王學(xué)雷，張 賓，馮志新，呂世霞

（1.北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京 100176；2.中國農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083）

1 引言

串聯(lián)機(jī)器人是一個開式運(yùn)動鏈，這種結(jié)構(gòu)決定了串聯(lián)機(jī)器人在工作空間和姿態(tài)調(diào)整上具有較高的靈活性和柔性，因此串聯(lián)機(jī)器人在工業(yè)自動化中有著廣泛應(yīng)用[1-6]。

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)性能好壞直接影響其運(yùn)動效果，為此，研究者提出多種性能指標(biāo)來評價機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)性能，為機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計提供了依據(jù)[7-12]。

1991年，文獻(xiàn)[7]基于雅可比矩陣首次定義了機(jī)器人全域性能指標(biāo)。2012年，文獻(xiàn)[8]應(yīng)用動力學(xué)性能指標(biāo)對4 自由度SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。2015年，文獻(xiàn)[9]對Tricept 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的笛卡爾工作空間進(jìn)行了優(yōu)化。2019年，文獻(xiàn)[10]選取了兼顧全域性能指標(biāo)和全域條件波動指標(biāo)的優(yōu)化函數(shù)對機(jī)器人進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[11]提出了機(jī)構(gòu)運(yùn)動性能的全局尺度分析方法，為仿生機(jī)械腿的設(shè)計和全局尺度分析提供了一般的理論和方法。這些研究均針對一種具體的機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，仍存在評價不全面、不系統(tǒng)等問題，計算過程復(fù)雜，工作量大，沒有形成一個確切的全局綜合性能評價指標(biāo)，因此建立一種能全面反映機(jī)器人運(yùn)動學(xué)性能的通用性強(qiáng)的性能評價指標(biāo)對機(jī)器人進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計有著重要意義，針對6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計還亟待研究與改進(jìn)。

針對機(jī)器人速度同性指標(biāo)、靈巧度指標(biāo)和全域性能波動指標(biāo)的不足，根據(jù)加權(quán)法，提出一種改進(jìn)的全域綜合性能評價指標(biāo)對6R 串聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行性能指標(biāo)分析，該分析方法可用于對其它機(jī)器人的性能分析，可更全面的分析機(jī)器人運(yùn)動學(xué)性能，具有通用。基于改進(jìn)后的全域綜合性能評價指標(biāo)，利用遺傳算法求得了6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)性能較好的尺寸，為機(jī)器人關(guān)鍵部件的尺寸選取提供了理論依據(jù)。

2 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)介紹

一種六自由度混聯(lián)機(jī)器人可簡化為2SPU+U+RRRR，如圖1（a）所示。其兩自由度并聯(lián)部分由兩個驅(qū)動分支2SPU和一個約束分支U構(gòu)成，將兩驅(qū)動分支2SPU對約束分支U的驅(qū)動作用等效為由組成U副的兩個轉(zhuǎn)動副RR提供，這樣2SPU+U并聯(lián)機(jī)構(gòu)可簡化為兩自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)RR，即2SPU+U+RRRR六自由度混聯(lián)機(jī)器人可簡化為一個兩自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)RR 末端串聯(lián)四自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)RRRR，等效為六自由度6R 串聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1（b）所示。其結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1（c）所示。

圖1 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 6R Serial Mechanism

3 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)全域綜合性能評價指標(biāo)分析

設(shè)串聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出速度和輸入速度之間的映射關(guān)系，如下式所示：

式中：Vc—串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器輸出速度；v—串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器輸出線速度；ω—串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器輸出角速度；θ˙∈n—串聯(lián)機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)輸入速度；J∈n—串聯(lián)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣。

定義串聯(lián)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣J=[Jv Jω]T，式中：Jv∈R3×n—線速度雅可比矩陣；Jω∈R3×n—角速度雅可比矩陣，則式（1）可寫為如下表達(dá)式：

式中：ηcv—線速度靈巧度評價指標(biāo)；

ηcω—角速度靈巧度評價指標(biāo)；

Kcv—線速度條件數(shù)；

Kcω—角速度條件數(shù)，且0＜ηcv≤1，0＜ηcω≤1，ηcv和ηcω的值越大，機(jī)構(gòu)靈巧度越高。

基于統(tǒng)計學(xué)中變異系數(shù)概念得6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)線速度和角速度全域性能波動指標(biāo)如下：

采用加權(quán)求和原理，采用一種基于速度同性指標(biāo)、靈巧度指標(biāo)和全域性能波動指標(biāo)的全域綜合性能評價指標(biāo)ηcξξ來綜合評價機(jī)器人的運(yùn)動性能，如式（6）所示：

采用單變量分析法分別繪制6R 串聯(lián)機(jī)器人重要結(jié)構(gòu)參數(shù)a1和d1對全域綜合性能指標(biāo)ηcξξ的影響規(guī)律，借助Matlab 軟件分別繪制a1和d1對全域綜合性能指標(biāo)ηcξξ的影響曲線，得到關(guān)系曲線，如圖2所示。

僅考慮a1變化時對ηcξξ的影響規(guī)律，如圖2（a）所示；僅考慮d1變化時對ηcξξ的影響規(guī)律，如圖2（b）所示，其余參數(shù)均按照初始設(shè)定參數(shù)進(jìn)行賦值。

圖2 結(jié)構(gòu)參數(shù)與ηcξξ的關(guān)系Fig.2 Relationship Between Structural Parameters and ηcξξ

從圖2可以看出，隨著a1值的增大，ηcξξ隨之增大，且類似線性規(guī)律變化，說明a1值的增大會使機(jī)構(gòu)全域綜合性能指標(biāo)增大，有利于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制。隨著d1值的增大，ηcξξ隨之減小，也類似線性規(guī)律變化，說明d1值的增大會使整個機(jī)構(gòu)全域綜合性能指標(biāo)減小，不利于機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)運(yùn)行。

4 基于遺傳算法的全域綜合性能指標(biāo)優(yōu)化研究

如何確定機(jī)器人各構(gòu)件尺寸是其優(yōu)化設(shè)計的難題之一，機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計前，常根據(jù)其功能及實(shí)際應(yīng)用，給出各構(gòu)件尺寸的變化范圍。

4.1 目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

對上述性能指標(biāo)優(yōu)化的原理是通過加權(quán)求和法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，可看作為滿足不同約束條件下的非線性規(guī)劃問題，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

4.2 設(shè)計變量

對于本文的6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)，對目標(biāo)函數(shù)影響較大的參數(shù)有a1和d1，因此，該目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計變量可寫成如下向量形式：

4.3 遺傳算法

遺傳算法（簡稱GA）具有全局搜索能力強(qiáng)、魯棒性強(qiáng)、易于并行化、效率高、解的可靠性高以及遺傳函數(shù)不一定連續(xù)等優(yōu)點(diǎn)[13-15]而得到廣泛應(yīng)用，因此，這里采用遺傳算法對a1和d1尺寸進(jìn)行選取，遺傳算法進(jìn)化流程圖，如圖3所示。

圖3 遺傳算法流程圖Fig.3 Flow Chart of Genetic Algorithm

遺傳算法主要由以下內(nèi)容構(gòu)成：

（1）基因編碼

應(yīng)用最為廣泛的基因編碼為二進(jìn)制編碼，其等位基因由（0、1）組成。

（2）適應(yīng)度函數(shù)

由上文知這里的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為：

選用單點(diǎn)交叉方法，交叉概率選為0.8，選用變異概率為0.07。

（5）停止準(zhǔn)則

根據(jù)6R串聯(lián)機(jī)器人整機(jī)大體尺寸以及加工裝配要求，設(shè)主要部件尺寸變化范圍為：120cm≤a1≤140cm，120cm≤d1≤140cm，取遺傳算法連續(xù)兩代平均適應(yīng)度值小于0.001或循環(huán)100代作為停止準(zhǔn)則。通過遺傳算法，最終優(yōu)化結(jié)果為a1=144.999cm，a1=110.0cm，此時，f（x）的最小值為f（x）=-0.541，即全域綜合性能評價指標(biāo)的最大值為ηcξξ=0.541，根據(jù)實(shí)際需要選取a1=145.0cm，d1=110.0cm，此時機(jī)器人各性能指標(biāo)如表1 所示。6R 串聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化前相應(yīng)指標(biāo)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表2 所示。優(yōu)化前，a1=138.0cm，d1=121.0cm，對比表1和表2可以看出，性能指標(biāo)ηKtv和ηv均得到改善，而性能指標(biāo)η～v未得到改善，說明各性能指標(biāo)可能存在互相矛盾的現(xiàn)象，即當(dāng)一種性能指標(biāo)較優(yōu)時，而另一種性能指標(biāo)可能會變差，即ηcξξ取最大值時，不能滿足所有性能指標(biāo)均為最優(yōu)。

表1 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)優(yōu)化后結(jié)果Tab.1 Optimization Results of Performance Indexes

表2 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化前性能指標(biāo)值Tab.2 Performance Indexes Value Before Optimization

5 結(jié)論

（1）針對串聯(lián)機(jī)器人速度同性指標(biāo)、靈巧度指標(biāo)和全域性能波動指標(biāo)的不足，提出一種串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動性能的全域綜合性能評價指標(biāo)ηcξξ。

（2）采用單變量分析法，逐個分析了重要結(jié)構(gòu)參數(shù)a1和d1對6R 串聯(lián)機(jī)器人全域綜合性能評價指標(biāo)ηcξξ的影響規(guī)律，通過分析可知a1值的增大會使機(jī)構(gòu)全域綜合性能指標(biāo)ηcξξ增大，且類似線性規(guī)律變化，有利于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制；d1值的增大會使6R 串聯(lián)機(jī)構(gòu)全域綜合性能指標(biāo)ηcξξ減小，不利于機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)運(yùn)行。

（3）基于遺傳算法求得當(dāng)6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)鍵構(gòu)件尺寸參數(shù)為a1=145.0cm，d1=110.0cm 時，全域綜合性能評價指標(biāo)的最大值為ηcξξ=0.541。通過關(guān)鍵尺寸優(yōu)化前后性能指標(biāo)對比可看出通過遺傳算法優(yōu)化后，性能指標(biāo)ηKtv和ηv均得到改善，而性能指標(biāo)η～v未得到改善，即各性能指標(biāo)可能存在互相矛盾的現(xiàn)象，即當(dāng)一種性能指標(biāo)較優(yōu)時，而另一種性能指標(biāo)可能會變差。