廣東省清遠(yuǎn)市陽(yáng)山縣韓愈中學(xué)(513100) 劉鵬國(guó)

1 題目呈現(xiàn)及解法分析

1.1 題目呈現(xiàn)

這道題目是2013年湖北武漢中考題的第24 題,原題為:已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.

(1)如圖1,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證:

圖1

(2)如圖2,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),成立? 并證明你的結(jié)論.

圖2

(3) 如圖3,若BA=BC= 6,DA=DC= 8,∠BAD=90°,DE ⊥CF,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.

圖3

1.2 解題分析

(1)題目分析

此題主要考察相似三角形與幾何問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用.這道題目共有三問(wèn),第一問(wèn)是以矩形為背景求證本質(zhì)上是證明三角形的相似.第二問(wèn)是把原來(lái)的矩形模型變成了平行四邊形模型,探究當(dāng)∠B與∠EGC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),成立? 間接考察四邊形的內(nèi)角和定理.第三問(wèn)是把第二問(wèn)的平行四邊形模型變成了箏形模型,給出箏形的四條邊的長(zhǎng)度以及一些輔助條件,求第一第二問(wèn)中比例式的左邊的比值.三問(wèn)之間相互聯(lián)系,以成比例線(xiàn)段為橋梁,以證明三角形相似為主線(xiàn),并分別以矩形、平行四邊形、箏形為背景環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn),考察學(xué)生對(duì)相似三角形的證明以及求解線(xiàn)段長(zhǎng)的多種方法和技巧,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、觀察能力、猜想能力.

(2)解法分析

第一問(wèn),直接證明三角形相似就可以得出結(jié)論,難度不大,學(xué)生的得分率較高.具體做法:把求證結(jié)論比例式中的四條線(xiàn)段DE,AD,CF,CD分別放在ΔADE和ΔDCF兩個(gè)三角形中,再利用同角的余角相等,得出∠DFG= ∠DEA,進(jìn)而根據(jù)有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,證明出ΔADE∽ΔDCF,最終證明出結(jié)論

第二問(wèn),觀察圖形大膽猜想和作輔助線(xiàn)是關(guān)鍵.在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)比例式成立,然后以此為突破口,反過(guò)來(lái)探究∠B與∠EGC之間的關(guān)系,這樣容易打開(kāi)思路.具體做法:在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)M,使CM=CF,如圖4,證明ΔADE∽ΔDCM,此時(shí)因?yàn)镃M=CF,所以比例關(guān)系成立的前提是ΔADE∽ΔDCM,∠M= ∠AED,又因?yàn)椤螹= ∠MFC= ∠FCB,因此在四邊形BEGC中∠BEG+∠BCG=180°,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理,所以當(dāng)∠B與∠EGC互補(bǔ)時(shí),結(jié)論成立.

圖4

第三問(wèn)是把第二問(wèn)的平行四邊形模型變成了箏形,具體做法:如圖5,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD,證明ΔAED∽ΔNFC.

圖5

通過(guò)證明ΔAED∽ΔNFC,所以已知AD= 8,關(guān)鍵就是求出CN的值,在ΔACD中再利用等積法求出CN的值,問(wèn)題就解決了.

2 講法探究

2.1 講解題的通性通法,讓學(xué)生做到遇題不慌

教師在講題時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的常規(guī)思維.而不是只是教會(huì)學(xué)生一些快捷、簡(jiǎn)便的方法和思路,并且并不是所有的題目都有特殊的解法,因此,在講評(píng)壓軸題時(shí)應(yīng)該先對(duì)題目的通性通法進(jìn)行重點(diǎn)講解,然后再根據(jù)題目本身的特殊性挖掘一些特殊的解法和技巧,先讓大多數(shù)學(xué)生能夠掌握解決此類(lèi)題目的一般做法.

對(duì)于本題的第一問(wèn),求證的結(jié)論是線(xiàn)段成比例的問(wèn)題,筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生:要證明兩組線(xiàn)段成比例,通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn),這是兩組分別位于兩個(gè)不同的三角形中的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段,若能證明這兩個(gè)三角形相似即可得證,這是完成此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路.在這道題目中,我們很容易發(fā)現(xiàn),要證明的四條成比例的線(xiàn)段DE,AD,CF,CD分別在ΔADE和ΔDCF兩個(gè)三角形中,顯然,這兩個(gè)三角形中已經(jīng)都有一對(duì)直角相等,我們只需要結(jié)合證明三角形相似的方法以及聯(lián)系題目的其他已知條件引導(dǎo)學(xué)生再找出另一對(duì)角相等即可.題目中提到DE⊥CF,即線(xiàn)段ED和FC相交所成的四個(gè)角都是直角,結(jié)合同角的余角相等可以得出∠GFD= ∠AED,即可根據(jù)“有兩對(duì)角相等的兩個(gè)三角形相似”得出ΔADE和ΔDCF相似,進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊成比例第一問(wèn)就順利完成了.講解這道題目時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講清楚兩點(diǎn):一是引導(dǎo)學(xué)生思考成比例線(xiàn)段如何證明;二是如何準(zhǔn)確快速的找出相似的三角形.第一點(diǎn)很多老師都會(huì)講到,對(duì)于第二點(diǎn),筆者注重教學(xué)生在比例線(xiàn)段中找相似三角形的“訣竅”,即:橫著找,找不到;再豎著找,若還找不到;就換線(xiàn)段再找,若換了線(xiàn)段還是找不到就換比例再找相似三角形.

講清楚解決問(wèn)題的一般方法,能讓學(xué)生在平時(shí)做題時(shí)做到心中有方法,遇題不緊張.對(duì)于解決問(wèn)題的普遍方法的講授,首先要求教師不能就題論題的講解;其次,老師要對(duì)知識(shí)或者方法本身進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展,像上面的這道題,教師可以對(duì)證明成比例線(xiàn)段的多種情況進(jìn)行拓展;最后,教師還要精選例題讓學(xué)生把已經(jīng)掌握的方法和技巧再熟練運(yùn)用一次,最終實(shí)現(xiàn)方法和技巧的內(nèi)化.

2.2 講模型的內(nèi)在聯(lián)系,提高學(xué)生的分析能力

數(shù)學(xué)講題的重要目標(biāo)之一是提高學(xué)生對(duì)題目的分析能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,讓學(xué)生積累豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),積累更多的數(shù)學(xué)模型,能為學(xué)生的想象搭建平臺(tái),提高他們分析問(wèn)題的能力.因此,講題時(shí)要注意幫助學(xué)生分析題目中出現(xiàn)的模型,并講清模型間的內(nèi)在聯(lián)系.

第一問(wèn)是以矩形為背景,結(jié)合同角的余角相等考察三角形的相似.第二問(wèn)是把原來(lái)的矩形ABCD模型改為平行四邊形模型.第三問(wèn)是把第二問(wèn)的平行四邊形模型變成了箏形,三問(wèn)之間模型的內(nèi)在聯(lián)系的分析很關(guān)鍵.

第二問(wèn),可以先讓學(xué)生想象,假設(shè)后面的四條線(xiàn)段成比例,引導(dǎo)學(xué)生找到對(duì)應(yīng)的相似三角形,然后在線(xiàn)段成比例的前提下再探究∠B與∠EGC的關(guān)系,這樣思路更容易打開(kāi).

這樣就順理成章的把探究的重點(diǎn)放在了構(gòu)建三角形并證明相似的問(wèn)題上.按照第一問(wèn)的經(jīng)驗(yàn)找三角形證明相似的思路,三角形可以找到,很顯然鈍角ΔADE與銳角ΔDCF不可能相似,此時(shí)學(xué)生可能會(huì)陷入迷茫,然而如何使學(xué)生從迷茫中跳出來(lái),通過(guò)換線(xiàn)段構(gòu)造三角形相似就是解題的金鑰匙,到底換哪條線(xiàn)段,如何換? 思緒又回到前面為何ΔADE與ΔDCF不可能相似,其關(guān)鍵是一個(gè)是鈍角三角形和一個(gè)是銳角三角形有一對(duì)對(duì)應(yīng)角不可能相等,因此這兩個(gè)三角形不可能相似,由題目知第二問(wèn)的模型已經(jīng)變成了平行四邊形,挖掘平行四邊形模型的性質(zhì)得出∠A與∠FDC互補(bǔ),和ΔADE相似的三角形對(duì)應(yīng)內(nèi)角必須相等根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合兩直線(xiàn)平行同位角相等,這時(shí)就為后面的做輔助線(xiàn)構(gòu)造ΔCDM做好鋪墊,如在此時(shí)再結(jié)合題目第一問(wèn)的啟示,線(xiàn)段DE,AD放到ΔADE中,那么線(xiàn)段CF和線(xiàn)段CD只需再放到一個(gè)和ΔADE相似的三角形中,無(wú)疑要通過(guò)做輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形(如圖6),其構(gòu)造的關(guān)鍵就是要找到與∠A相等的角,思路由此打開(kāi).

圖6

在第三問(wèn)中把題目的模型又變成了箏形(如圖7) .我們知道箏形是軸對(duì)稱(chēng)圖形它具備很多的重要性質(zhì),例如對(duì)角線(xiàn)互相垂直,還有對(duì)角線(xiàn)BD把四邊形ABCD分割成兩個(gè)全等的三角形,BD垂直平分AC等等,題目中已知∠BAD= 90°這個(gè)箏形就更加特殊,連接BD,AC后得到RTΔABD,在這個(gè)直角三角形中隱藏了很多信息,比如有三對(duì)相似三角形,射影定理,利用等面積法求BD邊上的高等等知識(shí).如果教師在講解完這道題目后,能夠把這個(gè)題目中包含的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行一一分解剖析,那么我們的學(xué)生或許會(huì)對(duì)這道題目理解更為深刻.

圖7

復(fù)雜問(wèn)題是由基本問(wèn)題構(gòu)成的,解題中遇到“卡殼”,很多時(shí)候是由于學(xué)生對(duì)于基本的數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)不夠而導(dǎo)致的.只有真正理解基本的數(shù)學(xué)模型,才能在具體的解題過(guò)程中,從復(fù)雜的問(wèn)題中分解、發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型.進(jìn)而在數(shù)學(xué)模型中挖掘其中的隱藏條件,實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題.重視數(shù)學(xué)模型的歸納與分析,既尊重了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,又體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的關(guān)注,還能很好地提高學(xué)生的問(wèn)題分析能力.

2.3 講問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖,提升學(xué)生的反思能力

大多數(shù)綜合壓軸題都含有多個(gè)小問(wèn),并且這些問(wèn)題所考察的知識(shí)點(diǎn)之間有著密切的聯(lián)系,在講解完題目的具體做法后,還應(yīng)該對(duì)題目進(jìn)行解題后的反思,引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖,挖掘題目?jī)?nèi)在的思想方法,可以使學(xué)生窺探出命題者的出題意圖,進(jìn)一步提升反思能力.在講完本題后,筆者提出了以下三個(gè)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生從“問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖”這個(gè)角度進(jìn)行解題反思:命題者的考察意圖是什么? 考察了什么知識(shí)? 用到了哪些解題思想方法?

作為一道中考?jí)狠S題,出題者本身的考察意圖很明顯.但是學(xué)生不一定可以看得出,這時(shí)老師只有站的高,才能看得遠(yuǎn),教師應(yīng)該站在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中看問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生探究出題者的設(shè)計(jì)意圖.縱觀整個(gè)初中階段針對(duì)幾何圖形大小的兩大關(guān)系——全等和相似,全等關(guān)系較為簡(jiǎn)單,而相似關(guān)系更為靈活也較為復(fù)雜,更能考察出學(xué)生觀察圖形和分析問(wèn)題的能力,往往受出題人的偏愛(ài).本題的考察意圖是在矩形、平行四邊形、箏形背景下,借助作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形,主要考察學(xué)生能否熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、勾股定理、射影定理等知識(shí).解題思想方面,本題通過(guò)利用轉(zhuǎn)化思想,執(zhí)果索因思想,化歸思想等解題思想方法,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理的能力.

明晰了出題者的考察意圖以及考察的知識(shí)、反思解決問(wèn)題的思想方法,最終使學(xué)生做到知一題而會(huì)一類(lèi),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)命題規(guī)律.譬如這類(lèi)題目,通常都會(huì)有三問(wèn),三問(wèn)之間解法有相似之處.該題三問(wèn)之間雖然是并列式的設(shè)計(jì),但實(shí)質(zhì)上是遞進(jìn)式的求解.第一問(wèn)和第二問(wèn)都含有比例式,因此在做完第一問(wèn)時(shí),可以嘗試用解決第一問(wèn)的方法去求解第二問(wèn),第三問(wèn)要求出的值,我們可以發(fā)現(xiàn)這兩條線(xiàn)段的比恰好是第1、2 問(wèn)中比例式的等號(hào)左邊,既然有這樣的聯(lián)系,那么第1、2 問(wèn)中都用到了相似三角形,那么第三問(wèn)可能也會(huì)用到相似三角形.順著這個(gè)思路往下想,那么我們就要構(gòu)造相似三角形,然后把DE、CF的比轉(zhuǎn)化為兩條可求長(zhǎng)度的線(xiàn)段的比.

像這樣,通過(guò)在解題反思環(huán)節(jié)講解問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖,引領(lǐng)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),思考出題人的命題意圖,能讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣,享受探究帶來(lái)的成就感,可以逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣,并懂得如何去學(xué)數(shù)學(xué).

通過(guò)一道題目的講解我們所要達(dá)到的目的并非止于讓學(xué)生聽(tīng)懂或者會(huì)做這道題目,而在于學(xué)生通過(guò)做這道題目后能夠獲取更多解決問(wèn)題的想法和思路.