楊靜寧, 唐健, 盧鏡宇, 李清祿

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

功能梯度形狀記憶合金(functionally graded shape memory alloy,FG-SMA)是利用SMA和其他材料按照某種含量比率復(fù)合而成的新型材料,兼具功能梯度材料和形狀記憶合金材料的雙重特性[1-2]。FG-SMA材料因其所復(fù)合的形狀記憶合金在加載過程中會產(chǎn)生相變行為,從而表現(xiàn)出超彈性和形狀記憶效應(yīng)[3]。國內(nèi)外學(xué)者對FG-SMA的制備、實(shí)驗(yàn)及其力學(xué)特性有了全面的認(rèn)識,Mahesh等[4]用原位同步輻射X光衍射方法,研究了功能梯度Ni-Ti形狀記憶合金絲的循環(huán)拉伸變形過程。Khaleghi等[5]對鍍鈀的 Ti-Ni 板進(jìn)行擴(kuò)散退火,從而使富鈦 Ti-Ni 形狀記憶合金的成分按梯度分布。Bogdanski等[6]研究了Ni-Ti合金的生物相容性以及從純鎳到純鈦的功能梯度樣品,有效減少了實(shí)驗(yàn)資源。Cole等[7-8]采用直流磁控濺射法在富鎳NiTi(Ni56Ti44)基體上沉積富鈦NiTi(Ni47Ti53)薄膜,通過控制表征成分的梯度分布，以實(shí)現(xiàn)對非彈性變形的恢復(fù)產(chǎn)生影響。Viet等[9]基于ZM模型和Timoshenko理論,推導(dǎo)了FG-SMA梁加載和卸載過程中各階段的彎矩-曲率和剪力-切應(yīng)變關(guān)系的解析模型。Liu等[10]分析了FG-SMA復(fù)合材料在熱-機(jī)載荷的作用下,不同相變階段相對應(yīng)的應(yīng)力分布。薛立軍等[11-12]根據(jù)固體力學(xué)和已有的SMA本構(gòu)關(guān)系,建立了FG-SMA的本構(gòu)模型,并分析得到了純彎曲條件下FG-SMA梁、板的力學(xué)特性?？禎商斓萚13]根據(jù)形狀記憶合金本構(gòu)方程建立了FG-SMA復(fù)合梁的力學(xué)模型,研究了FG-SMA梁的變形特性。然而,針對FG-SMA材料的力學(xué)性能研究,大都忽略了SMA材料帶來的拉壓不對稱性對結(jié)果的影響。

本文結(jié)合形狀記憶合金的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系以及臨界應(yīng)力與溫度的關(guān)系,采用分階段分步驟的方法分析了梁的相變過程。得到了FG-SMA超靜定梁在變形過程中的力學(xué)特性與載荷、拉壓不對稱系數(shù)、SMA體積分?jǐn)?shù)以及溫度的關(guān)系,結(jié)果可為FG-SMA材料的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供一定的依據(jù)。

1 FG-SMA梁的非線性變形

1.1 幾何模型

設(shè)FG-SMA超靜定梁長l,高度h,寬度b。該梁由彈性材料H與SMA材料復(fù)合而成,SMA材料的體積分?jǐn)?shù)沿截面高度方向服從f(y)=(y/h)n的函數(shù)分布,幾何模型如圖1所示。其中,n表示體積分?jǐn)?shù)冪指數(shù),y0表示中性軸的初始位置。

圖1 FG-SMA梁幾何模型

1.2 簡化本構(gòu)模型

基于簡化后形狀記憶合金材料的本構(gòu)模型[14],可得到FG-SMA在不同加載條件下SMA的應(yīng)力值,如圖2所示。

圖2 SMA簡化本構(gòu)模型

其中,σts,σtf表示受拉側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)臨界應(yīng)力,σcs,σcf表示受壓側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)力,εts,εtf表示受拉側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)變,εcs,εcf表示受壓側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)變,εL為最大殘余應(yīng)變。

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué),梁在變形過程中始終滿足平截面假定,故梁的軸向應(yīng)變分布

(1)

式中：yi表示中性軸位置；ρ表示曲率半徑。

SMA材料的應(yīng)力可表示

σSMA=ESMAε

(2)

彈性材料H的應(yīng)力可表示

σH=EHε

(3)

式中：ESMA表示SMA材料的彈性模量；EH表示彈性材料H的彈性模量。

截面上的平均應(yīng)力可表示

σ(y)=[1-f(y)]σH+f(y)σSMA

(4)

1.3 拉壓不對稱系數(shù)

考慮到FG-SMA超靜定梁在彎曲變形過程中的非對稱性,特引入拉壓不對稱系數(shù)[15]

(5)

1.4 本構(gòu)關(guān)系

1.4.1 初始階段(εt<εts)

初始階段時(shí),受拉側(cè)表層應(yīng)變εt小于相變開始臨界應(yīng)變εts,材料全部為奧氏體相,中性軸位移未發(fā)生偏移,截面上應(yīng)力

(6)

式中,EA表示奧氏體彈性模量。

1.4.2 相變階段(εt≥εts)

隨著應(yīng)變在梁截面上逐漸增大并達(dá)到一定值時(shí),FG-SMA梁發(fā)生相變且中性軸產(chǎn)生偏移,當(dāng)梁橫截面彎矩為正時(shí),截面及其微段的變形如圖3所示。

圖3 Ⅰ～Ⅳ階截面相變及其微段變形示意圖

其中A表示奧氏體相,M表示馬氏體相,AM表示混合相。當(dāng)受壓側(cè)表層應(yīng)變εc未達(dá)到開始臨界應(yīng)變εcs,受拉側(cè)表層應(yīng)變εt超過相變開始臨界應(yīng)變εts,即|εc|≤εcs,εts≤εt≤εtf,此時(shí)受壓側(cè)尚未發(fā)生相變,受拉側(cè)出現(xiàn)混合相,混合相與奧氏體相形成相邊界BTA,進(jìn)入Ⅰ階相變,如圖3a)所示,截面上應(yīng)力

(7)

當(dāng)εcs≤|εc|≤εcf,εts≤εt≤εtf,受壓側(cè)表層開始發(fā)生相變并出現(xiàn)混合相,受壓側(cè)混合相與奧氏體相形成相邊界BCA,進(jìn)入Ⅱ階相變,如圖3b)所示,截面上應(yīng)力

(8)

當(dāng)εcs≤|εc|≤εcf,εtf≤εt,受拉側(cè)表層應(yīng)變εt超過受拉側(cè)相變結(jié)束臨界應(yīng)變εtf,受拉側(cè)表層出現(xiàn)馬氏體相,而受壓側(cè)表層仍處于混合相,受拉側(cè)混合相與馬氏體相形成相邊界BTM,如圖3c)所示,進(jìn)入Ⅲ階相變,截面上應(yīng)力為

(9)

當(dāng)εcf≤|εc|,εtf≤εt,受壓側(cè)表層應(yīng)變εc超過受壓側(cè)相變結(jié)束臨界應(yīng)變εcf,受壓側(cè)表層出現(xiàn)馬氏體相,受壓側(cè)混合相和馬氏體相形成相邊界BCM,進(jìn)入Ⅳ階相變,如圖3d)所示,截面上應(yīng)力為

(10)

式中:yi(i=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ)表示不同階段截面上中性軸位置;Δh=yi-y0表示中性軸位移,相邊界A1A,B1B,C1C,D1D的坐標(biāo)分別為yA1A=yi-εtsρ,yB1B=

當(dāng)梁橫截面彎矩為負(fù)時(shí),截面及其微段的變形相變過程與彎矩為正時(shí)的情況類似,不再贅述。

1.5 臨界應(yīng)變模型

由形狀記憶合金臨界應(yīng)力與溫度的關(guān)系[16],馬氏體相變起始應(yīng)力和結(jié)束應(yīng)力與溫度的表達(dá)為

(11)

式中：下標(biāo)i取s與f時(shí)分別表示相變起始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)力；Ms表示馬氏體相變起始溫度；CM為常數(shù)。

將馬氏體相變起始應(yīng)力值σms和相變結(jié)束應(yīng)力值σmf分別作為相變起始應(yīng)力σts,σcs和相變結(jié)束應(yīng)力σtf,σcf代入(7)～(10)式中,即可得到溫度、荷載、冪指數(shù)、拉壓不對稱系數(shù)與曲率、中性軸位移、相邊界之間的關(guān)系。

1.6 平衡方程

初始階段,梁的平衡方程為

Ⅰ階相變階段,梁的平衡方程為

Ⅱ階相變階段,梁的平衡方程為

Ⅲ階相變階段,梁的平衡方程為

Ⅳ階相變階段,梁的平衡方程為

式中

M(x)=

2 結(jié)果與討論

設(shè)FG-SMA超靜定梁長、寬、高為l=200 mm,h=20 mm,b=15 mm,受均布載荷q以及集中載荷F作用,模型如圖1所示。選用Ni55Ti材料,相關(guān)參數(shù)為[16]

2.1 中性軸位移

圖4a)～4d)分別表示載荷、拉壓不對稱系數(shù)、冪指數(shù)以及溫度對截面中性軸位移的影響。計(jì)算結(jié)果顯示:不論彎矩為正還是為負(fù),中性軸都率先向截面受壓側(cè)移動,且中性軸位移隨載荷的增大而增大;中性軸位移隨著拉壓不對稱系數(shù)的增大而減小,但影響較小;冪指數(shù)越大,中性軸位移越小;隨著溫度的升高,中性軸位移減小,且溫度越高,影響越小。

2.2 曲率

圖5a)～5d)分別表示載荷、拉壓不對稱系數(shù)、冪指數(shù)以及溫度對曲率的影響。計(jì)算結(jié)果顯示:進(jìn)入相變階段以后,在最大正負(fù)彎矩處,即x=100 mm和x=200 mm處,曲率分別達(dá)到最大值。曲率隨著載荷的增大而增大;曲率隨著拉壓不對稱系數(shù)的增大而減小,但影響較小;曲率隨著冪指數(shù)的增大而減小;曲率隨著溫度的升高而減小。

圖4 中性軸位移與截面位置的關(guān)系

圖5 曲率與截面位置的關(guān)系

2.3 相邊界

圖6a)～6d)分別表示載荷、拉壓不對稱系數(shù)、冪指數(shù)以及溫度對相邊界的影響。計(jì)算結(jié)果顯示:相邊界隨著載荷增大越遠(yuǎn)離截面邊緣;拉壓不對稱系數(shù)對受拉側(cè)相邊界影響不大,但可以看出對受壓側(cè)相邊界影響較大,且隨著拉壓不對稱系數(shù)的增大而越靠近截面邊緣;相邊界隨著冪指數(shù)的增大越靠近截面邊緣,且冪指數(shù)越小,越易發(fā)生相變;相邊界隨著溫度的升高越靠近截面邊緣,且溫度越高,影響越小,越不易發(fā)生相變。

圖6 相邊界與截面位置的關(guān)系

3 結(jié) 論

1) 在相變階段,中性軸位移隨著載荷的增大而增大;在分別改變冪指數(shù)和溫度時(shí),中性軸位移隨著冪指數(shù)的增大和溫度的升高而減小,但影響較小。

2) 初始階段,載荷、冪指數(shù)和溫度對曲率影響較小,在相變階段,曲率在x=100 mm和x=200 mm處分別達(dá)到最大值,且曲率的變化量隨載荷的增大而增大,而隨著冪指數(shù)的增大和溫度的升高而減小。

3) 相邊界隨著載荷的增大越遠(yuǎn)離截面邊緣,隨著冪指數(shù)的增大與溫度的升高越靠近截面邊緣,越不易發(fā)生相變。

4) 對功能梯度形狀記憶合金梁而言,由于SMA的體積分?jǐn)?shù)沿著截面高度呈冪指數(shù)變化,一定程度上降低了拉壓不對稱性對材料力學(xué)性能的影響。