0.1 mm的1／4圓形初始角裂紋，基于單邊角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子近似解［20］進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析。其中裂紋速率Paris公式參數(shù)為C＝1×10-10、n＝2，交變應(yīng)力比R＝0.1，峰值應(yīng)力為98 MPa。經(jīng)裂紋擴(kuò)展分析得到a-N、a-Y數(shù)據(jù)，使用式（10）所示割線法計(jì)算裂紋擴(kuò)展速率d a／d N（單位為mm／cycle，其中cycle為載荷循環(huán)次數(shù)，L為裂紋擴(kuò)展過程中，相對(duì)小裂紋尺寸范圍內(nèi)的（a，N）數(shù)據(jù)對(duì)總數(shù)）。d a／d N-an／2曲線和a-Y曲線如圖1（a）和圖1（b）所示。

圖1 基于應(yīng)力強(qiáng)度因子近似解的裂紋擴(kuò)展分析結(jié)果Fig.1 Analysis result of crack propagation based on approximate solution of stress intensity factor

以Y與Y0的差值不超過±5%為依據(jù)確定au，各模型對(duì)應(yīng)的au和Y0如表1所示。

表1 模型尺寸Table 1 Model dimension

對(duì)a＜au范圍內(nèi)的d a／d N-an／2數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，斜率即為Q，擬合結(jié)果如表2所示，其中r2為相關(guān)系數(shù)。將參數(shù)C、n、σ、R和Y0代入式（9）計(jì)算Q值，記為Q′，按式（11）計(jì)算Q值的相對(duì)誤差η，將Q′和η一并列入表2中。

表2 da／dN-an／2數(shù)據(jù)處理結(jié)果Table 2 da／dN-an／2 data processing result

顯然，在a＜au范圍內(nèi)，d a／d N-an／2數(shù)據(jù)線性度良好，有式（8）成立；Q與Q′在誤差許可范圍內(nèi)，有式（9）成立。

2.2 基于FRANC3D軟件裂紋擴(kuò)展分析的參數(shù)確定

2.1節(jié)針對(duì)有應(yīng)力強(qiáng)度因子近似解的情況，闡明了相對(duì)小裂紋范圍內(nèi)式（7）的適用性和參數(shù)確定方法。由于中心圓孔平板試件在交變載荷作用下孔邊會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的裂紋形態(tài)，本節(jié)針對(duì)沒有應(yīng)力強(qiáng)度因子解的情況，借助FRANC3D軟件，模擬不同情況下的裂紋擴(kuò)展并討論參數(shù)的確定方法。

模型尺寸：寬度w＝40 mm，孔直徑d＝10 mm，厚度t＝5 mm。載荷譜和裂紋擴(kuò)展速率參數(shù)同2.1節(jié)。以孔壁到裂紋前緣的徑向最遠(yuǎn)距離為裂紋長度a，以模型一側(cè)表面為參考表面，用初始裂紋中心到參考表面的距離x來表示初始裂紋中心的位置，如圖2所示。

圖2 裂紋描述示意圖Fig.2 Schematic diagram of crack description

本節(jié)考慮如下4種裂紋擴(kuò)展模式：①單邊裂紋。②雙邊對(duì)稱裂紋。這2種情況下，在孔側(cè)x＝0，1，2，2.5處分別設(shè)置初始長度為0.1 mm的半圓形或1／4圓形初始裂紋。③雙邊裂紋（位置不對(duì)稱但初始長度相同），在孔壁兩側(cè)分別取x＝0，1，2，3，4，5六個(gè)點(diǎn)為初始裂紋位置，兩兩搭配，考慮結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性（如x＝0與x＝5位置，x＝1與x＝4位置是等效的）并剔除兩邊對(duì)稱的搭配，還剩余9種搭配，如表3所示。④雙邊裂紋（初始裂紋尺寸不相同，位置對(duì)稱）。在孔兩側(cè)x＝0，1，2，2.5處分別設(shè)置半徑為0.1 mm 和0.05 mm，0.2 mm和0.02 mm的圓形裂紋。采用FRANC3D軟件模擬裂紋擴(kuò)展并得到（a，N）數(shù)據(jù)，采用修正的割線法獲得裂紋擴(kuò)展速率d a／d N，各情況的d a／d N-an／2曲線如圖3所示，其中對(duì)于雙邊裂紋（初始裂紋尺寸不相同，位置對(duì)稱），僅對(duì)裂紋較長一側(cè)的裂紋擴(kuò)展結(jié)果進(jìn)行分析。圖3（c）圖例含義為：一側(cè)初始裂紋位置x-另一側(cè)初始裂紋位置x-該曲線對(duì)應(yīng)一側(cè)的初始裂紋位置。

圖3 基于FRANC3D模擬的d a／d N-an／2曲線Fig.3 d a／d N-an／2 curves based on FRANC3D simulation

表3 初始裂紋位置搭配Table 3 Initial crack position collocation

取相對(duì)小裂紋的尺寸范圍為a＜0.88 mm、Y0＝1.95（見表1）。對(duì)a＜0.88 mm 范圍內(nèi)的d a／d N-an／2數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，取截距為0，斜率即為Q，擬合結(jié)果如表4所示。將參數(shù)C、n、σ、R和Y0代入式（9）計(jì)算Q′，可得Q′＝9.29×10-6。由此計(jì)算η，一并列入表4。

表4 da／dN-an／2數(shù)據(jù)處理結(jié)果Table 4 da／dN-an／2 data processing results

由表4可知，在a＜0.88 mm 范圍內(nèi)，d a／d N-an／2數(shù)據(jù)線性度良好，有式（8）成立；Q與Q′在誤差許可范圍內(nèi)，有式（9）成立，且Q的取值與初始裂紋位置、裂紋擴(kuò)展方式（單邊／雙邊擴(kuò)展）無關(guān)。

3 耐久性試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 耐久性試驗(yàn)

耐久性試驗(yàn)采用中心圓孔平板試件，試件材料為7B04 T7451鋁合金，取樣方向L-S方向，根據(jù)試件孔徑和寬度的不同分為3種，如表5所示，試件示意圖如圖4所示。各試驗(yàn)組應(yīng)力比R＝0.1，峰值應(yīng)力及有效試件數(shù)如表5所示。

圖4 試件尺寸示意圖Fig.4 Schematic diagram of specimen size

表5 試件尺寸及試驗(yàn)結(jié)果Table 5 Specimen size andexperimental results

疲勞試驗(yàn)在Instron 8801液壓伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，試件直接夾持在夾頭上。試驗(yàn)在室溫大氣環(huán)境下進(jìn)行，軸向加載，正弦波，加載頻率5 Hz。為能通過斷口判讀獲取裂紋前緣形狀和擴(kuò)展數(shù)據(jù)，參考文獻(xiàn)［21］，在等幅譜中定期插入標(biāo)識(shí)載荷。試驗(yàn)后在工具顯微鏡下判讀斷口，獲得（a，N）數(shù)據(jù)。

3.2 參數(shù)確定

對(duì)各試件a＜au（au如表1所示）范圍內(nèi)的d a／d N-a1.566數(shù)據(jù)分別進(jìn)行線性擬合，取截距為0，斜率即為對(duì)應(yīng)的Qi（i為試件編號(hào)），如表6所示，其中r2為相關(guān)系數(shù)，試驗(yàn)組編號(hào)中括號(hào)內(nèi)的數(shù)值為應(yīng)力水平。由表6可知，在a＜au范圍內(nèi)，各試件的d a／d N-a1.566數(shù)據(jù)線性度良好，有式（8）成立。

表6 各試件的da／dN-a1.566數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Table 6 da／dN-a1.566 data fitting result of specimens

圖5 各試驗(yàn)組的d a／d N-a1.566曲線Fig.5 d a／d N-a1.566 curves of experimental groups

由于材料力學(xué)特性的分散性，疲勞裂紋擴(kuò)展速率參數(shù)C、n具有分散性，不能用某一試件的d a／d N-an／2數(shù)據(jù)來表征該種試件在某一應(yīng)力水平下的裂紋擴(kuò)展，須綜合該應(yīng)力水平下的所有d a／d N-an／2數(shù)據(jù)進(jìn)行表征。假設(shè)同一類試件在給定應(yīng)力水平下的Q服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，記Z＝lg Q，則Z的概率密度函數(shù)為

式中：μ和σ1分別為Z的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

則相關(guān)參數(shù)估計(jì)值為

基于式（13）獲得各試驗(yàn)組對(duì)應(yīng)的Q50，如表7所示?；?B04 T7451鋁合金穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展段的疲勞裂紋擴(kuò)展速率參數(shù)［22］，將參數(shù)C、n、σ、R和Y0代入式（9）計(jì)算Q′，并得到η，將Q′、η、au和Y0一并列入表7中。由表7可得，在a＜au范圍內(nèi)，Q50與Q′在誤差許可范圍內(nèi)，有式（9）成立。

表7 da／dN-a1.566數(shù)據(jù)處理結(jié)果Table 7 da／dN-a1.566 data processing result

4 結(jié) 論

本文以受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉伸載荷作用的含中心圓孔板為對(duì)象，基于裂紋擴(kuò)展分析和耐久性試驗(yàn)結(jié)果分析，驗(yàn)證了耐久性相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率公式，并給出了參數(shù)確定方法。結(jié)論如下：

1）裂紋擴(kuò)展速率公式d a／d N＝Qab可用于描述相對(duì)小裂紋擴(kuò)展速率，該公式使用范圍（裂紋長度上限）根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)近似展開式中首項(xiàng)的誤差確定。

2）等幅應(yīng)力下的裂紋擴(kuò)展速率參數(shù)