顧棟浩，陸澤琦，丁 虎，陳立群

（1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海200072；2.上海大學力學在能源工程中的利用重點實驗室，上海200072；3.上海大學力學與工程科學學院，上海200072）

引言

傳統(tǒng)線性隔振系統(tǒng)只有在激勵頻率大于系統(tǒng)固有頻率的2倍時才能有效。因此，盡可能降低隔振系統(tǒng)的固有頻率，可以顯著提高低頻隔振效果?？紤]工程應用、制作成本等因素的限制，傳統(tǒng)線性隔振系統(tǒng)很難通過降低有效剛度和增大隔振器質(zhì)量來實現(xiàn)低頻隔振。因此，利用非線性特性來提高隔振系統(tǒng)的性能，是一種有前景的振動控制方式。

彈性曲梁、彈性環(huán)、軸向移動梁、彈性曲板等彈性元件往往具有特殊形狀結(jié)構的力與變形的非線性關系［1］，對實現(xiàn)低頻隔振具有重要意義。屈曲荷載和后屈曲行為對結(jié)構設計具有重要意義，例如，將彈性環(huán)的屈曲狀態(tài)作為靜平衡狀態(tài)時，設計了彈性環(huán)低頻隔振器，從而降低了動態(tài)剛度［2］。

圓環(huán)的屈曲和后屈曲變形是Love提出的經(jīng)典問題，主要研究圓環(huán)面內(nèi)和面外彎曲的平衡和穩(wěn)定性［3］。Love的研究引起了許多學者的關注，他們利用多種理論，嘗試解決圓環(huán)的大變形問題。Wu等［4］研究了在一些平衡點附近彎曲和扭轉(zhuǎn)彎曲環(huán)的彈性穩(wěn)定性。Tse等［5］研究了正交各向異性對稱圓環(huán)非線性彈性行為，推導了力與位移的關系。Wu等［6］運用牛頓法和諧波平衡法，得出了圓環(huán)大變形的近似解析解。上述研究主要集中在靜力作用下圓環(huán)的平衡位置、穩(wěn)定性和撓曲等方面問題。Lacarbonara等［7］在考慮材料非線性行為的影響下，研究了圓環(huán)在自由狀態(tài)下的非線性振動。Xu等［8］從理論上研究了功能梯度（FGM）環(huán)的自由振動，導出了FGM環(huán)自由振動的頻率方程，考察了靜平衡時的動剛度特性，得出了靜載質(zhì)量引起的靜平衡偏差對隔振器的失穩(wěn)有重要影響的結(jié)論。Liu等［9］通過在平衡位置處引入預變形歐拉屈曲梁來提供負剛度，抵消正剛度，降低隔振器的整體動剛度，并優(yōu)化梁的結(jié)構參數(shù)提高隔振性能。Huang等［10］利用歐拉屈曲梁作為負剛度修正器，研究了非線性隔振器的隔振特性。Ding等［11］研究了具有垂直彈性支承邊界的黏彈性梁的振動。

此外，在平衡點附近的動態(tài)剛度特性是設計非線性隔振系統(tǒng)的關鍵因素。雖然，Lacarbonara等［12］論述了彈性繩索、三維實體、彎曲梁和板的靜態(tài)和動態(tài)特性。然而，研究僅限于對它們的振動分析，還沒有利用彎曲彈性體以提高隔振性能的研究。

由于高靜態(tài)低動態(tài)剛度能改善低頻隔振性能，同時不產(chǎn)生較大的靜態(tài)變形，近年來被廣泛采用［13］。實現(xiàn)高靜態(tài)低動態(tài)剛度的一種簡單方法是三彈簧結(jié)構非線性隔振器，即利用兩個水平預壓的彈簧和一個豎直彈簧構成隔振系統(tǒng)，系統(tǒng)在振動過程中由于幾何關系產(chǎn)生非線性剛度［14-15］。實現(xiàn)這一特性還有其他許多方法，見參考文獻［16-19］。此外，可以通過使用非線性阻尼元件來改進線性隔振系統(tǒng)，特別是為了在共振時抑制響應和在高頻時保持良好隔振性能［20-23］。與垂直阻尼相比，水平阻尼具有一些優(yōu)勢，其隔振效果已與垂直線性彈簧結(jié)合考慮［24-25］。

本文的目的是研究如何將水平剛度和阻尼有效地應用于環(huán)形梁隔振系統(tǒng)中。其目的是將非線性剛度和非線性阻尼結(jié)合起來，綜合兩種結(jié)構的優(yōu)點，提高隔振的頻率范圍，同時改善共振抑制和高頻隔振。將直接分離運動法用于推導所研究隔振器的位移傳遞率［26-27］，并比較解析與數(shù)值結(jié)果。

1 系統(tǒng)建模

圖1所示為一個添加水平彈簧和水平阻尼的圓環(huán)隔振系統(tǒng)，圓環(huán)上端是質(zhì)量為m的水平平臺，下端固定在底座上，圓環(huán)的半徑為R，厚度為H，寬度為W，水平放置的彈簧kh和水平阻尼ch通過幾何變形使得整個圓環(huán)隔振系統(tǒng)產(chǎn)生非線性剛度和非線性阻尼。底座受到位移激勵xe的作用，研究非線性剛度和非線性阻尼的變化對位移傳遞率的影響，以此來評價隔振系統(tǒng)的性能。

圖1 非線性剛度、非線性阻尼的圓環(huán)隔振器示意圖Fig.1 Schematic of a circle ring isolator combined with nonlinear stiffness and damping

根據(jù)圓環(huán)結(jié)構的非線性特性，圓環(huán)在受到水平平臺預壓的前提下，在靜平衡位置力與位移的關系式可表示為

式中x0表示在預受壓狀態(tài)下圓環(huán)的靜變形，x表示離平衡位置的位移，Ai表示圓環(huán)力與位移的關系在受壓過程中三個不同變形階段的參數(shù)［5］。

圓環(huán)受壓階段1：

圓環(huán)受壓階段2：

圓環(huán)受壓階段3：

式中φB=sin-1(1/p2)，E22表示楊氏模量，I表示慣性矩，E（p，φB）和F（p，φB）分別表示第一類不完全橢圓積分和第二類不完全橢圓積分，p=表示構 造圓弧 半徑［5］，在位移激勵xe=Xecosωt作用下，系統(tǒng)的運動方程可寫為

式中xr=x-xe表示水平平臺與底座間的相對位移，Xe和ω分別表示位移激勵的振幅和激勵頻率。c表示圓環(huán)自身阻尼，cn表示由水平阻尼產(chǎn)生的非線性 阻 尼 項表 示 由 水 平彈簧產(chǎn)生的非線性剛度項，kn=2kh[1-l0(x2+l2)12]，l表示彈簧在水平位置的長度，如圖1所示。l0表示水平彈簧的自由長度，當位移很小時，非線性阻尼項和非線性剛度項可分別簡化為

2 位移傳遞率

2.1 直接運動分離法

利用直接運動分離法，研究系統(tǒng)的位移傳遞率，令方程（5）解的形式為

式中新的時間尺度T0=ωt，T1=εT0。ε表示小參量，α表示慢變量，ψ表示快變量，ψ(T1，T0)=0，將快慢運動分離得到：

考慮到ψ(T1，T0)是時間T0的周期函數(shù)，方程（8）的解可以設為

忽略含B2和θ2的項及更高次項，將式（9）代入式（8）可得：

式中k1=2Ai/x30，k2=3Ai/x40，k3=4Ai/x50。

穩(wěn)定狀態(tài)下，慢變運動方程可得

快變運動方程可得：

由方程（15）得出穩(wěn)態(tài)激勵頻率解

由系統(tǒng)的相頻關系可以得到

隔振器的位移傳遞率表達式可表示為

2.2 數(shù)值驗證

圓環(huán)隔振器的物理和幾何結(jié)構基本參數(shù)選取如表1所示，隔振系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。在下面的案例分析中如果沒有特殊說明將采用表1和表2中的參數(shù)值。

表1 圓環(huán)的物理和幾何參數(shù)值Tab.1 Physical and geometrical properties of the ring

表2 隔振系統(tǒng)參數(shù)值Tab.2 Parameters of the vibration isolation system

圓環(huán)在質(zhì)量m=0.20 kg作用下達到預屈曲階段1，k1=2.04 kN/m，k2=3.19×102kN/m，k3=4.43×104kN/m，令水平剛度kh=800 kN/m，水平阻尼cn=0.3 N·s/m，如圖2點劃線所示。在質(zhì)量m=2.04 kg作用下達到預屈曲階段2，k1=0.165 kN/m，k2=2.09 kN/m，k3=23.44 kN/m，令水平剛度kh=80 kN/m，水平阻尼cn=0.3 N·s/m，如圖2虛線所示。在質(zhì)量m=5.10 kg作用下達到預屈曲階段3，k1=0.051 kN/m，k2=0.204 kN/m，k3=0.72 kN/m，令水平剛度kh=20 kN/m，水平阻尼cn=0.3 N·s/m，如圖2實線所示。圖2中位移傳遞率小于1的部分為有效隔振區(qū)域。

圖2 含有水平剛度阻尼圓環(huán)隔振器的位移傳遞率Fig.2 Displacement transmissibility with horizontal stiffness and horizontal damping in three stages

采用四階龍格庫塔法對圓環(huán)隔振器的位移傳遞率解析結(jié)果進行數(shù)值驗證，三個階段的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果對比如圖3所示，兩者吻合良好。說明直接運動分離法能很好地捕捉非線性圓環(huán)隔振的動力學特性。

圖3 含有水平剛度阻尼圓環(huán)隔振器的位移傳遞率數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果對比Fig.3 Comparisons between numerical and analytical results of displacement transmissibility of circular ring isolators with horizontal stiffness and damping

在階段3時，對比研究了含有水平彈簧和不含有水平彈簧的圓環(huán)隔振器位移傳遞率，如圖4所示，圓環(huán)隔振器加上水平彈簧后，隔振頻率頻帶往低頻拓展。三個階段圓環(huán)剛度依次減小，因此，為了不出現(xiàn)負剛度，三個壓縮階段水平剛度最大取值也應該依次減小。水平剛度的引入是為了減小系統(tǒng)總剛度，進一步提高隔振帶寬。

圖4 在階段3時，含有水平彈簧和不含有水平彈簧的圓環(huán)隔振器位移傳遞率對比Fig.4 Comparison of the displacement transmissibility between with and without horizontal stiffness for stage 3

3 參數(shù)研究

研究了非線性剛度和非線性阻尼分別對圓環(huán)隔振器的影響，從動力學方程（5）中可以看出，水平非線性剛度kn和水平非線性阻尼cn的變化影響隔振性能。

首先，考慮水平剛度的影響，令水平非線性阻尼cn=0，在不同屈曲狀態(tài)，水平剛度系數(shù)選擇如圖5所示，可以看出隨著受壓屈曲變形增大，圓環(huán)隔振器的整體共振頻率下降，同時在單一受壓平衡狀態(tài)隨著水平剛度的增加，位移傳遞率的峰值減小，共振頻率值減小，系統(tǒng)隔振頻帶變寬，在高頻處，位移傳遞率曲線會逐漸翹起，隔振性能逐漸惡化。

圖5 剛度變化對圓環(huán)隔振器不同階段的影響Fig.5 Displacement transmissibility of the isolator with horizontal stiffness in three stages for different stiffness coefficients

考慮水平阻尼對圓環(huán)隔振器的影響，令第一階段kh=1200 kN/m，m=0.2041 kg；第二階段kh=120 kN/m，m=2.041 kg；第三階段kh=30 kN/m，m=5.102 kg。阻尼系數(shù)變化分別為0.3，30，300 N·s/m。得到響應的位移傳遞率如圖6和圖7所示?？梢钥闯?，隨著水平阻尼的增加，位移傳遞率的峰值減小，同時降低了隔振的初始頻率，也就意味著拓寬了隔振頻帶。與圖5相比較，阻尼系數(shù)的改變對拓寬隔振頻帶的能力不如剛度系數(shù)的變化，但是，在隔振頻域，水平阻尼不損害隔振器高頻隔振表現(xiàn)。因此，添加水平阻尼能夠很好地抑制共振峰值，同時在高頻隔振能夠表現(xiàn)很好。

圖6 在三個階段水平阻尼對位移傳遞率的影響總圖Fig.6 Effects of horizontal damping on the displacement transmissibility in three stages

圖7 水平阻尼對位移傳遞率各個階段影響圖Fig.7 Effects of horizontal damping on the displacement transmissibility in three stages for different damping coefficients

4 結(jié)論

針對圓環(huán)隔振系統(tǒng)，添加水平彈簧和阻尼產(chǎn)生非線性剛度和阻尼來實現(xiàn)低頻隔振。利用圓環(huán)自身的靜力學特性，將圓環(huán)隔振研究分為三個階段。運用直接運動分離法分析動力學方程，從而得到位移傳遞率，來評價隔振器性能。對位移傳遞率的解析結(jié)果進行數(shù)值驗證，兩者吻合良好。在此基礎上，研究了水平剛度和阻尼對位移傳遞率的影響。結(jié)論如下：（1）水平剛度能夠減小共振頻率，拓寬隔振頻帶，有效抑制共振響應；（2）水平阻尼能有效抑制共振，不改變系統(tǒng)的共振頻率，具有較好的高頻隔振表現(xiàn)；（3）同時利用水平阻尼和水平剛度能夠獲得更好的隔振性能。