廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

一、試題呈現(xiàn)

題目(2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

(2)證明:|f(x)|≤

(3)設(shè)n ∈N*,證明:

本題一道以三角函數(shù)為背景的函數(shù)題.試題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,分步設(shè)問,逐步推進(jìn),綜合考查考生對(duì)函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)的理解,以及邏輯思維轉(zhuǎn)化、推理論證與運(yùn)算,以及分析問題和解決問題等方面的能力.

由于問題(1)較為簡(jiǎn)單,本文不作討論,下面僅對(duì)問題(2),(3)進(jìn)行解答與探究.

二、試題的解答

1.問題(2)的證明

證法1注意到f(x+π)=sin2(x+π)sin[2(x+π)]=sin2xsin 2x=f(x),故函數(shù)f(x)是周期為π的函數(shù).于是可知: 要證明|f(x)|≤只需證明當(dāng)x ∈[0,π] 時(shí),|f(x)|≤

由問題(1)可知,當(dāng)x ∈時(shí),f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x ∈時(shí),f(x)單調(diào)遞增.且有f(0)=f(π)=0,可得[f(x)]max=所以|f(x)|≤

評(píng)注本證法先證明函數(shù)f(x)是以π周期的周期函數(shù),再借助問題(1)中f(x)的單調(diào)性,求得函數(shù)的最值,從而證得結(jié)論.過程簡(jiǎn)潔,難點(diǎn)是證明函數(shù)f(x)是周期函數(shù).

證法2由|f(x)|=|sin2xsin22x|=|2sin3xcosx|得到

所以|f(x)|≤當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立.

證法3因?yàn)?/p>

從而sin6xcos2x≤即得|sin3xcosx|≤所以|f(x)|=|sin2xsin22x|=|2sin3xcosx|≤當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

評(píng)注證法2 與證法3 利用四元均值不等式來證明,方法巧妙.均值不等式求最值是高中數(shù)學(xué)常用方法之一,若要用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值,關(guān)鍵在于構(gòu)造條件,使其和為常數(shù),通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造.

證法4令m ＞0,則

評(píng)注本證法利用待定系數(shù)法與柯西不等式來證明,引入系數(shù)m運(yùn)用均值不等式后,沒有出現(xiàn)和為定值,但是可以再次運(yùn)用柯西不等式,進(jìn)而用取等條件計(jì)算出待定系數(shù).反之,如果知道取等條件,就可以直接寫出系數(shù)配湊的過程.

2.問題(3)的證明

由 問 題(2),可 知|f(x)|=|sin2xsin 2x|≤|f(2x)|=|sin22xsin 4x|≤,|f(4x)|=|sin24xsin 8x|≤···,|f(2n-1x)|=|sin22n-1xsin 2nx|≤且由正弦函數(shù)的有界性,得|sinx|≤1,|sin22nx|≤1.于是

所以sin2xsin22xsin24x···sin22nx≤

評(píng)注問題(3)的證明先利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮,再由問題(2)的結(jié)論|f(x)|=|sin2xsin 2x|≤及不等式的基本性質(zhì): 同正同向可乘性,來證得題中的不等式.

在本題中,問題(2)可以用問題(1)的結(jié)果解答,問題(3)需要用問題(2)的結(jié)論,三個(gè)問題由淺入深,層層遞進(jìn).試題的設(shè)問意圖是為了控制整個(gè)試題的難度,實(shí)際上是給予考生相應(yīng)的提示,為考生的解答思路作好鋪墊.

三、問題的提出

解答完本題后,思考:

1.若將前述考題的函數(shù)f(x)= sin2xsin 2x改為f(x)= sinxsin 2x,則問題(2),(3)是否有最大值? 若有,如何求得?

2.若將前述考題的函數(shù)f(x)= sin2xsin 2x改為f(x)= sinxsin22x,則問題(2),(3)是否有最大值? 若有,如何求得?

四、試題的拓展推廣

結(jié)合原高考題,及對(duì)上述兩個(gè)問題的思考,發(fā)現(xiàn)高考試題可以進(jìn)行推廣.經(jīng)探究,可得到結(jié)論1:

結(jié)論1已知函數(shù)f(x)=sinkxsint2x,k,t,n ∈N*,則有

證 明(1)因 為|f(x)|=|sinkxsint2x|=|sinkx(2 sinxcosx)t|=|2tsink+txcostx|,從而

所以|f(x)|≤2t當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

(2)由(1),可知

···,|f(2n-1x)|=|sink2n-1xsint2nx|≤且由正弦函數(shù)的有界性,得|sintx|≤1,|sink2nx|≤1.于是

所以

顯然,由結(jié)論1,當(dāng)k= 2,t= 1 時(shí),可得|f(x)|≤sin2xsin22xsin24x···sin22nx≤這正是原高考題的情形.

五、試題的類比拓展

類比結(jié)論1,經(jīng)探究,可得到結(jié)論2:

結(jié)論2已知函數(shù)f(x)=coskxcost2x,k,t,n ∈N*,則

證 明(1)因 為f(x)= coskxcost2x= coskx ×(1-2sin2x)t,從而

所以|f(x)|≤當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

(2)由(1),可知

且由余弦函數(shù)的有界性,得|costx|≤1,|cosk2nx|≤1.于是

所以