曾志紅，時(shí)統(tǒng)業(yè)，張然然

（1.廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，廣東 廣州 510303；2.海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800；3.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510303）

1 引言和引理

1938年，Ostrowski［1］利用一階導(dǎo)數(shù)的界給出函數(shù)在區(qū)間上的平均值與其在區(qū)間上任意點(diǎn)處的函數(shù)值之差的估計(jì).

關(guān)于Ostrowski型不等式這里推薦文獻(xiàn)［2-9］.為方便起見(jiàn)，引入下面記號(hào)：

引理1［6］設(shè)f：［a，b］→R是可微函數(shù)，且f′在［a，b］上可積，x∈［a，b］，則有

文獻(xiàn)［6］利用式（1）得到定理2.

定理2［6］設(shè)f：［a，b］→R是可微函數(shù)，且f′在［a，b］上可積，存在常數(shù)m和M，m

文獻(xiàn)［11］將式（3）作了推廣.

定理4［11］設(shè)f在［a，b］上可導(dǎo)，且f′在［a，b］上可積，并且在［a，b］上滿足m≤f′≤M，則有

本文在一階導(dǎo)數(shù)有界或者函數(shù)滿足Lipschitz條件的情況下建立不等式，給出了式（2）的加強(qiáng)，同時(shí)也是Iyengar不等式的推廣.針對(duì)二階導(dǎo)函數(shù)有界的函數(shù)，文獻(xiàn)［9］得到一類Ostrowski型雙邊不等式.本文還將在二階導(dǎo)數(shù)有界的情況下建立新的不等式，我們需要下面的引理：

2 主要結(jié)果

證明當(dāng)x=a時(shí)，式（5）即式（4），由定理4知結(jié)論成立.下面假設(shè)x∈(a，b］.利用分部積分法得

以下證明同定理5，這里略去.

推論1設(shè)條件同定理6，則對(duì)任意x∈［a，b］有

證明當(dāng)x=a時(shí)，式（7）即式（4），由定理4知結(jié)論成立.下面假設(shè)x∈(a，b］.利用分部積分法得

定理8設(shè)條件同定理5，則對(duì)任意x∈［a，b］有式（7）成立.

以下的證明同定理7，這里略去.

推論2設(shè)條件同定理5，則對(duì)任意x∈［a，b］有

定理9設(shè)f：［a，b］→R二階可微，且f″在［a，b］上可積，存在常數(shù)m2和M2，m2

t≤M2，則對(duì)任意x∈［a，b］，有

證明利用分部積分法得

當(dāng)x∈(a，b］時(shí)，對(duì)任意常數(shù)ε∈［0,x-a］，利用引理2得

在式（11）中取ε=ε3，則式（9）的右邊不等式得證.

當(dāng)x=a時(shí)，對(duì)任意常數(shù)ε∈［a-b,0］有

以下證明類似于定理9略去.

在式（16）中取ε=ε5，則式（14）的右邊不等式得證.

當(dāng)x=a時(shí)，對(duì)任意常數(shù)ε∈［a-b,0］有

定理12設(shè)條件同定理10，則對(duì)任意x∈［a，b］，有式（14）成立.

證明當(dāng)x∈(a，b］時(shí)，對(duì)任意常數(shù)ε∈［0，x－a］，有

以下證明類似于定理11，這里略去.