廣州市白云區(qū)金沙小學(xué)(510168) 吳厚儀

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo),是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.而數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的“靈魂”,在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中起決定性作用.因此,數(shù)學(xué)思想方法的傳授是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的核心.然而,數(shù)學(xué)基本思想方法總是被掩蓋在教材所呈現(xiàn)的概念、定理等具體數(shù)學(xué)知識(shí)的背后,看不見、摸不著.在數(shù)學(xué)課堂上,教師如何在教材知識(shí)和數(shù)學(xué)問題的講解過(guò)程中,做到“不著痕跡”地傳授數(shù)學(xué)思想方法,潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維? 本文從一節(jié)圓的習(xí)題課出發(fā),探討教師如何在數(shù)學(xué)習(xí)題課上為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思維策略的指導(dǎo)和數(shù)學(xué)思想方法的傳授,讓學(xué)生在逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程中,提升數(shù)學(xué)思維.

1 教學(xué)過(guò)程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中強(qiáng)調(diào),學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中,通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流,逐步感悟數(shù)學(xué)思想.本課例中,筆者將從“初探問題——再探問題——總結(jié)歸納——方法應(yīng)用——拓展深化”五個(gè)環(huán)節(jié)開展教學(xué)活動(dòng).

1.1 初探問題

例1如圖1,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的一條弦.求證:∠BCO=∠D.

圖1

例2如圖2,在ΔABC中,∠ACB= 90°,以BC為直徑的圓O交AB于點(diǎn)D.

圖2

求證:∠ACD=∠DEC.

例3如圖3,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、F在⊙O上,CD⊥AB,垂足為D,CD的延長(zhǎng)線交BF于點(diǎn)E,求證:∠BCE=∠BFC.

圖3

1.2 再探問題

問題1:請(qǐng)分別講解這三道例題的解題思路.

問題2:這三道例題有沒有共通點(diǎn)? (提示:可從條件、設(shè)問、解題思路等方面出發(fā)進(jìn)行思考)

【教學(xué)片斷】

師:剛剛?cè)煌瑢W(xué)都不約而同地從知識(shí)點(diǎn)這個(gè)角度來(lái)分析解題思路的共通點(diǎn),為大家總結(jié)了以后在遇到這類問題的時(shí)候,應(yīng)該首先聯(lián)想到哪些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解決.很實(shí)用的總結(jié)!那么除了知識(shí)點(diǎn)以外,這三道題在解題方法上有沒有共通點(diǎn)呢?

(生靜靜思考,似乎沒有答案)

師:在這三道例題里,我們能不能直接證明設(shè)問里所提出的兩個(gè)角相等呢?

生(齊聲答):不能.

師:既然無(wú)法直接證明,那么我們是如何間接證明的?

生1:例如說(shuō),題目要求我們證明∠1 = ∠2,我們先分別證明∠1 和∠2 都等于∠3,這樣就可以運(yùn)用等量代換,得到∠1=∠2.

生2:或者說(shuō)先分別證明∠1 = ∠3,∠2 = ∠4,然后再證明∠3=∠4,最后可以通過(guò)等量代換,得到這四個(gè)角相等.

師:也就是說(shuō),由于無(wú)法直接證明兩個(gè)角相等,所以我們借助了∠3 甚至是∠4 的力量,然后運(yùn)用了等量代換的方法證明是嗎?

生(齊聲答):是的.

師:在等量代換的過(guò)程中,引入的∠3 和∠4 起到了什么作用?

生9:被代換的等量.

師:是的! 它們就像一座鵲橋一樣,讓兩邊需要證明相等的∠1 和∠2 牽起了雙手,結(jié)成一段良緣,然后默默退出,深藏功與名.

(生開心地笑了)

師:所以,我們?cè)诎l(fā)現(xiàn)“證明∠1 = ∠2”這一問題無(wú)法一下子解決時(shí),我們就考慮引入∠3,把問題退一步,轉(zhuǎn)化為先證明∠1 = ∠3,∠2 = ∠3,最后運(yùn)用等量代換得到∠1=∠3=∠2,搭建∠3 這座橋梁把∠1 和∠2 牽起來(lái).搭建橋梁的這一過(guò)程,不僅僅運(yùn)用了等量代換的方法,更重要地是,它體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)基本思想方法——轉(zhuǎn)化與化歸.

1.3 總結(jié)歸納

轉(zhuǎn)化與化歸思想,就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)通過(guò)觀察、聯(lián)想、等價(jià)轉(zhuǎn)化等環(huán)節(jié),將隱蔽的條件明顯化,把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題,進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想.其中,等量代換就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的一種重要體現(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中提出“變化問題”,意即把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題,去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問題,先解決一個(gè)更特殊的問題……“變化問題”揭示了探索解題思路的途徑與實(shí)質(zhì),是波利亞解題思想的精髓.如今,“變化問題”成為重要的數(shù)學(xué)基本思想方法之一——轉(zhuǎn)化與化歸.如何讓學(xué)生在解決具體數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中,領(lǐng)悟體會(huì)這一重要的數(shù)學(xué)思想方法,并逐步內(nèi)化為一般思維方式? 在本課中,解題完畢后學(xué)生再次梳理解題思路,隨后教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三道例題的解題思路進(jìn)行觀察、類比,最終從條件、設(shè)問、所用知識(shí)方法等多個(gè)角度具體分析和歸納其共通點(diǎn),得出更一般化的解題思想方法.經(jīng)歷分析、觀察、類比、總結(jié)的過(guò)程,學(xué)生不僅能逐步培養(yǎng)歸納概括能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力,還能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我效能感.

另一方面,在教師引導(dǎo)下,學(xué)生通過(guò)觀察、類比、歸納等手段從特殊解法的思路中得到一般解法的信息,這實(shí)質(zhì)是一個(gè)解題回顧的過(guò)程.解題回顧作為數(shù)學(xué)解題的基本程序之一,對(duì)于數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)有極大的促進(jìn)作用.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧,不僅能提煉和儲(chǔ)備解題經(jīng)驗(yàn),為數(shù)學(xué)思維的升華提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),同時(shí),教師的適時(shí)啟發(fā)和總結(jié)歸納以及適量的練習(xí)訓(xùn)練,也使學(xué)生對(duì)于轉(zhuǎn)化與化歸這一數(shù)學(xué)思想方法模糊的感性認(rèn)識(shí)逐步上升為清晰的理性認(rèn)識(shí).

1.4 方法應(yīng)用

練習(xí)1:如圖4,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠DAE是四邊形ABCD的一個(gè)外角,且AD平分∠CAE.求證:DB=DC.

圖4

練習(xí)2:如圖5,AB是O的直徑,C是弧BD的中點(diǎn),CE⊥AB,垂足為E,BD交CE于點(diǎn)F.求證:CF=BF.

圖5

1.5 拓展深化

例4如圖6,ΔABC中,AB=BC,點(diǎn)O為高AD上一點(diǎn),以O(shè)D為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)E.連接CE,點(diǎn)O在CE上.若AE:EB= 2 :3,AC=求⊙O的半徑.

圖6

練習(xí):如圖7,在ΔABC中,AB=AC,以AB為直徑的O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E,連接EB交OD于點(diǎn)F.(1)求證:OD⊥BE;(2)若DE=,求AE的長(zhǎng).

圖7

例5(2020年陜西中考):如圖8,ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC= 75°,∠ABC= 45°.連接AO并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.(1)求證:AD//EC;(2)若AB= 12,求線段EC的長(zhǎng).

圖8

【設(shè)計(jì)意圖】

在圓的問題中,除了角的轉(zhuǎn)化外,還有線段的轉(zhuǎn)化.一類問題是直接進(jìn)行線段的等量代換,把某一線段作為“橋梁”構(gòu)建方程進(jìn)行求解.在例4 中,經(jīng)過(guò)思考不難發(fā)現(xiàn),不論從哪一個(gè)直角三角形入手,AD都是問題解決的“擋路石”,為清除這一障礙,不妨考慮轉(zhuǎn)化問題,把“擋路石”變成“墊腳石”.首先在RtΔABD和RtΔACD中,根據(jù)勾股定理,分別表示出AD的關(guān)系式,然后進(jìn)行等量代換,將AD作為搭建方程的“橋梁”,進(jìn)行求解.

另一類問題則是借助輔助線把線段進(jìn)行平移,把“橋梁”移到所需之處進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化.在例5 第(2)問中,直接求CE比較困難,所以聯(lián)想到過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線達(dá)到分割CE、平移半徑的目的.此時(shí),半徑充當(dāng)了轉(zhuǎn)化問題的“橋梁”,不僅轉(zhuǎn)化為CE的部分已知長(zhǎng)度,也成為了利用三角函數(shù)求CE未知長(zhǎng)度部分的關(guān)鍵.總之,例4、5 的解題過(guò)程不僅是圓與三角函數(shù)、一元二次方程、勾股定理等內(nèi)容的拓展與綜合,更是轉(zhuǎn)化與化歸思想方法運(yùn)用靈活化與豐富化的體現(xiàn).

2 總結(jié)

2.1 準(zhǔn)確把握學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),激活學(xué)生的思維活動(dòng)

數(shù)學(xué)是思維的活動(dòng),思維的主體性要求人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性.數(shù)學(xué)基本思想方法作為數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的精粹,被簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)結(jié)論所掩蓋,要想使其暴露出來(lái),更是離不開學(xué)生積極主動(dòng)的思維活動(dòng).如何使學(xué)生自發(fā)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)? 首先需要教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).一方面,教師只有在充分了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,才能創(chuàng)造適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境,引起學(xué)生思維的矛盾沖突,從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生積極地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng).另一方面,數(shù)學(xué)思想方法的高度抽象性與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展仍處于從具體到抽象的過(guò)渡階段之間的矛盾,也決定了數(shù)學(xué)基本思想方法的教學(xué)要以學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平為基礎(chǔ),以“最近發(fā)展區(qū)”為定向,才能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

2.2 用心鉆研課標(biāo)和教材,還原專家的思維活動(dòng)

數(shù)學(xué)家真實(shí)的思維過(guò)程蘊(yùn)含在教材中,但由于學(xué)生的認(rèn)知水平有限,學(xué)生獨(dú)立從教材中揭露數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)過(guò)程是十分困難的.這就要求教師用心鉆研教材和新課程標(biāo)準(zhǔn),對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)有較完整的把握,并結(jié)合專業(yè)理論去重新認(rèn)識(shí)、理解教材,注意到數(shù)學(xué)知識(shí)所包含的基本原理,方能深入挖掘出教材背后所掩蓋的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng),從而通過(guò)思維策略的指導(dǎo)來(lái)調(diào)控學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)程,幫助學(xué)生解決矛盾沖突,總結(jié)思維規(guī)律和方法,潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)向數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)靠近,理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和方法分析和解決問題.

2.3 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

由于中學(xué)生的年齡特征以及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制,學(xué)生在解答問題以后,往往缺乏對(duì)解題過(guò)程的反思,不對(duì)自己的思維過(guò)程進(jìn)行提煉、概括,為解題而解題,因而解題僅停留在具體經(jīng)驗(yàn)方法的水平上.如果不對(duì)解題的具體方法進(jìn)行提煉、概括,那么它的適用性就很小,不易產(chǎn)生遷移,不利于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)靈活性和層次性的提高.因此在學(xué)生解題以后,教師必須引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己已有的解題經(jīng)驗(yàn),回顧整理解題思路,從中歸納概括出一般的、具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想方法.在教師引導(dǎo)下,學(xué)生有層次地對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括,使數(shù)學(xué)思維由個(gè)別推廣至一般,將解題提高到數(shù)學(xué)基本思想的熏陶、數(shù)學(xué)基本方法的訓(xùn)練的層次,這樣不僅使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知不斷豐富和深刻,而且有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升.

2.4 努力學(xué)會(huì)稚化思維,實(shí)現(xiàn)思維的聯(lián)通

由于教師與學(xué)生在年齡、思維方式、經(jīng)驗(yàn)豐富程度等方面的差異,教師與學(xué)生在數(shù)學(xué)理解上往往存在較大鴻溝.教師如何能跨越這一鴻溝,在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧的過(guò)程中,準(zhǔn)確地抓住學(xué)生數(shù)學(xué)思維的盲點(diǎn)和痛點(diǎn),從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的內(nèi)化過(guò)程更為自然活躍? 關(guān)鍵是教師在啟發(fā)引導(dǎo)時(shí),要學(xué)會(huì)稚化思維,即模擬學(xué)生的思維方式去分析、思考問題,這樣才能明確認(rèn)識(shí)學(xué)生在思路尋求的困惑和障礙.然后,教師再以學(xué)生的身份展示自然真實(shí)的思維過(guò)程,努力揭示對(duì)方法的思考和選擇過(guò)程,特別重視對(duì)歧途的剖析.如此,教師方能更好地引導(dǎo)學(xué)生搭建數(shù)學(xué)問題的橋梁,促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化,實(shí)現(xiàn)教師、學(xué)生與數(shù)學(xué)家之間思維的“聯(lián)通”.