王建波，王 芳,*，華長春

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

冷軋板帶是經(jīng)過多臺單機(jī)架軋機(jī)軋制成形的，在軋制過程中涉及到多種控制，如軋輥間隙控制、彎輥控制、板厚控制等。其中，板厚控制是重要的一個環(huán)節(jié)，它直接影響帶鋼的質(zhì)量[1-3]。因此，厚度控制是板帶控制中至關(guān)重要的一部分。

冷帶軋機(jī)液壓厚度控制(Hydraulic Automatic Gauge Control,HAGC)系統(tǒng)主要是由液壓缸、電液伺服閥、傳感器、軋機(jī)輥系等動態(tài)元件組成，HAGC系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是根據(jù)冷帶軋機(jī)液壓厚度系統(tǒng)的各個部件運(yùn)動機(jī)理建立的[4]。其中，HAGC系統(tǒng)中的狀態(tài)可以被傳感器測得。但是在實(shí)際工程中，傳感器容易發(fā)生故障，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定、跟蹤性能下降和信息失真等問題。硬件冗余是一種典型的傳感器故障控制方法[5]。許多學(xué)者針對線性和非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于解析冗余的控制方法解決傳感器故障，如魯棒控制[6-7]、滑模控制[8]和自適應(yīng)補(bǔ)償控制[9-12]。文獻(xiàn)[13]針對系統(tǒng)傳感器故障，設(shè)計(jì)自適應(yīng)輸出反饋容錯跟蹤控制器。文獻(xiàn)[14]提出自適應(yīng)信號補(bǔ)償機(jī)制補(bǔ)償傳感器故障。雖然，一些學(xué)者從理論上研究了線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的傳感器故障問題。但是目前，針對HAGC系統(tǒng)的傳感器故障的論文很少，并且對于HAGC系統(tǒng)的部分失效故障也鮮有研究。

冷軋系統(tǒng)的測厚儀遠(yuǎn)離軋輥位置，這導(dǎo)致軋機(jī)系統(tǒng)存在測量時延。近年來，許多學(xué)者針對HAGC系統(tǒng)時延影響下的控制問題展開研究。文獻(xiàn)[15]根據(jù)Smith預(yù)估方法設(shè)計(jì)控制器預(yù)測控制克服HAGC系統(tǒng)輸入時延。文獻(xiàn)[16]針對具有測量延遲的冷軋HAGC系統(tǒng)，提出基于狀態(tài)反饋的預(yù)定性能控制器。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于魯棒控制的厚度控制器。文獻(xiàn)[18]將切換的模糊自適應(yīng)控制與常規(guī)PID控制相結(jié)合，利用積分項(xiàng)系數(shù)處理干擾和時延。文獻(xiàn)[19]建立了一個結(jié)合均勻過程的冷金屬軋制延遲系統(tǒng)顫振模型。以上研究主要考慮定常時延，而時變時延更符合冷軋系統(tǒng)的工程背景。文獻(xiàn)[20]針對非線性系統(tǒng)的未知時變時延，提出了補(bǔ)償方法。文獻(xiàn)[21]考慮了HAGC系統(tǒng)的時變時延和執(zhí)行器故障的影響，設(shè)計(jì)了輸出反饋容錯控制器。

HAGC系統(tǒng)的輸出為板帶厚度誤差，考慮系統(tǒng)的輸出約束可以提高板厚精度，漏斗控制[22-24]、預(yù)定性能函數(shù)[25-26]和障礙函數(shù)[27-28]是常用的約束方法。文獻(xiàn)[25]使用誤差轉(zhuǎn)換將受輸出誤差約束的問題轉(zhuǎn)化為無約束的鎮(zhèn)定問題。文獻(xiàn)[26]基于性能函數(shù)設(shè)計(jì)預(yù)定性能控制器保證系統(tǒng)輸出性能。文獻(xiàn)[27]基于常數(shù)型障礙李雅普諾夫函數(shù)對輸出誤差進(jìn)行約束，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊控制器。文獻(xiàn)[28]基于正切型障礙函數(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器。雖然對于非線性系統(tǒng)輸出約束的研究在理論上取得了豐碩的成果，但是考慮輸出約束的冷軋厚控系統(tǒng)的控制的研究較少。

與已有的HAGC系統(tǒng)的研究成果相比，本文的創(chuàng)新性如下：1)文獻(xiàn)[15-17]建立HAGC模型時，忽略了冷軋系統(tǒng)在運(yùn)行過程中會受到外界干擾的影響，本文結(jié)合實(shí)際工況，考慮外界干擾的影響。2)文獻(xiàn)[15]和[16]考慮HAGC系統(tǒng)的定常測量時延，本文結(jié)合HAGC系統(tǒng)的實(shí)際情況考慮時變測量時延。3)文獻(xiàn)[21]考慮了HAGC系統(tǒng)的時變測量時延，但忽略了HAGC系統(tǒng)輸出誤差約束問題，本文則考慮了HAGC系統(tǒng)的輸出誤差約束問題。

基于上述分析，目前針對HAGC系統(tǒng)時變時延、外界干擾、傳感器故障和輸出約束的控制問題成果很少，本文考慮以上因素的綜合影響，設(shè)計(jì)基于故障補(bǔ)償機(jī)制的自適應(yīng)反步控制器。首先，將系統(tǒng)模型中的測量時變時延轉(zhuǎn)化為輸入時延，并構(gòu)造輔助系統(tǒng)補(bǔ)償輸入時延對系統(tǒng)的影響。其次，利用一類正切型障礙函數(shù)解決輸出誤差約束問題，與傳統(tǒng)的障礙函數(shù)相比，正切型障礙函數(shù)通過調(diào)節(jié)時變參數(shù)ρ1(t)=(ρ0-ρ∞)e-ct+ρ∞保證輸出誤差的暫態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。再次，設(shè)計(jì)自適應(yīng)補(bǔ)償機(jī)制處理傳感器故障，解決非線性系統(tǒng)在傳感器故障發(fā)生時不能利用反步法設(shè)計(jì)控制器的弊端。最后，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明閉環(huán)系統(tǒng)的有界穩(wěn)定性以及輸出誤差保持在約束范圍內(nèi)；通過對比仿真驗(yàn)證本文所提出的控制策略的有效性。

1 冷帶軋機(jī)液壓厚度系統(tǒng)模型

冷帶軋機(jī)液壓厚度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖 1 HAGC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure diagram of HAGC system

根據(jù)圖1，由冷帶軋機(jī)液壓厚控系統(tǒng)動態(tài)各部件機(jī)理，可得如下動力學(xué)模型[15]：

(1)

(2)

本文考慮HAGC系統(tǒng)在狀態(tài)x2和x3兩處發(fā)生傳感器失效故障，故障的形式如下：

其中，ρ1和ρ2表示失效率，Tf表示故障發(fā)生的時間。

設(shè)計(jì)控制器前，給出如下假設(shè)與引理。

引理1fi(X)是定義在緊集Ω上的連續(xù)函數(shù)，則它可被徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近：

引理 2[29]對于?η>0以及?γ∈R，下列不等式成立：

其中，η*=0.278 5η。

控制目標(biāo)：針對具有輸入時延和傳感器故障的冷軋厚控系統(tǒng)(2)，設(shè)計(jì)基于自適應(yīng)補(bǔ)償機(jī)制的反步控制策略,使系統(tǒng)達(dá)到半全局有界穩(wěn)定，且系統(tǒng)輸出誤差滿足|z1|≤ρ1。

2 控制器設(shè)計(jì)

基于系統(tǒng)(2)，考慮具有時變時延、外界干擾、傳感器故障和軋件厚度誤差約束的HAGC系統(tǒng)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)反步控制器。

引入時延輔助系統(tǒng)補(bǔ)償輸入時延；構(gòu)造正切型障礙函數(shù)對系統(tǒng)輸出進(jìn)行約束；設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)和綜合不確定；在反步控制的框架下設(shè)計(jì)控制器，具體過程如下。

為了解決HAGC系統(tǒng)的時延問題，受文獻(xiàn)[30]的啟發(fā)，設(shè)計(jì)如下輔助系統(tǒng)

(3)

基于輔助系統(tǒng)(3)，作如下的狀態(tài)變換：

(4)

Step1：設(shè)計(jì)虛擬控制輸入α1

對z1求導(dǎo)

(5)

選取如下障礙Lyapunov函數(shù)

(6)

對V1求導(dǎo)

(7)

結(jié)合引理2得以下不等式

(8)

結(jié)合式(7)和(8)得

(9)

基于式(9)，設(shè)計(jì)虛擬控制輸入α1

(10)

其中，k1為正常數(shù)。

(11)

其中，σ1為正常數(shù)。

將式(10)～(11)代入式(9)得

(12)

利用Young不等式得

(13)

將式(13)代入式(12)得

(14)

Step2：設(shè)計(jì)虛擬控制輸入α2

對z2求導(dǎo)

(15)

選取Lyapunov函數(shù)

(16)

結(jié)合式(15)和(16)得

(17)

設(shè)計(jì)虛擬控制輸入α2

(18)

其中，k2為正常數(shù)。

(19)

(20)

其中，ζ1，σ21，r1為正常數(shù)。

將式(18)～(20)代入式(17)得

(21)

利用Young不等式得

(22)

(23)

(24)

(25)

其中，r為正常數(shù)。

將式(22)～(25)代入式(21)得

(26)

Step3：設(shè)計(jì)虛擬控制輸入α3

對z3求導(dǎo)

a5α3+b2λ2+δ2(X)+d2，

(27)

選取以下Lyapunov函數(shù)

(28)

對V3求導(dǎo)

(29)

設(shè)計(jì)如下虛擬控制輸入α3

(30)

(31)

(32)

其中，ζ2，σ31和r2為正常數(shù)。

由式(29)～(32)得

(33)

利用Young不等式得

(34)

(35)

(36)

(37)

結(jié)合式(34)～(37)和式(33)得

(38)

Step4：設(shè)計(jì)控制輸入u

(39)

選擇Lyapunov函數(shù)

(40)

上式關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

z4(bu(t)+f4+b4λ4+a6x3+a7x4)+

(41)

設(shè)計(jì)控制輸入u

(42)

(43)

σ4為正常數(shù)。

結(jié)合式(42)～(43)，得式(41)滿足

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)中，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可總結(jié)為2個定理，其中定理1證明系統(tǒng)部分變量的有界性，定理2證明整體閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

證明選取Lyapunov函數(shù)

V=V1+V2+V3+V4，

(45)

對時間求導(dǎo)數(shù)得

(46)

根據(jù)式(12)、(26)、(38)和(44)得

C3+C4≤-?1V+C，

(47)

對式(47)兩端同乘e?1t并積分得

(48)

(49)

(50)

其中，ζ1，ζ2，ζ3，ζ4i，ζ5i為一階可導(dǎo)函數(shù)(i=1,2,3)。

(51)

(52)

選取Lyapunov函數(shù)

(53)

(54)

其中，v和μ為正常數(shù)，結(jié)合式(52)，進(jìn)一步化簡得

(55)

進(jìn)一步，利用柯西史瓦茲不等式，可得

(56)

(57)

(58)

將式(56)～(58)代入式(55)得

(59)

對式(59)兩端同乘e?2t并積分得

(60)

即λi是有界的(i=1,2,3)。

定理2考慮冷軋厚控系統(tǒng)(2)滿足假設(shè)1和2，則在自適應(yīng)律(11)，(19)，(20)，(31)，(32)和(43)以及控制器(42)作用下，閉環(huán)系統(tǒng)半全局一致有界穩(wěn)定，且輸出誤差滿足約束條件。

證明選取Lyapunov函數(shù)為

Vo=V+Vλ，

(61)

結(jié)合式(48)和(60)，可得式(61)的導(dǎo)數(shù)滿足

(62)

式中，Co=C+Cρ，?=min{?1,?2}。

對式(62)兩端同乘e?t并積分得

(63)

(64)

由式(64)可知，輸出誤差z1在區(qū)間(-ρ1,ρ1)內(nèi)，系統(tǒng)輸出誤差滿足預(yù)先設(shè)定的約束條件，證畢。

通過以上分析，HAGC系統(tǒng)在基于障礙函數(shù)的自適應(yīng)控制器的作用下達(dá)到半全局一致有界穩(wěn)定，且輸出誤差滿足約束條件。

注3:文獻(xiàn)[16]通過預(yù)定性能函數(shù)解決系統(tǒng)輸出約束問題，而設(shè)計(jì)控制器的過程中涉及較為復(fù)雜的計(jì)算和求導(dǎo)運(yùn)算，本文采用的正切型障礙李亞普諾夫函數(shù)保證了系統(tǒng)的輸出誤差性能，且減少了計(jì)算量，使得控制器設(shè)計(jì)過程變得相對簡單。

4 仿真分析

基于冷軋厚控模型(2)進(jìn)行仿真分析。選取1700單機(jī)架軋機(jī)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。液壓系統(tǒng)參數(shù)：缸徑為φ720 mm，桿徑為φ600 mm，行程為40 mm。冷軋厚控系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1。

表1 HAGC系統(tǒng)的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of HAGC system

為了更好地體現(xiàn)控制器的有效性，考察以下兩種工況特性，并進(jìn)行了仿真對比：

工況1：考慮HAGC系統(tǒng)受伺服閥中的非線性特性、軋輥間的摩擦和軋制力變化導(dǎo)致的彈性變形量等引起的系統(tǒng)不確定性、測量時變時延、傳感器故障和外部擾動(由支撐輥工作輥的偏心、咬鋼和拋鋼等引起)的影響。

工況2：除了考慮工況1的因素外，還考慮輸出誤差約束的影響。

兩種工況下的仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。圖2表示軋件厚度誤差x1的變化曲線，由圖2可知工況2中的軋件厚度誤差大約在0.2 s達(dá)到穩(wěn)定，并且工況2中的軋件厚度誤差滿足預(yù)先設(shè)定的約束要求，而工況1中軋件厚度誤差超出了約束邊界。圖3～圖4分別表示缸位移誤差x2和缸速度誤差x3的變化曲線，由圖3可知兩種工況下的缸位移誤差在0.4 s時都產(chǎn)生了微小的抖振(因?yàn)閭鞲衅靼l(fā)生了故障)，工況2的曲線比工況1的曲線抖動幅度小。由圖4可以看出缸速度誤差x3在0.4 s時產(chǎn)生了抖振，且工況2比工況1的抖動幅度小。圖5為負(fù)載壓力誤差x4的變化曲線，由圖可知負(fù)載壓力誤差大約在0.2 s達(dá)到穩(wěn)定。圖6為控制輸入的變化曲線，由圖可知控制輸入光滑無抖振。

圖2 軋件厚度誤差x1Fig.2 The thickness error of strip x1

圖3 缸位移誤差x2Fig.3 Cylinder rod displacement error x2

圖4 缸速度誤差x3Fig.4 Derivative of cylinder displacement error x3

圖5 負(fù)載壓力誤差x4Fig.5 Load pressure error x4

圖6 控制輸入uFig.6 Control input u

5 結(jié)論

本文針對存在傳感器故障、時變時延和外部擾動的HAGC系統(tǒng)，提出了自適應(yīng)反步控制策略。首先設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)補(bǔ)償時延對系統(tǒng)影響，并利用正切型障礙函數(shù)，保證了系統(tǒng)輸出誤差在約束區(qū)域內(nèi)。然后，通過自適應(yīng)補(bǔ)償機(jī)制處理傳感器故障，同時采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近綜合不確定項(xiàng)。對比的仿真結(jié)果表明，所提出的控制策略實(shí)現(xiàn)了輸出的穩(wěn)定跟蹤控制，且瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)于不考慮輸出誤差約束時的情形。