張 珂，張毅雄，馮志鵬，黃 旋，陳 果

中國核動力研究設計院核反應堆設計技術重點實驗室，四川 成都 610213

引言

在核工程、航天航空等領域存在著大量的螺栓連接，對系統(tǒng)的安全運行影響十分顯著，連接處的非線性特性會影響結構響應，當連接失效時甚至會引起結構破壞等嚴重后果，而當核動力裝置中的管道等柔性構件發(fā)生大幅運動時，幾何非線性因素對結構振動響應的影響也不容小覷。目前，對于幾何非線性和螺栓連接的分析方法比較保守，且以理論分析居多。為提高分析精度，提取非線性模態(tài)特征，驗證理論結果，通過實驗研究多種非線性因素共同作用下的振動響應是有必要的。

非線性系統(tǒng)包含了許多極度復雜的行為，如：突跳、分叉、飽和、次諧波和超諧波、內共振、極限環(huán)、模態(tài)混疊以及混沌[1-5]。線性模態(tài)無法解釋這類復雜的動力學行為，因此，學者提出了非線性模態(tài)的概念進行研究，隨著研究的深入和計算能力的增強，非線性模態(tài)逐漸開始在工程領域中應用。2017 年，Liang等[6]以輸送流體的管道為例，對陀螺連續(xù)體的強迫振動進行分析，利用諧波平衡法和不變流形思想求解了它的非線性模態(tài)。2018 年，Gao 等[7]在通過實驗和數(shù)值的方法分析了內共振條件下的在軌可展開天線的非線性動力學特性，結果表明在大范圍的失諧參數(shù)上存在不止一種非線性模態(tài)。

針對連接處間隙碰撞、滑移等因素引起的非線性特性，中外學者以連接處的非線性剛度和非線性阻尼為切入點，提出了多種動力學建模方法[8-13]。針對柔性梁的動力學響應分析，目前常見的方法包括：KED 法[14]、混合坐標法[15]、絕對節(jié)點坐標法[16]和幾何精確梁模型[17-18]，近年來的研究主要針對提升算法的效率和應用[19-21]。目前，對于同時含有螺栓連接和幾何大變形的結構動力學響應研究較少，因此，本文搭建了螺栓連接大變形梁的實驗臺架，通過實驗測試分析其模態(tài)、阻尼、響應特性，研究兩種非線性因素耦合作用的模態(tài)特征。

1 理論模型

Peeters 等[22]指出，激勵能量的變化會引起非線性模態(tài)頻率的變化，并通過實驗與數(shù)值結果的對比，說明當響應與激勵信號是正交的同周期運動時，可以激勵得到結構的非線性模態(tài)，基于相位滯后準則建立了結構非線性模態(tài)的實驗測試方法。

本文針對工程中常見的螺栓連接柔性結構，利用Song 等[23]對于連接部件提出的改進Iwan 模型和Bathe[24]對于大變形結構提出的updated-lagrange混合坐標法，建立了含連接結構大變形梁的動力學模型

本文利用Kerschen 提出的基于相位滯后準則的非線性模態(tài)實驗測試方法，通過實驗測試研究同時含有連接處非線性因素和大變形非線性因素的結構非線性模態(tài)特性，對兩種非線性因素耦合作用下激勵能量對模態(tài)頻率影響的規(guī)律進行研究。

2 實驗系統(tǒng)及試件

實驗系統(tǒng)由試件、夾具、激勵系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)組成，實驗臺見圖1，實驗流程見圖2，計算機產生激勵信號，通過功率放大器使激振器激勵試件振動，傳感器采集振動的位移和激勵力信號，通過數(shù)據(jù)采集卡將響應信號返回計算機并進行后處理。

圖1 實驗臺實物圖Fig.1 Experiment device

圖2 實驗流程圖Fig.2 Sketch of experimental system

本次實驗的主要設備是使用螺栓連接的柔性梁，試件是兩根長度l=0.300 m，寬度d=0.025 m，厚度w=0.001 m 的鋼質梁，通過兩個M5 的螺栓連接，螺栓的預緊扭矩為0.12 N·m，連接處重疊部分長度為0.020 m。通過定制的夾具構成一端固定一端自由的懸臂梁，激振器作用位置距根部距離L0=0.002 m，激光位移傳感器的兩個測點P1、P2距根部距離分別為L1=0.220 m，L2=0.360 m。模型示意圖見圖3。

圖3 模型示意圖Fig.3 Sketch of test model

在實驗過程中，發(fā)現(xiàn)激振器的激振力不總是恒定的，尤其是當掃頻激勵中頻率接近共振頻率時，力傳感器測得的激振力會出現(xiàn)明顯上升的情況。圖4是0～100 s，0～50 Hz 掃頻測得的激振力圖像，可以看出，在非共振時間的力幅值為3 N，但是在29 s和86 s 附近，力幅值出現(xiàn)了短暫而明顯的上升。為了排除力幅值的變化對于測試結果的影響，加入反饋控制，可保證激振力輸出穩(wěn)定，如圖5 所示。

圖4 無控制掃頻激振力Fig.4 Uncontrolled sweep exciting force

圖5 反饋控制掃頻激振力Fig.5 Sweep exciting force under feedback control

3 正弦定頻激勵

為研究連接構件對結構共振頻率和共振時位移響應的影響，設置對照實驗，連續(xù)梁試件寬度和厚度與圖3 中連接梁試件相同，長度為0.6 m，其他條件控制完全相同，進行如下實驗測試。

施加定頻激勵信號，采用步進正弦激勵的方式，在各階共振頻率附近以較小的步長逐步改變激勵頻率，并在達到穩(wěn)態(tài)后測量激振力和位移的相位差，利用相位差滯后準則：激振力和響應位移的相位差達到90°時認為激勵起了非線性模態(tài)，得到了結構在前三階共振情況下的頻率和位移響應幅值如表1所示。分析實驗結果可知，連續(xù)梁和連接梁在共振時的位移幅值遠遠超過梁在振動方向的厚度，發(fā)生了大變形；螺栓連接的存在使結構的二三階共振頻率下降；連接梁和連續(xù)梁都在各自的共振頻率，在激振力相近的情況下，連接梁的位移幅值更小，說明螺栓連接表現(xiàn)出更強的阻尼特性。

表1 定頻激勵頻率-位移響應Tab.1 Frequency-displacement response under fixed frequency excitation

4 正弦掃頻激勵

非線性模態(tài)一個重要的特性是模態(tài)頻率會隨著激勵能量的改變而改變，頻響函數(shù)可以直觀地體現(xiàn)結構頻率和響應的關系，從而方便研究模態(tài)特性。使用線性正弦掃頻，掃頻頻率為0～100 Hz，設置3個大小等級的激振力：小激振力0.80 N，中激振力3.00 N，大激振力10.00 N。實驗結果如圖6 所示。

通過圖6a、圖6b 可以得出，不同激振力下，掃頻的結構位移響應趨勢基本相同，位移響應幅值和激振力正相關。圖6c、圖6d 是不同激振力下頻響函數(shù)的對比，結合表2 可以看出，第二、三、四階的頻響函數(shù)都隨著激振力的增大而出現(xiàn)了左偏的趨勢，即出現(xiàn)了隨著激勵能量的增大，模態(tài)頻率減小的非線性模態(tài)現(xiàn)象。

圖6 改變激振力正弦掃頻實驗圖Fig.6 Sine sweep experiment diagram with different exciting force

表2 改變激振力掃頻各階模態(tài)頻率對比Tab.2 Modal frequency comparison with different exciting forces

Song 的研究指出，螺栓連接結構處存在的非線性滑移行為會導致結構的模態(tài)頻率隨激勵能量的增大而減?。欢鴰缀未笞冃蔚墓酵茖t清晰地表明橫向大變形引起的軸向應變不可忽略時，會為系統(tǒng)引入額外的非線性剛度，即結構的模態(tài)頻率會隨著激勵能量的增大而增大。

本文的實驗結論說明，當連接非線性因素與幾何非線性因素耦合作用時，滑移引起的剛度減弱效果強于大變形引起的剛度附加，導致結構整體表現(xiàn)出模態(tài)頻率隨著激勵能量增大而增大的非線性特性。

使用半功率點法，根據(jù)所測得的位移響應的頻響函數(shù)值，計算不同激振力下的各階模態(tài)阻尼比，結果如表3 所示，可以得到，隨著激振力增大，振幅增加，結構阻尼也隨之明顯增加的非線性現(xiàn)象。

表3 改變激振力掃頻各階模態(tài)阻尼比對比Tab.3 Modal damping comparison with different exciting forces

5 改變預緊力掃頻激勵

含連接構件大變形梁的非線性因素由連接界面的滑移引起，通過改變連接處螺栓的預緊力，可以改變連接界面接觸剛度和滑移發(fā)生的困難程度，從而改變能量耗散的程度。實驗通過數(shù)顯扭力扳手定量地控制螺栓連接的扭矩，設置3 組不同的預緊力實驗組，其預緊力分別為0.15，0.25 和0.95 N·m，研究不同預緊力下掃頻激勵得到的結構模態(tài)的區(qū)別。

結合圖7 和表4 可以得出，第二三階的頻響函數(shù)都隨著激振力的增大而出現(xiàn)了向右平移的趨勢，即出現(xiàn)了隨著預緊力增大，模態(tài)頻率略微增大的現(xiàn)象。

圖7 改變預緊力正弦掃頻實驗圖Fig.7 Sine sweep experiment diagram with different preloads

表4 改變預緊力掃頻各階模態(tài)頻率對比Tab.4 Modal frequency comparison with different preloads

6 改變連接位置掃頻激勵

螺栓連接處可能造成剛度硬化、間隙、滑移等非線性現(xiàn)象，引起結構的模態(tài)頻率或振型的改變，因此，為了研究螺栓連接位置對結構模態(tài)頻率的影響，制作3 組試件，進行掃頻實驗對比其模態(tài)頻率。

圖8 從上至下依次是螺栓連接位置距固定端180～200 mm（靠前連接），距固定端280～300 mm（居中連接），距固定端460～480 mm（靠后連接）3 個實驗試件?？刂祁A緊力為0.30 N·m，其他條件完全相同，對不同螺栓連接位置的3 根試件進行掃頻實驗，結果如表5 所示和圖9 所示。

表5 改變連接位置掃頻實驗結果Tab.5 Sine sweep experiment result with different bolt connection positions

圖8 不同螺栓連接位置試件實物圖Fig.8 Specimen with different bolt connection positions

圖9 改變連接位置掃頻頻響函數(shù)對比Fig.9 Comparison of FRFs with different bolt connection positions

實驗表明，改變螺栓連接位置對結構固有頻率的影響相當明顯，且其規(guī)律并不是直觀的，和連接位置與固定端距離線性相關，使用線性模型，即通過建立的有限元模型整體質量矩陣M和整體剛度矩陣K，基于矩陣求特征值的方式，數(shù)值求解定性地展示連接位置對模態(tài)頻率的影響。

改變連接處位置，得到系統(tǒng)的前四階頻率與連接處位置的關系如圖10 所示。

圖10 連接處位置與模態(tài)頻率的關系Fig.10 The relationship between the position of the connection and the modal frequency

螺栓連接處附加了螺栓的質量，會導致連接處單元質量增加，因此，在線性定性計算中，通過測量螺栓的質量和計算連接處重疊部分梁的質量，近似假設連接處的單元質量滿足m′=2m（m′連接處梁單元的質量，kg；m普通梁單元的質量，kg）。且連接處由于滑移等因素會造成剛度下降，剛度的削減與運動的幅值和速度有關，是一個非線性量，為定性分析簡化計算，在線性計算中近似選取單元剛度為k′=0.7k（k′連接處梁單元的剛度，N/m；k普通梁單元的剛度，N/m）。

可以看出，結構的模態(tài)頻率與連接處位置呈波動變化，而不是簡單的與固定端距離呈線性關系。具體改變連接處位置數(shù)值計算的頻率見表6。

表6 改變連接處位置結構模態(tài)頻率Tab.6 Modal frequency comparison with different bolt connection positions

對比數(shù)值計算和實驗測試的結果可知，雖然由于線性計算的誤差問題導致具體的數(shù)值有一定差異，但是前三階頻率與連接位置的關系趨勢相同，說明使用此種簡化方法可以在一定程度上反映連接處位置與模態(tài)頻率的關系，且在工業(yè)中對需要迅速定性判斷結構頻率有較好的應用效果。

7 結論

（1）針對核反應堆系統(tǒng)中常見的螺栓連接和柔性構件，以含螺栓連接結構的大變形柔性梁為研究對象，通過實驗研究分析其振動特性，獲得同時包含連接非線性因素和大變形幾何非線性因素的結構非線性模態(tài)特征和規(guī)律，為含連接構件組件的設計優(yōu)化提供技術支撐。

（2）基于激光位移傳感器搭建了非接觸式的實驗臺架，進行了連續(xù)梁和連接梁的定頻、掃頻等不同激勵模式的實驗測試。得到的實驗現(xiàn)象和結論有：薄長梁在共振時發(fā)生大變形；螺栓連接的存在導致結構頻率降低，共振幅值減小，阻尼增大；增大激振力，連接梁出現(xiàn)頻率軟化的非線性模態(tài)現(xiàn)象；改變連接處位置，結構模態(tài)頻率出現(xiàn)明顯改變，其規(guī)律可以通過求解特征矩陣的方式定性預測。

（3）當連接非線性因素與幾何非線性因素耦合作用時，滑移引起的剛度減弱效果強于大變形引起的剛度附加，導致結構整體表現(xiàn)出模態(tài)頻率隨著激勵能量增大而增大的非線性特性。