李德宜，鄧宗娜，馮育強(qiáng)

(1.武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065；2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430065)

近年來(lái)，各類整數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到研究者的廣泛關(guān)注，如Cui等[1]利用線性矩陣不等式，得到了比例時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性條件和全局魯棒穩(wěn)定性條件；Rakkiyappan等[2]利用矩陣測(cè)度法和Halany不等式，研究了具有時(shí)滯的慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性和同步性；Lakshmanan等[3]研究了具有離散分布時(shí)變時(shí)滯的慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)耗散性；Zhang等[4]給出了離散分布時(shí)變時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局Lagrange穩(wěn)定性的幾個(gè)充分條件，并給出了全局指數(shù)吸引集；Wang等[5]研究了具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)和時(shí)變時(shí)滯的耦合慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的采樣數(shù)據(jù)同步問(wèn)題。

分?jǐn)?shù)階微積分作為經(jīng)典的整數(shù)階微積分的推廣，在描述一些系統(tǒng)時(shí)更為精準(zhǔn)，有研究者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階微積分相結(jié)合，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行研究，如Wu和Chen等[6-7]對(duì)分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局Mittag-Lefler穩(wěn)定進(jìn)行了研究；李倩等[8]研究了分?jǐn)?shù)階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的唯一存在性和全局漸近穩(wěn)定性；Ke等[9-10]研究了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Cohen-Grossberg和BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性；Gu等[11]研究了Riemann-Liouviue(R-L)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性與同步性。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用過(guò)程中，由于兩個(gè)神經(jīng)元之間信號(hào)傳輸速度有限，不可避免地會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯效應(yīng)，特別是時(shí)變時(shí)滯，這在很大程度上會(huì)影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性、穩(wěn)定性和振蕩性。為此，本文將文獻(xiàn)[11]提出的R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推廣至R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)變時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，基于R-L分?jǐn)?shù)階微積分有關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造了Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，并給出了判定R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型一致穩(wěn)定性的充分條件，最后通過(guò)實(shí)例分析，對(duì)該方法的合理性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 模型描述

R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[11]可描述為：

0<β≤1,β≤α≤1+β,t>0,i=1,2,…,n

(1)

本文將上述模型推廣至可用于描述時(shí)變時(shí)滯的情況，考慮模型如下：

t>0,i=1,2,…,n

(2)

式中：n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；xi(t)表示第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)；ai、bi為常數(shù),ai>0,bi>0；hj(t)為變時(shí)滯延遲量；fj和gj均表示神經(jīng)元反應(yīng)函數(shù)；fj(xj(t))表示神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸出值；gj(xj(t-hj(t)))表示神經(jīng)元在t-hj(t)時(shí)刻的輸出值；cij表示在t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的連接權(quán)重；dij表示在t-hj(t)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的連接權(quán)重；Ii(t)表示外部輸入量。

2 預(yù)備知識(shí)

式中：Γ(·)為Gamma函數(shù)。

另外，當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分算子的階數(shù)為-q(n-1≤q

此時(shí)，上式表示q階分?jǐn)?shù)階積分。

性質(zhì)3

a,b∈R,q>0

性質(zhì)4

m,n∈Z+,n-1≤q≤n

性質(zhì)5[13]R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分有如下組合性質(zhì)：

引理6[11]假設(shè)x(t)是[0,θ]上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則

0

-hi(0)≤s≤0

3 模型證明

本文中，始終假設(shè)神經(jīng)元反應(yīng)函數(shù)fi和gi滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù)pi、qi，對(duì)于任意X1,X2∈R，滿足

|fi(X1)-fi(X2)|≤pi|X1-X2|

|gi(X1)-gi(X2)|≤qi|X1-X2|

引理8[11]若函數(shù)F(t)可導(dǎo)，且其一階導(dǎo)數(shù)F′(t)連續(xù)，那么

(3)

證明：上述不等式(3)等價(jià)于

根據(jù)R-L導(dǎo)數(shù)的定義，有

同理，

于是，

((F(0)-F(t))2t-q-

證畢。

那么，式(2)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是全局一致穩(wěn)定的。

-hi(0)≤s≤0

gj(xj(t-hj(t)))]

(4)

(5)

于是，式(4)可改寫為

選取Lyapunov型函數(shù)如下：

(7)

gj(xj(t-hj(t))))vi(t)≤

根據(jù)均值不等式，有

(8)

由式(8)可得

于是，在定理9的條件下，有

表明式(2)對(duì)應(yīng)的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)是全局一致穩(wěn)定的，證畢。

4 數(shù)值仿真

采用Adams-Bashforth-Moulton預(yù)測(cè)校正法[14]對(duì)式(2)進(jìn)行近似求解，并通過(guò)數(shù)值模擬方法對(duì)定理9進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 Adams-Bashforth-Moulton方法的基本原理

考慮如下的分?jǐn)?shù)階微分方程：

yh(tn+1)=

在實(shí)際仿真過(guò)程中，通過(guò)預(yù)測(cè)公式和校正公式的反復(fù)迭代，不斷逼近理論真實(shí)值yh(tn+1)。

預(yù)測(cè)公式為：

(n-j)q))f(tj,yh(tj))， 0≤j≤n

校正公式為：

其中

誤差估計(jì)為

p=min(2,1+q)

3.2 實(shí)例驗(yàn)證

例 考慮R-L分?jǐn)?shù)階變時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

t>0,i=1,2,3

本文采用的離散化算法中步長(zhǎng)h=0.01。通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬，可以得到該系統(tǒng)在3個(gè)不同初始值下，依次為(1.1,-1.3，1)、(2.1,-2.3,2)、(-2.1，2.3，-2)，xi(t)(i=1,2,3)隨時(shí)間變化的軌跡圖如圖1所示，可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與該定理相符，從而驗(yàn)證了本文所提出理論的準(zhǔn)確性。

圖1 不同初始值下xi(t)的軌跡圖Fig.1 Trajectory diagram of xi(t)with different initial values

5 結(jié)語(yǔ)

本文將R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推廣到R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)變時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并對(duì)其穩(wěn)定性和同步問(wèn)題進(jìn)行研究。首先，基于Lyapunov直接法，構(gòu)造了一個(gè)包含R-L分?jǐn)?shù)積分項(xiàng)的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，并利用R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的組合性質(zhì)，計(jì)算了Lyapunov函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，從而推導(dǎo)出R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型一致穩(wěn)定的條件。最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了本文所提出理論的合理性和有效性。

另外，本文主要研究了分?jǐn)?shù)階為 的R-L分?jǐn)?shù)階時(shí)變時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，特別是當(dāng)β=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被簡(jiǎn)化為整數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。因此，整數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以看作是分?jǐn)?shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種特例。由此看來(lái)，本文提出的模型保守性較低，通用性較強(qiáng)。