金咸宜

(原上海船舶工業(yè)公司所屬新中動(dòng)力機(jī)廠培訓(xùn)中心，上海 200083)

潮汐是地球表面壯觀的自然現(xiàn)象．潮汐現(xiàn)象的主要特征是，海洋在隨地球自轉(zhuǎn)的過程中，到達(dá)近月點(diǎn)時(shí)漲潮，然后退潮，到達(dá)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)又漲潮，然后又退潮，每日兩次漲落．近月點(diǎn)的潮位比遠(yuǎn)月點(diǎn)稍大．地表海水，相對(duì)于地球自轉(zhuǎn)軸，呈不對(duì)稱的紡錘體形(見圖1示意)．

圖1 海洋在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)漲潮

潮汐是由于地球附近天體如月球和太陽，對(duì)地表物體(主要指海水)存在作用所造成的．月球離地球最近，作用也最大．已有各種方法，運(yùn)用力學(xué)原理，引入引潮力的概念，以解釋月球?qū)Τ毕F(xiàn)象的主要作用．

本文試圖以另一種角度，即從簡化的地月二體系統(tǒng)的力學(xué)模型入手，比較嚴(yán)格地推導(dǎo)出與月球有關(guān)的地表物體動(dòng)力學(xué)方程，轉(zhuǎn)換到固連于地月系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，使用對(duì)稱性原理對(duì)方程各項(xiàng)進(jìn)行分析，排除與潮汐無直接關(guān)聯(lián)的項(xiàng)，從而確定引潮力．

1 簡化的地月系統(tǒng)力學(xué)模型

建立一個(gè)簡化的地月二體系統(tǒng)的力學(xué)模型．在慣性參考系中，地球質(zhì)量為m地，質(zhì)心在O1點(diǎn)，月球質(zhì)量為m月，質(zhì)心在O2點(diǎn)．O1和O2兩點(diǎn)之間的距離為常量L(此處忽略了地月之間距離的變化)．在一個(gè)固定的平面內(nèi)，地月二體繞系統(tǒng)的質(zhì)心O點(diǎn)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(此處忽略了地月繞太陽和銀河系中心等的復(fù)雜運(yùn)動(dòng))，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω沿該平面的法線方向．O和O1兩點(diǎn)之間的距離為常量a．

建立一個(gè)慣性坐標(biāo)系(見圖2)．原點(diǎn)在O點(diǎn)．z軸與角速度ω重合．Oxy平面即系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面．x軸可以這樣設(shè)定：在某一初始時(shí)刻，當(dāng)O1和O2兩點(diǎn)之間的連線正指向天空中某一恒星時(shí)，設(shè)x軸從O點(diǎn)指向該恒星．

再建立一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系．坐標(biāo)系的原點(diǎn)、z軸和Oxy平面的設(shè)定，與上述慣性坐標(biāo)系相同．而x軸，則固定在O1和O2兩點(diǎn)的連線上．可見此坐標(biāo)系在初始時(shí)刻與慣性坐標(biāo)系完全重合(見圖2)，然后以角速度ω相對(duì)慣性坐標(biāo)系作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，是一個(gè)非慣性的坐標(biāo)系．

最后，在力學(xué)模型中加入地球的自轉(zhuǎn)．設(shè)地球相對(duì)于以上建立的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，繞通過地球南北極的自轉(zhuǎn)軸，以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，ω1與ω平行，因而也與z軸平行(此處忽略了ω1和ω之間的夾角)．因而在慣性坐標(biāo)系中，地球繞地球自轉(zhuǎn)軸，是以角速度ω+ω1作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的．

本文后續(xù)的討論就以此力學(xué)模型為基礎(chǔ)，在慣性坐標(biāo)系和固連于地月系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中分別進(jìn)行．

2 地表物體的運(yùn)動(dòng)參量

如有物體(如海水)質(zhì)量為m物，位于地表任意一點(diǎn)P．設(shè)此物體相對(duì)地球靜止，只隨地球的運(yùn)動(dòng)在慣性坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)．分析該物體的各運(yùn)動(dòng)參量．

(1)

此徑矢是時(shí)間t的函數(shù)．其中a以角速度ω繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)．R既以角速度ω繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)又以角速度ω1繞地球自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)．

物體的速度如下式所示，其中利用ω和ω1方向相同的性質(zhì)，可得

(2)

把速度對(duì)時(shí)間微分，得到物體的加速度，并利用ω和ω1方向相同，以及ω和ω1為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，因而對(duì)時(shí)間的微分為0的性質(zhì)，可得

ω×(ω×a)+(ω+ω1)×((ω+ω1)×R)

(3)

并得物體質(zhì)量與加速度的乘積為

(4)

3 慣性坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程

由質(zhì)量與加速度的乘積，即可得到慣性坐標(biāo)系中地表物體的動(dòng)力學(xué)方程：

m物ω×(ω×a)+m物(ω+ω1)×[(ω+ω1)×R]

(5)

其中力F由3項(xiàng)組成，代入得

m物ω×(ω×a)+m物(ω+ω1)×[(ω+ω1)×R]

(6)

等式右邊第1、2項(xiàng)，是物體質(zhì)量與加速度的乘積．由于ω和ω1方向相同，第2項(xiàng)可拆分為三項(xiàng)之和：

m物(ω+ω1)×[(ω+ω1)×R]=

m物ω×(ω×R)+2m物ω×(ω1×R)+m物ω1×(ω1×R)

(7)

因而方程可寫為

m物ω×(ω×a)+m物ω×(ω×R)+

2m物ω×(ω1×R)+m物ω1×(ω1×R)

(8)

4 轉(zhuǎn)換到固連于地月系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系

把動(dòng)力學(xué)方程從慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到非慣性的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，只要在等式右邊，只保留物體質(zhì)量與在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的加速度的乘積，而把其余各項(xiàng)變號(hào)后移到等式左邊，有

m物ω×(ω×a)-m物ω×(ω×R)-

2m物ω×(ω1×R)=m物ω1×(ω1×R)

(9)

對(duì)等式左邊各項(xiàng)說明如下：

第1至第3項(xiàng)同上，不再重復(fù)．第4、5項(xiàng)之和利用式(1)可寫為

-m物ω×(ω×a)-m物ω×(ω×R)=

-m物ω×[ω×(a+R)]=

(10)

可見這是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中所受的慣性離心力．第6項(xiàng)則是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中所受的科里奧利力．只要代入物體相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的速度

ω1×R=V

(11)

可得

-2m物ω×(ω1×R)=-2m物ω×V

(12)

這正是科里奧利力．

5 按對(duì)稱性原理確定引潮力

對(duì)上述動(dòng)力學(xué)方程等式左邊的6項(xiàng)進(jìn)行分析，判斷是否是形成潮汐的原因，把無直接關(guān)聯(lián)的項(xiàng)排除掉，留下的項(xiàng)就是引潮力．這個(gè)判斷可以用對(duì)稱性原理來實(shí)現(xiàn)．按對(duì)稱性原理，結(jié)果中的不對(duì)稱性必在原因中有所反映，即原因中的不對(duì)稱性至少有結(jié)果中的不對(duì)稱性那么多[1]．如前所述，潮汐現(xiàn)象相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸具有顯著的不對(duì)稱性，這種不對(duì)稱性必在其原因即引潮力中有所反映．引潮力至少要有同等的不對(duì)稱性．在這6項(xiàng)中，凡是相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸對(duì)稱的項(xiàng)，不可能是形成潮汐的原因．只有相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸不對(duì)稱的項(xiàng)，才可能成為引潮力．

第1項(xiàng)相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸顯然是對(duì)稱的．第3項(xiàng)是一個(gè)非主動(dòng)的力，不在考慮之列．第5項(xiàng)，由于R是由地球質(zhì)心O1指向地表某點(diǎn)P的矢量，二次矢乘的結(jié)果，是由地球自轉(zhuǎn)軸垂直向外發(fā)散的矢量，其方向和大小在地表各點(diǎn)的分布，相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸具有對(duì)稱性．第6項(xiàng)，如考慮ω和ω1的方向是相同的，那么分析的方法和結(jié)果就與第5項(xiàng)相同．由此可見，第1、3、5、6項(xiàng)都應(yīng)該被排除在引潮力之外．

再分析剩下的第2、4項(xiàng)．為表達(dá)方便，用j表示第2項(xiàng)，有

(13)

這一項(xiàng)是月球引力．由于其相對(duì)月球質(zhì)心O2是球?qū)ΨQ的，因而，相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸沒有對(duì)稱性．用k表示第4項(xiàng)，有

k=-m物ω×(ω×a)

(14)

這一項(xiàng)已知是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中所受慣性離心力的一部分．從公式可見，這是一個(gè)常矢量，在地表任一點(diǎn)上，方向都與x軸平行且反向，大小則等于常量m物ω2a，因而此項(xiàng)也是相對(duì)地球自轉(zhuǎn)軸不對(duì)稱的．把第2、4項(xiàng)相加，就得到了引潮力，用F引潮表示，有

(15)

6 若干說明

通過上述方法分析所得的引潮力，與通過其他方法得到的結(jié)果完全相同[1]．

對(duì)所得引潮力公式進(jìn)行簡單的計(jì)算，可以看到與地球潮汐現(xiàn)象的實(shí)際也相符合．

r=L+R

(16)

把此式和

r2=L2+R2-2RLcosφ

(17)

以及

k=-m物ω×(ω×a)=m物ω2a

(18)

代入式(15)，可得

(19)

由此式，不難在Oxy平面中以直角坐標(biāo)分量的形式求得地球赤道上任一點(diǎn)處物體所受的引潮力．若再考慮式(15)和式(19)對(duì)x軸的對(duì)稱性，實(shí)際上已可求得地表任何一點(diǎn)處的引潮力．

現(xiàn)把在Oxy平面和Oxz平面上若干點(diǎn)處單位質(zhì)量物體所受引潮力的計(jì)算結(jié)果，標(biāo)示在示意圖中(見圖3)． 從圖中可以看到，在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)，引潮力數(shù)值最大，方向都指向當(dāng)?shù)厣峡?，?duì)海水起到提升的作用．近月點(diǎn)的引潮力比遠(yuǎn)月點(diǎn)稍大．在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的中間點(diǎn)，引潮力數(shù)值最小，且方向都指向地心．其余地點(diǎn)，數(shù)值和方向各有不同．將此圖與圖1所示的海洋漲潮和退潮的示意圖對(duì)照，可以看到明顯的正相關(guān)性．

圖3 地表各點(diǎn)物體所受引潮力示意圖

最后必須說明的是，在本文第2節(jié)中，使用了地表物體在某點(diǎn)相對(duì)地球靜止的簡化條件．而通常在實(shí)際情況下，海水常常是流動(dòng)著經(jīng)過該點(diǎn)的．自然，海水在流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)，也會(huì)受到與靜止時(shí)相同的引潮力．但是，這里使用的簡化條件，以及把引潮力的計(jì)算結(jié)果與潮位的大小對(duì)照的方法，畢竟是一種準(zhǔn)靜態(tài)和定性的解釋．更準(zhǔn)確的定量分析，則應(yīng)該從流體靜力學(xué)的觀點(diǎn)，去近似求得在引潮力作用下的海平面幾何形狀的變化[2]．也可以在一定的簡化條件下，求得地球周圍海水圈在各種外力包括引潮力作用下的流體力學(xué)方程的全積分．從而掌握地表海洋隨地球自轉(zhuǎn)而與時(shí)間有關(guān)的全部動(dòng)態(tài)過程．進(jìn)而了解海水如何提升，洋流如何在地球各處涌動(dòng)，以及潮汐如何相對(duì)近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置發(fā)生遲延等等．但這顯然已超出了本文的討論范圍．

本文僅限于從推導(dǎo)與月球有關(guān)的地表物體動(dòng)力學(xué)方程著手，在非慣性的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，用對(duì)稱性的討論來確定和計(jì)算引潮力，從而提供一種可取的分析方法，有助于加深對(duì)引潮力和地球潮汐成因的理解，作為一個(gè)運(yùn)用力學(xué)原理來提高解題能力的實(shí)例，為進(jìn)一步的分析和研究打下基礎(chǔ)．

致謝：感謝于鳳軍教授的熱情指導(dǎo)．