劉港，張勃陽，吳琳琳

（1.河南理工大學 土木工程學院，河南 焦作 454000；2.河南省聯(lián)合創(chuàng)藝建筑設計有限公司，河南 鄭州 450000）

0 引 言

陷落柱是一種隱伏在煤田內(nèi)部在豎向上呈橢圓形或圓椎（柱）形的柱狀巖體，是巖溶空洞頂部塌陷后逐漸形成的橢圓形或圓椎（柱）形陷落體，因此又被稱為“巖溶陷落柱”［1-4］。華北地區(qū)的奧陶系石灰?guī)r巖層較厚，巖層被溶蝕后形成陷落柱，地下水徑流使其不斷擴展發(fā)育，因此，陷落柱成為我國華北地區(qū)獨有的地質(zhì)構(gòu)造，在河南、山西、山東、安徽、河北、陜西、江蘇、內(nèi)蒙古等省（自治區(qū)）的20多個煤盆地中皆有發(fā)現(xiàn)［5-8］。

陷落柱突水具有突發(fā)性、滯后性，目前仍不能很好地預測和控制陷落柱的突水過程［9-11］。例如淮北礦區(qū)桃源煤礦、淮南潘二煤礦［12］等都是在陷落柱突水后才進行止水治理。對于陷落柱突水治理技術，我國已取得較為成熟的理論，尹尚先等［13］、姚邦華等［14］、楊天鴻等［15］、許進鵬［16］、蔡波［17］、ZHANG S G等［18］、趙 家 巍 等［19］、霍 丙 杰等［20］眾多學者對陷落柱的突水機理作了充分研究。此外，李 連 崇 等［21-22］、李 振 華 等［23］、張 勃 陽等［24］、李見波等［25］、桂輝等［26］、張村等［27］、趙國飛等［28］在數(shù)值模擬和試驗方面也做了相關研究。

綜上所述，眾多學者針對陷落柱及其突水機理開展了大量研究，取得了豐碩的研究成果。在陷落柱突水發(fā)生后，體積1 m3的巖塊在水壓作用下運移100 m以上的現(xiàn)象時常出現(xiàn)，這表明陷落柱突水后煤層底板發(fā)生了大規(guī)模破斷。然而，對陷落柱突水發(fā)生后煤層底板的破壞機理還鮮有研究，因此，本文基于板殼理論和斷裂力學理論，建立含隱伏陷落柱的煤層底板破斷力學模型，以期揭示煤層底板的應力分布規(guī)律和損傷破斷機理。

1 含隱伏陷落柱煤層底板破斷力學 模型

徐州礦區(qū)張集煤礦位于徐州復背斜九里山向斜煤田的西北翼，“2·18”特大突水事故發(fā)生時，奧陶系灰?guī)r水為此次突水的主要水源［29-31］。工作面開采過程中，在應力場和滲流場雙重作用下，陷落柱內(nèi)部水壓逐漸增大，煤層底板受到的橫向水壓力增大，當橫向水壓力達到一定值時，煤層底板破斷突水，造成陷落柱水害發(fā)生，突水模型如圖1所示。突水發(fā)生時，含水層水經(jīng)陷落柱進入工作面，陷落柱內(nèi)部顆粒進一步流失，直至被掏空，煤層底板可近似看作薄板（圖1中虛線區(qū)域）。

圖1 煤層底板隱伏陷落柱突水模型Fig.1 Model of water inrush from coal seam floor concealed by collapse column

2 煤層底板破斷機理

2.1 煤層底板應力分布理論分析

陷落柱頂部呈近圓形，基于薄板理論建立陷落柱突水時的無裂紋煤層底板破斷力學概化模型，單獨分析圖1中虛線區(qū)域內(nèi)的煤層底板，其力學概化模型如圖2所示，可以認為，底板約束為圓周簡支約束，即只能控制底板周圍不發(fā)生位移，但不能控制底板發(fā)生轉(zhuǎn)動。煤層開采后，圖1中虛線區(qū)域的底板頂部煤層被挖空，處于應力釋放區(qū)，通常陷落柱突水在奧陶系的高水壓作用下形成。因此，底板的橫向外力以水壓力為主，自重和頂部壓力可忽略不計，將底板的力學模型概化為四周簡支圓形薄板z方向受均布面力的問題（圖2）。此外，為簡化計算，將該模型近似看作軸對稱問題。

圖2 無裂紋煤層底板破斷力學概化模型Fig.2 Mechanical generalization model of crack-free floor of coal seam

由彈性力學的里茲法，可知

式中：wm為撓度；Cm為wm的待定系數(shù)；Vε為應變能。

對于極坐標問題，Vε表達形式為

D為薄板的彎曲剛度，表達式為

式中：E為彈性模量；μ為泊松比；δ為薄板厚度。

對于軸對稱問題，式（1）可轉(zhuǎn)化為

對于四邊簡支問題，式（2）可簡化為

圖2的力學模型為四周簡支約束問題，存在一個位移邊界條件和一個應力邊界條件，即

式中，r為平板半徑。

以C1和C2為例進行計算，則由式（5）可得

因此，撓度w的表達形式為

其徑向和環(huán)向應力可以通過撓度w進行，即

由式（10）～（11）可得

進而推出徑向和環(huán)向應力，即

由式（14）可知，底板應力分布與底板厚度呈負相關，與橫向水壓力、直徑和距中面距離呈正相關；表面附近應力分布呈二次拋物線形，中心處應力值最大，邊緣處應力值最小。

當z=δ/2，ρ=0時，底板上表面中心處，式（14）可化簡為

2.2 裂紋尖端應力分布理論分析

在圖2基礎上增加裂紋，構(gòu)成煤層底板力學概化模型（圖3），底板受橫向均布荷載q，裂紋長度為2a，在橫向水壓作用下，橫截面zox內(nèi)應力分布亦見圖3，此時裂紋類型為I型（張開型）裂紋。通過求解底板裂紋尖端附近應力場和裂紋應力強度因子KI，與底板斷裂韌度KIC對比，當KI＞KIC時，裂紋擴展，底板開始進一步破壞；反之，裂紋不發(fā)生擴展，底板不破壞。

圖3 含裂紋煤層底板力學概化模型Fig.3 Mechanical generalization model of cracked floor of coal seam

取應力函數(shù)為

應力分量表達式為

采用逆解法，設

其極坐標形式為

當θ=0（即x=0）時，裂紋在延長線上為

當θ為任意值時，ZI（z）可以寫成

當r/l?1時，分子可略去r/l項，分母可略去（r/l）2項，得

將以上各式代入I型裂紋應力分量表達式（17），可得裂紋尖端應力分量為

由式（15）可知，在底板上表面中心處的裂紋應力強 度因子（29δ2）。由此可知，隨著底板半徑、裂紋長度、橫向水壓增加和厚度減小，裂紋更易擴展。

3 工程實例

張集煤礦“2·18”特大突水事故中，陷落柱呈上小下大的倒漏斗狀，頂部距煤層底板15 m左右，平面上呈近圓形，半徑約為50 m，裂紋長度約為20 cm，底部承壓水水壓3.1 MPa。煤層底板巖性構(gòu)造大多為砂巖，其抗拉強度2.6 MPa，泊松比0.25。

鄧華鋒等［32］從理論上分析了巖石I型斷裂韌度與抗拉強度的相關性，其表達式為

式中：KIC為巖石的I型斷裂韌度；σt為巖石單軸抗拉強度；a為裂紋擴展半徑。

由于裂紋長度遠小于底板半徑，故裂紋附近應力分布近似為恒定值，由式（15）可得，σ=71.26 MPa，故KI=39.9 MPa，KIC=2.06 MPa，KI＞KIC，故裂紋發(fā)生擴展，導致煤層底板破斷。

4 結(jié)論與展望

（1）橫向荷載作用下，煤層底板內(nèi)應力分布與底板厚度、半徑和水壓有關，并且隨著臨界水壓值越大，即表面均布荷載值越大，底板厚度越薄，底板越易發(fā)生破斷。

（2）對比巖石的斷裂韌度和裂紋應力強度因子大小可以看出，含有裂紋底板的擴展破斷機理與底板厚度、半徑和裂紋的長度有關；隨著底板厚度和強度增加，裂紋越難擴展，隨著裂紋長度和底板半徑增加，裂紋越易擴展。

（3）利用板殼理論和斷裂力學理論分析了張集煤礦“2·18”特大突水事故中的煤層底板破斷機理，其底板上表面中心處的裂紋應力強度因子KI遠大于I型斷裂韌度KIC，故底板裂紋迅速發(fā)生擴展，導致底板破斷突水，分析結(jié)果與現(xiàn)場相符，分析結(jié)果與現(xiàn)場相符。

（4）本文僅研究了陷落柱區(qū)域內(nèi)底板上表面中心處僅存在單一裂紋的擴展機理，未給出多條裂紋延伸貫通和存在偏心裂紋的底板破斷情況。由于實際巖體中存在著不規(guī)則的節(jié)理并受煤層開采的擾動，對于非完整底板后續(xù)將開展研究。