○ 于 蓉

小學(xué)生的理性思維，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中得到孕育，而理性思維水平如何，則必須通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)體現(xiàn)。為培育小學(xué)生理性思維的意識(shí)與能力，教師應(yīng)設(shè)計(jì)具有層次性、多樣性、開(kāi)放性、應(yīng)用性、獨(dú)創(chuàng)性的習(xí)題，為學(xué)生提供思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)。

一、串聯(lián)知識(shí)，圍繞深度理解設(shè)計(jì)

理解，是利用已有知識(shí)去發(fā)掘事實(shí)和方法背后的含義并謹(jǐn)慎地加以運(yùn)用。衡量“理解”的一個(gè)基本指標(biāo)是遷移，即把所學(xué)到的知識(shí)遷移到新的環(huán)境和挑戰(zhàn)中，而不僅僅是知識(shí)的回憶和再現(xiàn)。在習(xí)題設(shè)計(jì)中，可將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中實(shí)現(xiàn)遷移，感悟知識(shí)的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)化思維的培養(yǎng)。

【A 題】為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100 周年，社區(qū)計(jì)劃在街心公園新建一個(gè)造型為“100”的花圃。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10 米，寬是3 米。這個(gè)花圃的總面積一共是多少平方米？

【B 題】為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100 周年，社區(qū)計(jì)劃在街心公園新建一個(gè)造型為“100”的花圃。如果在數(shù)字“1”里鋪滿黃花，剩下的圖形鋪滿紅花。已知紅花中正方形的面積是40 平方米，求鋪紅花的花圃面積。

比較兩題，A 題找到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與圓的直徑的關(guān)系，應(yīng)用面積計(jì)算公式就能解答；而B(niǎo) 題的設(shè)計(jì)串聯(lián)了圓面積公式和組合圖形的面積，增強(qiáng)了整體思維的意識(shí)。計(jì)算鋪紅花的面積，需要進(jìn)行分解，從圓的面積和中去掉重疊部分的面積，而重疊部分的面積可以分解為兩等份，每一等份的面積=圓面積這里的關(guān)鍵是無(wú)須求出半徑是多少，直接帶入r2的值即可。B 題的解決，需要的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)學(xué)生都已具備，但在問(wèn)題情境中需要喚醒學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，激活學(xué)生的思維，挑戰(zhàn)后，學(xué)生會(huì)豁然開(kāi)朗，領(lǐng)悟蘊(yùn)含在其中的轉(zhuǎn)化、分解等數(shù)學(xué)方法，增強(qiáng)整體思維的意識(shí)。

又如，劉德武老師設(shè)計(jì)的一道題目——

小剛比小麗快一些，小強(qiáng)比小麗慢一些，小亮比小麗快很多。

哪個(gè)圖是正確的？小麗跑第幾呢？

劉老師將“快一些、慢一些、快很多、第幾”融合在問(wèn)題情境中，學(xué)生通過(guò)觀察兩幅圖中四個(gè)人不同的位置關(guān)系，確定標(biāo)準(zhǔn)量，分析標(biāo)準(zhǔn)量與比較量之間的關(guān)系推測(cè)結(jié)論，從而培養(yǎng)提升對(duì)比性觀察和選擇性思考的能力。

在數(shù)學(xué)中，同一對(duì)象常常有不同的表達(dá)形式。圍繞深度理解設(shè)計(jì)習(xí)題，旨在通過(guò)洞察、闡明、解釋、應(yīng)用，從同一對(duì)象不同表達(dá)形式及其之間的聯(lián)系，使學(xué)生深刻把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

圍繞深度理解設(shè)計(jì)習(xí)題，可以從以下幾點(diǎn)展開(kāi)：

一是設(shè)計(jì)要求舉例的習(xí)題。學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則、數(shù)學(xué)公式舉出恰當(dāng)?shù)睦?，有正例有反例，可以看出學(xué)生是否真正理解規(guī)則與公式的內(nèi)涵。

二是設(shè)計(jì)找相同與不同的習(xí)題。讓學(xué)生在看起來(lái)無(wú)關(guān)的兩個(gè)或幾個(gè)概念間找到內(nèi)在聯(lián)系，在看起來(lái)相似的幾個(gè)概念間找出不同，進(jìn)而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。

三是設(shè)計(jì)解釋概念的習(xí)題。當(dāng)學(xué)生用個(gè)性化的方式表征概念，用自己的方式重述概念時(shí)，會(huì)自覺(jué)遷移，主動(dòng)尋找知識(shí)之間、知識(shí)與情境之間的聯(lián)系，從而觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

二、形式多樣，圍繞思維過(guò)程設(shè)計(jì)

理性思維是一種建立在證據(jù)和邏輯推理基礎(chǔ)上的思維方式，是指對(duì)事物或問(wèn)題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維。學(xué)生做的習(xí)題多，并不代表思維水平會(huì)得到提高，而是要看學(xué)生做的什么習(xí)題，解題的思維過(guò)程是怎樣的。這就需要教師設(shè)計(jì)不同類(lèi)型的習(xí)題，讓學(xué)生用圖表、符號(hào)、文字暴露思維過(guò)程，再對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考。

【A 題】在○里填上“＞”“＜”或“=”。

843×6○643×8

【B 題】在○里填上“＞”“＜”或“=”，并寫(xiě)一寫(xiě)或畫(huà)一畫(huà)，讓大家明白你是怎么想的。

843×6 ○ 643×8

比較兩題，A 題只需要填出比較結(jié)果，B 題不僅要寫(xiě)出結(jié)果，還需要寫(xiě)出思考過(guò)程?？催@三名學(xué)生的解題過(guò)程，雖然判斷的結(jié)果一樣，但學(xué)生的思維水平卻不在同一層次。生1是通過(guò)計(jì)算得出來(lái)，生2是將三位數(shù)進(jìn)行拆分，通過(guò)圖式表達(dá)先找到相同部分，再比較不同部分的乘積，生3是組塊思維，根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，將三位數(shù)拆成百位和兩位數(shù)的組合，簡(jiǎn)化了比較的過(guò)程，邏輯關(guān)系清晰。根據(jù)學(xué)生的表達(dá)過(guò)程，教師可以準(zhǔn)確了解學(xué)生的思維狀態(tài)，知道自己教學(xué)中存在的問(wèn)題，從而確定干預(yù)路徑，提升課堂教學(xué)效益。

圍繞思維過(guò)程設(shè)計(jì)習(xí)題，重點(diǎn)要關(guān)注思維過(guò)程，形式并不拘泥，可以多樣。在設(shè)計(jì)和運(yùn)用的過(guò)程中，有兩點(diǎn)需要注意：

一是用題組的方式推進(jìn)學(xué)生的思維過(guò)程。題組的設(shè)計(jì)往往是拾階而上的。先是基礎(chǔ)題，學(xué)生應(yīng)用基本關(guān)系和定理能夠解決；然后是變式題，在第一題基礎(chǔ)上改變情境、變換數(shù)量關(guān)系表達(dá)，但基本關(guān)系和定理不變；再是拓展題，增加情境的復(fù)雜程度，或者將問(wèn)題拓寬到其他領(lǐng)域。有層次地呈現(xiàn)習(xí)題，便于學(xué)生由淺入深、由表及里逐漸領(lǐng)悟思維的路徑與方法，積累可影響思維方式的解題經(jīng)驗(yàn)。

二是指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)思維過(guò)程。數(shù)學(xué)方式的表達(dá)，不僅僅包括借助的素材，如符號(hào)、圖形、文字等，更為重要的，還需要強(qiáng)調(diào)表達(dá)的條理性與規(guī)范性。教師可以在習(xí)題中引導(dǎo)學(xué)生明確需要表達(dá)什么內(nèi)容、如何表達(dá)，如要求畫(huà)出現(xiàn)象背后隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律、寫(xiě)出發(fā)現(xiàn)的數(shù)量之間的關(guān)系、講出自己這樣做的道理等。

三、豐盈情境，圍繞思維品質(zhì)設(shè)計(jì)

情境是提出問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)，問(wèn)題是情境的核心和本質(zhì)。理性思維屬于高階思維。高階思維具有社會(huì)性，內(nèi)嵌在隱藏?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題的社會(huì)情境中，存在于思維的整個(gè)循環(huán)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中。

【A 題】求知書(shū)店五一期間圖書(shū)大促銷(xiāo)，《雪地尋蹤》一書(shū)的優(yōu)惠情況如下：

購(gòu)買(mǎi)套數(shù)單價(jià)（元）不足10 套22 10～29 套20 30～50 套18 50 套以上15

四（1）班13 人打算購(gòu)買(mǎi)，四（2）班15 人打算購(gòu)買(mǎi)。

①每個(gè)班分別購(gòu)買(mǎi)，要花多少元？

②如果四（1）班、四（2）班合起來(lái)購(gòu)買(mǎi)，一共需要多少元？

【B 題】求知書(shū)店五一期間圖書(shū)大促銷(xiāo)，《雪地尋蹤》一書(shū)的優(yōu)惠情況如下：

購(gòu)買(mǎi)套數(shù)單價(jià)（元）不足10 套22 10～29 套20 30～50 套18 50 套以上15

四（1）班13人打算購(gòu)買(mǎi)，四（2）班15人打算購(gòu)買(mǎi)。

①如果四（1）班和四（2）班合起來(lái)購(gòu)買(mǎi)，一共要花多少元？

②如果四（1）班、四（2）班、四（3）班合起來(lái)購(gòu)買(mǎi)，一共要花990 元。你知道四（3）班有多少人打算購(gòu)買(mǎi)這本書(shū)嗎？

比較兩題，同樣是購(gòu)書(shū)的情境，A 題第一問(wèn)，學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”即可解決，第二問(wèn)需要將人數(shù)合起來(lái)，看總?cè)藬?shù)對(duì)應(yīng)的單價(jià)，確定單價(jià)后再計(jì)算，基本的數(shù)量關(guān)系未變，隱藏在購(gòu)書(shū)情境中，學(xué)生只需要根據(jù)單價(jià)與數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系篩選信息，但并未給學(xué)生帶來(lái)挑戰(zhàn)，情境的作用還未充分發(fā)揮。B 題的第一問(wèn)相當(dāng)于A題的第二問(wèn)。在解決B 題第二問(wèn)時(shí)，由于知道了總價(jià)是990 元，人數(shù)不確定，學(xué)生會(huì)用總價(jià)除以單價(jià)得到套數(shù)（一套對(duì)應(yīng)一人），由于數(shù)據(jù)的巧合，可以用990÷18-（13+15）=27（人），也可以用990÷15-（13+15）=38（人），這兩個(gè)結(jié)果哪個(gè)合理？還是都可以存在？這時(shí)學(xué)生就需要進(jìn)行思辨，單價(jià)是18 元時(shí)，總套數(shù)是 55 套，與 50 套以上單價(jià) 15 元沖突，可以確定990 元購(gòu)買(mǎi)的單價(jià)是15 元，共購(gòu)買(mǎi)66 套。問(wèn)題的調(diào)整，學(xué)生計(jì)算出的信息需要根據(jù)情境進(jìn)行選擇，情境中呈現(xiàn)出的信息就有了價(jià)值，當(dāng)學(xué)生根據(jù)信息進(jìn)行思辨、斟酌時(shí)，也是理性思維孕育的過(guò)程。

好的情境，是指蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)問(wèn)題、為了揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的載體。這樣的情境需要教師自己去尋找和創(chuàng)造，如在個(gè)人情境、職業(yè)情境、教育情境、公共情境、科學(xué)情境中挖掘素材、提煉問(wèn)題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的方式分析，在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考。豐富的情境能夠讓學(xué)生面對(duì)習(xí)題時(shí)，學(xué)會(huì)去粗取精、去偽存真，對(duì)問(wèn)題本身進(jìn)行重新理解，打破刷題的慣性，靜下心來(lái)思考問(wèn)題，在解決真實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中提升思維品質(zhì)。

理性思維屬于科學(xué)思維的一種，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是科學(xué)研究的過(guò)程，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到習(xí)題設(shè)計(jì)對(duì)于理性思維培育的價(jià)值，并有意識(shí)地在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法、訓(xùn)練學(xué)生的思維方式、提升思維品質(zhì)，從而使他們?cè)诿鎸?duì)一個(gè)問(wèn)題無(wú)從下手或只是感性判斷時(shí)，能?chē)L試探索、理性分析、創(chuàng)造性思考，而不是人云亦云。