胡行華,孫文婷

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 優(yōu)化與決策研究所,遼寧 阜新 123000)

分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題在自然科學(xué)、控制系統(tǒng)、生物物理學(xué)和信號(hào)與圖像處理等方面有著深廣的研究和拓展[1-8],其邊值問(wèn)題解的存在性是1個(gè)重要的研究領(lǐng)域。許多學(xué)者利用壓縮映射原理與不動(dòng)點(diǎn)的指數(shù)等理論,得到了更為重要的研究成果[9-13]。

隨著物理學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)等學(xué)科中各種各樣的非線性問(wèn)題的出現(xiàn),序方法在研究非線性問(wèn)題上起著非常重要的作用。具有序結(jié)構(gòu)的Banach空間是結(jié)合代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、序于一體的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),因此對(duì)于有序Banach空間的研究具有重要的意義。許多學(xué)者對(duì)有序Banach空間中二階、三階和四階微分方程解的存在性進(jìn)行了研究[14-16]。但是目前針對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究,考慮空間為有序Banach空間的研究較少。本文利用凝聚映射上Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究有序Banach空間E上帶有分?jǐn)?shù)階的非線性微分方程的邊值問(wèn)題。

1 基本理論

非線性微分方程

(1)

由于非線性微分方程與所對(duì)應(yīng)的線性微分方程有所關(guān)聯(lián),因此討論非線性微分方程式(1)解的存在性,首先討論Banach空間E中的線性微分方程

(2)

式中:2<α≤3。

對(duì)?h∈C(I,E),方程式(2)存在唯一解

(3)

式中

(4)

若E為有序Banach空間,由下述引理1,式(3)定義的算子T:C(I,E)→C(I,E)為凝聚映射算子。

定義1[5]E1,E2是有序Banach空間,D?E1,設(shè)A:D→E2連續(xù)且有界,如果任意的非相對(duì)緊的有界集S?D滿足α(A(S))≤α(S),那么A是D上的凝聚映射。

引理1[17]E是有序Banach空間,A:E→E凝聚,集合{x|x=λAx,0<λ<1}有界,則A在E中有不動(dòng)點(diǎn)。

定義映射Q:C2(I,E)→C2(I,E)如下

(5)

α1(B)=max{α(B),α(B′)}

α1(QB)=max{α(QB),α((QB)′)}

(6)

下文將證明該映射為凝聚映射,本文用到有關(guān)凝聚映射的3個(gè)重要性質(zhì)。

引理2[18]設(shè)B?C(I,E)有界且等度連續(xù),則α(B(t))在I上連續(xù),且

(7)

引理3[19]設(shè)B={un}?C(I,E)有界,則α(B(t))在I上可測(cè),且

(8)

引理4[20]設(shè)B?E有界,則存在B的可數(shù)子集B0,使得α(B)≤2α(B0)。

2 解的存在性與唯一性

為了證明式(3)所定義的積分算子為凝聚映射算子,需要對(duì)非線性項(xiàng)添加非緊性測(cè)度條件。

條件2E為Banach空間,f:I×E2→E連續(xù)有界,存在常數(shù)M0,M1,M2>0,ε>0,滿足M0+M1+M2<ε,使得對(duì)?t∈I,x,y∈E,有

‖f(t,x,y)‖≤M0+M1‖x‖+M2‖y‖

(9)

引理5由式(3)定義的算子T:C(I,E)→C(I,E),滿足

(10)

證明由式(3)可知

(11)

(12)

整理可得

(13)

證畢。

下文利用引理5證明映射Q為凝聚映射。

定理1若條件2成立,則Q:C2(I,E)→C2(I,E)為凝聚映射。

證明由定義式(3)可知,只需證明對(duì)任意的非相對(duì)緊的有界集B?Ω,有α1(Q(B))<α1(B)即可。根據(jù)引理4可知?B的可數(shù)集B0={un}?B,使得

(14)

再由假設(shè)條件2,有

L2α(B′0(s)))ds

(15)

借助引理5,可以得到

(16)

因?yàn)?/p>

α(Q(B0))=

(17)

所以

α1(Q(B0))=

(18)

由引理4可得

α1(Q(B))≤2α1(Q(B0))<α1(B0)<α1(B)

(19)

因此Q:C2(I,E)→C2(I,E)為凝聚映射,證畢。

下文利用定理1和引理1證明邊值問(wèn)題式(1)存在唯一解。

定理2設(shè)f:I×E2→E連續(xù),并且滿足條件1和2,則邊值問(wèn)題式(1)存在1個(gè)正解。

證明令Ω={u∈C2(I,E)|u=λQu,0<λ<1},由引理1可知,只需證明Ω為C2(I,E)中的有界集即可。

根據(jù)邊界條件

(20)

整理可得

(21)

由于u(t)=λQu(t),所以u(píng)′(t)=λQu′(t),此時(shí)等式兩邊同時(shí)取范數(shù),由條件1有

‖u′(t)‖=λ‖Qu′(t)‖≤

(22)

整理可得

(23)

由條件1可得

(24)

因?yàn)?/p>

(25)

(26)

取ε>0,使得1+ε<(α-1)(α-2)Γ(α),則有

(27)

(28)

故由式(21)可得

(29)

根據(jù)引理1可知,邊值問(wèn)題式(1)有1個(gè)正解并唯一。

證畢。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用凝聚映射上的不動(dòng)點(diǎn)理論分析論證了一類(lèi)建立在有序Banach空間上的具有Riemann-Liouville微分和非線性項(xiàng)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性與唯一性。由非線性微分方程所對(duì)應(yīng)的線性微分方程,得到1個(gè)在有序Banach空間上的凝聚映射,再根據(jù)凝聚映射上的不動(dòng)點(diǎn)定理獲得非線性邊值問(wèn)題式(1)解的存在性理論。這個(gè)結(jié)論一方面給出了文獻(xiàn)[14]中其非線性項(xiàng)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解的存在性研究結(jié)果,推廣了文獻(xiàn)[3]和[14]中所給出的結(jié)論,另一方面拓展了在有序Banach空間上討論非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的研究思路。