徐 林，黃思亮，李世玲，李映華

(中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所，四川綿陽(yáng) 621900)

0 引言

在某探空火箭試驗(yàn)任務(wù)中，為確保良好的外彈道測(cè)量及載荷試驗(yàn)條件，要求對(duì)彈頭落點(diǎn)位置及彈道傾角散布進(jìn)行有效控制并盡可能提升落地速度。同時(shí)，為適應(yīng)快速發(fā)射、長(zhǎng)期貯存以及低成本化的研制需求，該探空火箭采用了全固體動(dòng)力、無(wú)推力終止系統(tǒng)以及簡(jiǎn)化的二子級(jí)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案。在此條件下，如何設(shè)計(jì)可行的制導(dǎo)控制方案成為飛控系統(tǒng)需要解決的重要問(wèn)題。

針對(duì)固體火箭的耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)控制問(wèn)題，姿態(tài)機(jī)動(dòng)能量管理[1-2]、傾角迭代閉路制導(dǎo)[1,3-4]、零射程線制導(dǎo)[5-6]是目前主要的解決方法。文獻(xiàn)[1]提出了在閉路制導(dǎo)前通過(guò)改變姿態(tài)角進(jìn)行部分能量耗散，在閉路制導(dǎo)段通過(guò)調(diào)整速度傾角約束適應(yīng)剩余隨機(jī)多余能量的混合制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上提出了能量耗散效率更高的姿態(tài)角變化模型，降低了導(dǎo)彈姿態(tài)角速度。文獻(xiàn)[3]提出了利用加速度表測(cè)量結(jié)果對(duì)耗盡關(guān)機(jī)時(shí)間進(jìn)行預(yù)估，并在常姿態(tài)導(dǎo)引段調(diào)整傾角進(jìn)行關(guān)機(jī)時(shí)間偏差修正的方法。文獻(xiàn)[4]對(duì)速度傾角的迭代計(jì)算方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)在實(shí)時(shí)速度的基礎(chǔ)上疊加合適的速度增加量，提升了迭代收斂速度并降低了控制系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤誤差造成的落點(diǎn)偏差。文獻(xiàn)[5]建立了考慮地球旋轉(zhuǎn)的零射程線制導(dǎo)法計(jì)算模型，并通過(guò)導(dǎo)彈末修級(jí)標(biāo)準(zhǔn)程序設(shè)計(jì)、多頭分導(dǎo)方案設(shè)計(jì)等算例驗(yàn)證了該制導(dǎo)方法的有效性。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了對(duì)關(guān)機(jī)時(shí)間變化不敏感的零射程線導(dǎo)引律和末速精調(diào)導(dǎo)引律，提高了耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)方法的精度。這些方法對(duì)于落點(diǎn)精度的控制是有效的，但對(duì)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的要求較高，同時(shí)能量耗散、傾角調(diào)整有悖于提升落點(diǎn)速度以及控制彈道傾角散布的需求，無(wú)法應(yīng)用于文中需要研究的探空火箭制導(dǎo)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[7-8]分別通過(guò)二級(jí)姿態(tài)角和點(diǎn)火時(shí)刻的自適應(yīng)調(diào)整，減小了探空火箭彈道參數(shù)散布，但所采用的調(diào)整策略均屬基于蒙特卡洛打靶統(tǒng)計(jì)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)方法，難以實(shí)現(xiàn)高精度多約束控制目標(biāo)。文獻(xiàn)[9-10]將發(fā)動(dòng)機(jī)持續(xù)助推對(duì)軌道參數(shù)的影響等效為脈沖瞬時(shí)矢量，推導(dǎo)出了一種基于定軸飛行的定點(diǎn)制導(dǎo)算法(PA)，解決了多級(jí)固體運(yùn)載火箭的入軌控制問(wèn)題。該方法的本質(zhì)是通過(guò)調(diào)整級(jí)間滑行時(shí)間、發(fā)動(dòng)機(jī)定向推力方向來(lái)分別適應(yīng)目標(biāo)軌道位置及速度約束，但對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)預(yù)示推力精度有較高要求，同時(shí)缺乏對(duì)點(diǎn)火后干擾因素(發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏斜、導(dǎo)航姿態(tài)角誤差)的修正能力。文中將二級(jí)姿態(tài)角和點(diǎn)火時(shí)刻同時(shí)作為控制變量，設(shè)計(jì)了一種新的閉路制導(dǎo)與點(diǎn)火時(shí)刻自適應(yīng)調(diào)整相結(jié)合的制導(dǎo)方法，為耗盡關(guān)機(jī)、姿控能力以及速度約束下的探空火箭落點(diǎn)傾角和位置散布控制問(wèn)題提供了可行的解決途徑。

1 制導(dǎo)方案

探空火箭為二級(jí)固體火箭，一級(jí)助推段在大氣層內(nèi)按預(yù)定程序和橫法向?qū)бw行，二級(jí)在真空段飛行并完成助推加速，最終以慣性方式再入。由于一級(jí)助推段制導(dǎo)方法限制以及氣動(dòng)、氣象、推力等干擾組合影響，一級(jí)飛行彈道將產(chǎn)生較大散布，如何修正或者適應(yīng)這些偏差以實(shí)現(xiàn)按預(yù)定傾角飛抵預(yù)定落點(diǎn)便是二級(jí)制導(dǎo)需要解決的問(wèn)題。

為便于后續(xù)制導(dǎo)方案闡述及算法推導(dǎo)，對(duì)問(wèn)題簡(jiǎn)化處理如下：

1)將地球視為勻質(zhì)圓球，暫不考慮地球形狀及質(zhì)量分布不均引起的引力攝動(dòng)；

2)暫不考慮地球旋轉(zhuǎn)引起的慣性力(離心慣性力、哥氏慣性力)對(duì)彈道的影響；

3)暫不考慮再入空氣動(dòng)力影響。

需要說(shuō)明的是，地球引力攝動(dòng)、自轉(zhuǎn)引起的慣性力以及再入空氣動(dòng)力因素對(duì)彈道的影響并不可忽略?？紤]到探空火箭射程、射向相對(duì)固定，再入彈道傾角和飛行時(shí)間散布不大，上述簡(jiǎn)化處理所造成的彈道偏差可近似認(rèn)為是系統(tǒng)性誤差，并通過(guò)引入虛擬目標(biāo)對(duì)真實(shí)目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)修正的方式予以補(bǔ)償。

在上述假設(shè)下，探空火箭二級(jí)助推前后均沿繞地球的橢圓彈道飛行，如圖1所示。為便于闡述，下文直接稱二級(jí)助推前的慣性飛行橢圓彈道為一級(jí)橢圓彈道，稱期望的二級(jí)助推后慣性飛行橢圓彈道為二級(jí)期望橢圓彈道。其中，一級(jí)橢圓彈道參數(shù)由火箭出大氣層后的狀態(tài)決定，二級(jí)期望橢圓彈道的參數(shù)可在給定虛擬目標(biāo)點(diǎn)處的位置、速度后確定。因此，該探空火箭的二級(jí)制導(dǎo)問(wèn)題可以視為兩條已知橢圓彈道間的轉(zhuǎn)移問(wèn)題。如果通過(guò)二級(jí)制導(dǎo)飛行恰好能夠從一級(jí)橢圓彈道轉(zhuǎn)移到二級(jí)期望橢圓彈道，則理論上即可精確實(shí)現(xiàn)探空火箭的落點(diǎn)位置及傾角控制目標(biāo)。

圖1 探空火箭彈道示意圖

根據(jù)圖1，在二級(jí)耗盡關(guān)機(jī)、位置增量不可調(diào)節(jié)的前提下，為了實(shí)現(xiàn)從一級(jí)橢圓彈道到二級(jí)期望橢圓彈道的轉(zhuǎn)移，二級(jí)點(diǎn)火的位置會(huì)受到限制，合理的二級(jí)點(diǎn)火位置需要根據(jù)一級(jí)彈道偏差情況具體確定。一種簡(jiǎn)單可行的方案是，當(dāng)兩條慣性飛行橢圓彈道相交或者二者的距離減小到一定程度時(shí)，給出二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火指令。此時(shí)，火箭位置已在期望的二級(jí)橢圓彈道附近，但飛行速度還遠(yuǎn)小于期望值。又由于二級(jí)期望橢圓彈道上各點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)均是確定的，因此可采用經(jīng)典的閉路制導(dǎo)方法進(jìn)行二級(jí)助推過(guò)程中的導(dǎo)引，使火箭飛行速度沿待增速度方向快速增加，直至耗盡關(guān)機(jī)。

2 二級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻的確定

如圖2所示，M點(diǎn)為虛擬目標(biāo)，火箭飛出大氣層后在K點(diǎn)給出二級(jí)點(diǎn)火指令，K點(diǎn)與地心的連線同二級(jí)期望橢圓彈道相交于N點(diǎn)，a為二級(jí)期望橢圓彈道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，ξM，ξN分別為M點(diǎn)和N點(diǎn)的真遠(yuǎn)點(diǎn)角。rM，rN，rK分別為M點(diǎn)、N點(diǎn)以及K點(diǎn)的地心距。根據(jù)制導(dǎo)方案，可以將N點(diǎn)與K點(diǎn)之間的距離作為二級(jí)自適應(yīng)點(diǎn)火的判斷條件。為此，首先需要獲得rK，rN的數(shù)值。

圖2 二級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻確定示意圖

K點(diǎn)地心距rK及M點(diǎn)地心距rM計(jì)算公式為：

(1)

(2)

其中，(R0x,R0y,R0z)為發(fā)射點(diǎn)地心矢徑在發(fā)射坐標(biāo)系下的分量;(XK,YK,ZK)為K點(diǎn)在發(fā)射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，通過(guò)組合導(dǎo)航系統(tǒng)獲得;(XM,YM,ZM)為M點(diǎn)在發(fā)射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，在真實(shí)目標(biāo)坐標(biāo)基礎(chǔ)上疊加系統(tǒng)性偏差修正量后獲得。

利用K點(diǎn)、M點(diǎn)的位置坐標(biāo)和地心距可以求出兩點(diǎn)間的射程角：

(3)

給定M點(diǎn)的速度大小VM和速度傾角ΘM，則二級(jí)期望橢圓彈道參數(shù)可確定為：

(4)

(5)

M點(diǎn)處的真遠(yuǎn)點(diǎn)角為：

(6)

N點(diǎn)處的真遠(yuǎn)點(diǎn)角為：

ξN=ξM-βKM

(7)

利用真遠(yuǎn)點(diǎn)角ξN、半通徑P、偏心率e，即可求出N點(diǎn)處的地心距：

(8)

假設(shè)不進(jìn)行二級(jí)點(diǎn)火，探空火箭一級(jí)關(guān)機(jī)后的飛行高度將先隨時(shí)間增加，到達(dá)頂點(diǎn)后再逐漸減小，因此在探空火箭出大氣層后的無(wú)動(dòng)力滑行飛行過(guò)程中，必然存在某個(gè)時(shí)刻滿足rN=rK或者rN-rK取得極小值。于是二級(jí)點(diǎn)火條件可表示為：

rN-rK≤ε

(9)

式中參數(shù)ε代表滿足點(diǎn)火條件的最小距離。對(duì)于極端偏差條件下一級(jí)橢圓彈道高度過(guò)低可能導(dǎo)致的式(9)始終無(wú)法滿足的情況，則rN-rK取得極小值的時(shí)刻即為二級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻。由于二級(jí)閉路制導(dǎo)不可能瞬時(shí)改變速度方向，若ε<0將會(huì)出現(xiàn)火箭高度超過(guò)期望彈道的情況。為盡可能使彈道轉(zhuǎn)移過(guò)程平穩(wěn)，ε應(yīng)為一定大小的正數(shù)，具體數(shù)值依據(jù)二級(jí)視位置增量等參數(shù)確定，亦可適當(dāng)減小期望彈道上虛擬目標(biāo)點(diǎn)處的傾角約束值。

3 二級(jí)閉路制導(dǎo)

二級(jí)閉路制導(dǎo)的主要目標(biāo)是通過(guò)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向，使火箭飛行速度沿待增速度方向增加，最終使耗盡關(guān)機(jī)時(shí)的位置、速度大小和方向均接近期望的二級(jí)橢圓彈道。根據(jù)橢圓彈道理論，為具體確定經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的彈道參數(shù)，只需再給定其中一點(diǎn)的速度大小、速度方向或者兩點(diǎn)間的飛行時(shí)間?？紤]到探空火箭無(wú)推力終止能力，采用約束速度方向、飛行時(shí)間的方式將會(huì)遇到速度大小難以控制的問(wèn)題。又由于制導(dǎo)飛行過(guò)程中火箭速度變化劇烈，按給定火箭實(shí)時(shí)位置、速度大小的方式進(jìn)行制導(dǎo)會(huì)導(dǎo)致需要速度方向持續(xù)改變，不利于簡(jiǎn)化的姿態(tài)控制系統(tǒng)控制實(shí)現(xiàn)。因此，采用一種新的直接給定虛擬目標(biāo)點(diǎn)速度大小的方式進(jìn)行閉路制導(dǎo)?？紤]到不同干擾條件下的火箭飛行速度必然存在差異，為保證關(guān)機(jī)點(diǎn)附近制導(dǎo)指令始終平穩(wěn)，虛擬目標(biāo)點(diǎn)處的速度大小參照最大可能速度進(jìn)行設(shè)置。

設(shè)二級(jí)閉路制導(dǎo)虛擬目標(biāo)點(diǎn)M處的速度大小為VM，地心距為rM，火箭實(shí)時(shí)位置K點(diǎn)處的地心距為rK，根據(jù)能量守恒原理，可得火箭實(shí)時(shí)位置處的需要速度大小為：

(10)

根據(jù)橢圓彈道理論，K點(diǎn)處需要速度傾角θKr滿足：

2rMtan2(βKM/2)tan2θKr+2vKrKtan(βKM/2)tanθKr+

tan2(βKM/2)(2rM-vK(rK+rM))+vK(rM-rK)=0

(11)

(12)

該結(jié)果中的兩個(gè)傾角數(shù)值分別代表了高、低彈道?？紤]到探空火箭二級(jí)飛行射程較小且需求的落點(diǎn)傾角絕對(duì)值也較小，應(yīng)選擇按低彈道飛行，因此有：

(13)

將需要速度分解至發(fā)射坐標(biāo)系，可得：

(14)

為計(jì)算側(cè)向需要速度，可假設(shè)火箭二級(jí)在K點(diǎn)處關(guān)機(jī)，經(jīng)過(guò)時(shí)間TKM后側(cè)向位置坐標(biāo)恰好為ZM，于是有：

(15)

式中TKM為從K點(diǎn)到M點(diǎn)的飛行時(shí)間估計(jì)值。閉路制導(dǎo)計(jì)算公式為：

(16)

其中P，e，ξK，ξM根據(jù)式(4)～式(7)計(jì)算。

設(shè)火箭在K點(diǎn)處的實(shí)際速度為(VxK,VyK,VzK)，則K點(diǎn)處的增益速度為：

(17)

為使火箭飛行速度盡快接近需要速度，火箭推力方向應(yīng)與增益速度一致，于是俯仰、偏航導(dǎo)引指令為：

(18)

由上述指令計(jì)算過(guò)程可知，每個(gè)周期的制導(dǎo)解算一次完成，不需任何迭代，也不含專門(mén)針對(duì)耗盡關(guān)機(jī)的能量耗散處理。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 仿真條件

探空火箭發(fā)射點(diǎn)海拔高度為1 000 m，經(jīng)度為100°，地理緯度為40°，射向北偏西45°，理論落點(diǎn)在發(fā)射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(500 000 m,-19 000 m,0 m)，期望的落點(diǎn)彈道傾角為-35°。為綜合補(bǔ)償制導(dǎo)模型忽略慣性力、大氣阻力等因素對(duì)落點(diǎn)位置的影響，虛擬目標(biāo)點(diǎn)相對(duì)于理想落點(diǎn)的坐標(biāo)修正量取為(-1 350 m,0 m,-750 m)。二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻判斷條件為rN-rK≤0，虛擬目標(biāo)點(diǎn)處的傾角約束取-31.6°(考慮再入減速對(duì)彈道傾角的影響以及二級(jí)助推前后彈道平穩(wěn)過(guò)渡兩重因素)。閉路制導(dǎo)虛擬目標(biāo)點(diǎn)處的速度大小設(shè)置為標(biāo)況下不計(jì)再入大氣阻力影響的彈頭落地速度200 m/s。采用考慮地球自轉(zhuǎn)和引力J2項(xiàng)攝動(dòng)的六自由度仿真模型，在表1所示的主要參數(shù)散布條件下，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛隨機(jī)打靶仿真。

表1 蒙特卡洛仿真主要參數(shù)散布

4.2 仿真結(jié)果

圖3～圖4分別繪出了前50次仿真二級(jí)點(diǎn)火前后彈道散布隨射程的變化情況。受多重干擾組合影響，一級(jí)助推結(jié)束后的高度、側(cè)偏散布呈逐步增大趨勢(shì)，在二級(jí)點(diǎn)火前高度散布超過(guò)10 km，側(cè)偏散布超過(guò)3 km。經(jīng)過(guò)二級(jí)制導(dǎo)飛行后，高度、側(cè)偏散布呈逐漸縮小的趨勢(shì)，表明文中的制導(dǎo)控制方法能夠適應(yīng)火箭飛行過(guò)程中的各種干擾影響，有效修正彈道偏差。由于仿真時(shí)是以一級(jí)橢圓彈道與理想二級(jí)橢圓彈道的交點(diǎn)為二級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻，因此二級(jí)點(diǎn)火位置在彈道縱平面內(nèi)沿期望彈道分布仿真結(jié)果與設(shè)計(jì)相符。

圖3 二級(jí)點(diǎn)火前后的高度散布變化

圖4 二級(jí)點(diǎn)火前后的側(cè)偏散布變化

圖5～圖6分別繪出了前50次仿真二級(jí)閉路制導(dǎo)期間姿態(tài)角指令隨時(shí)間的變化情況。可見(jiàn)從二級(jí)點(diǎn)火到耗盡關(guān)機(jī)，俯仰角指令變化量小于8°，偏航角指令變化量小于4°，制導(dǎo)指令總體平穩(wěn)，有利于簡(jiǎn)化的姿態(tài)控制系統(tǒng)控制實(shí)現(xiàn)。

圖5 二級(jí)閉路制導(dǎo)俯仰角指令

圖6 二級(jí)閉路制導(dǎo)偏航角指令

圖7～圖8分別給出了全部1 000次仿真的落點(diǎn)位置及彈道傾角散布。仿真落點(diǎn)彈道參數(shù)基本呈以期望值為中心的對(duì)稱分布，其中位置偏差小于2.2 km，彈道傾角偏差小于0.5°，火箭落點(diǎn)位置及彈道傾角散布控制效果良好。

圖7 落點(diǎn)位置散布

圖8 落點(diǎn)彈道傾角散布

5 結(jié)論

提出了一種基于二級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻控制與閉路制導(dǎo)相結(jié)合的探空火箭落點(diǎn)位置及傾角散布控制方法。該方法依據(jù)一級(jí)實(shí)飛橢圓彈道與二級(jí)期望橢圓彈道之間的相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行二級(jí)點(diǎn)火時(shí)刻自適應(yīng)控制，將地球自轉(zhuǎn)等因素對(duì)彈道的影響綜合視為系統(tǒng)性誤差通過(guò)虛擬目標(biāo)進(jìn)行補(bǔ)償，并采用給定較大虛擬目標(biāo)速度的方式進(jìn)行二級(jí)閉路制導(dǎo)。仿真結(jié)果表明：該制導(dǎo)方法簡(jiǎn)單、指令平穩(wěn)、無(wú)需迭代計(jì)算和能量耗散，能夠在耗盡關(guān)機(jī)的條件下較好克服火箭飛行過(guò)程中的各種干擾影響，實(shí)現(xiàn)較高精度的落點(diǎn)位置及彈道傾角控制，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。