何 洋

(滁州城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000)

相關(guān)學(xué)者曾就微分方程組與微分差分方程組的穩(wěn)定性逼近問題進(jìn)行研究[1-2]，在此基礎(chǔ)上，有關(guān)學(xué)者研究常微分方程組與一類中立型微分差分方程組的穩(wěn)定性逼近問題[3-5]，研究結(jié)果顯示方程組漸近穩(wěn)定性逼近過程中，對帶有兩個(gè)滯量(c)以上的一類中立型微分方程解的研究更不多見，滯量存在充分必要條件.以上研究基礎(chǔ)均為方程組內(nèi)常數(shù)相加所得結(jié)果小于0，對于方程組內(nèi)常數(shù)相加所得結(jié)果等于0，即第一臨界條件下方程組漸近穩(wěn)定性逼近過程中滯量的充分必要條件研究較為鮮見[6].因此，用常微分方程組逼近一類中立型微分差分方程組的方法，由兩種不同角度出發(fā)研究滯量的充分必要條件.

1 常微分方程組逼近中立型微分差分方程組方法

1.1 常微分方程組與中立型微分差分方程組間的穩(wěn)定性逼近

二階中立型時(shí)滯微分方程

{r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)r2m+1}′+q(t)x(g(t))=0,t≥t0

(1)

的有界解和所有解振動的充分條件,其中P(t)為非負(fù)整數(shù)0

定理A若g(t)≤t,g″(t)≥0,且以下條件成立：

(2)

(3)

則方程(1)的所有有界解是振動的.

定理B假設(shè)g(t)≥t,p′(t)≤0,0

(4)

成立,則方程(1)振動.

假設(shè)，00是兩個(gè)正奇數(shù)之比,則方程:

(5)

的每個(gè)解當(dāng)t→∞的時(shí)趨于常數(shù)(滯量用c表示).

此時(shí)，將一類中立型時(shí)滯微分方程定義為：

(6)

在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建一類非線性中立型時(shí)滯微分方程為：

(7)

的漸近性,證明了 定理B如果:

(1)0≤c<1,τ>0；

(3)當(dāng)x≤y，時(shí)F(t,x,y)≥0；

(4)當(dāng)x>y，時(shí)F(t,x,y)≤0；

(5)對R中的任一緊區(qū)間I,存在L=L(I)≥0,使得:

|F(t,x,y)|≤L|x-y|,(x,y∈I,t≥0).

(8)

在此前提下，構(gòu)建新的一類中立型微分差分方程組為：

(9)

構(gòu)建其相應(yīng)的常微分方程組為：

(10)

式(9)與式(10)內(nèi)，a、b、c、t均為常數(shù)，r表示滯量.

在a值與b值相加所得結(jié)果小于0的條件下：

(11)

由式(11)得到在且僅在0≤r<Δ(a,b,c)的條件下，式(9)所示的一類中立型微分差分方程組的零解處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)，也就是式(6)所示的常微分方程組的零解漸進(jìn)穩(wěn)定性能夠逼近式(9)所示的一類中立型微分差分方程組.

證明：

設(shè)定穩(wěn)定算子和滿足式(5)所示的一類中立型微分差分方程組零解為漸近穩(wěn)定的充分必要條件如式(12)和式(13)所示：

Dφ=φ(0)+cφ(-r),(|c|<1) ,

(12)

λeλr+cλ-acλr-b=0.

(13)

(14)

(1)在a絕對值大于b絕對值的條件下，設(shè)定A、B、C、D的值分別為1、-ar、c和-br，通過相同的運(yùn)算過程能夠得到，在0≤r<+∞條件下，式(13)所示的特征方程的根都存在負(fù)實(shí)部，也就是式(9)所示的一類中立型微分差分方程組的零解處于漸近穩(wěn)定狀態(tài).

(2)在a絕對值小于b絕對值的條件下，設(shè)定A的平方值大于C的平方值、B的平方值小于D的平方值、A與C的和同B與D的和之間的乘積大于0，且K2=K3，通過求解K2=K3的值能夠獲取r取值范圍.

在0<τi<π(i=2,3)的條件下，τ2與τ3相加所得結(jié)果與π一致，根據(jù)K2=K3能夠得到：

(15)

設(shè)定：

(16)

(17)

基于式(15)和式(16)可將式(14)轉(zhuǎn)化為：

(18)

求解式(18)能夠得到：

(19)

轉(zhuǎn)換式(19)得到：

(20)

通過分析得到式(20)內(nèi)右側(cè)不等式成立[8]，求解左側(cè)不等式得到r符合：

(21)

針對式(13)所示的特征方程，設(shè)定A、B、C、D的值分別為1、-a、c和-b，將所設(shè)定各參數(shù)值帶入式(21)能夠得到：

(22)

根據(jù)τ2=π-τ3可得：

(23)

(3)在a絕對值等于b絕對值的條件下，a值與b值相加所得結(jié)果小于0.因此a值與b值相等，且a值小于0，在此條件下，式(13)所示的特征方程轉(zhuǎn)換為：

λeλr+aeλr+cλ-a=0.

(24)

若式(24)所示的特征方程存在純虛根[9]：λ=iy，y∈R，將其帶入式(24)所示的特征方程內(nèi)得到y(tǒng)值為0，也就是λ值為0，同時(shí)又可知λ值為0不是根；

若式(24)所示的特征方程存在正實(shí)部根[9]：λ=α+iβ，α>0，將其帶入式(24)所示的特征方程內(nèi)得到：

eλr|α-a+iβ|=|a-ca-i?β|.

(25)

考慮a值大于0，c的絕對值和a值分別小于1和0，因此能夠得到：

e2αr(a2+a2+β2-2αa)>a2+c2α2+c2β2-2acα.

(26)

由于式(26)具有矛盾性，因此在a絕對值等于b絕對值的條件下，式(9)所示的中立型微分差分方程組的特征方程均存在負(fù)實(shí)部，也就是在0

通過以上過程能夠得到a值與b值相加所得結(jié)果小于0的條件下，滯量符合充分必要條件時(shí)常微分方程組的漸近穩(wěn)定性能夠逼近中立型微分差分方程組.但在a值與b值相加所得結(jié)果為0的條件下，也就是第一臨界條件下[11]，常微分方程組的漸近穩(wěn)定性逼近中立型微分差分方程組時(shí)，滯量的充分必要條件估計(jì)尚不明確，因此，下文在相關(guān)學(xué)者研究成果基礎(chǔ)上，研究第一臨界條件下常微分方程組的漸近穩(wěn)定性逼近一類中立型微分差分方程組時(shí)，滯量需符合的充分必要條件.

1.2 第一臨界條件下滯量的充分必要條件

在a值與b值相加所得結(jié)果為0的條件下，設(shè)定：

(27)

由此得到在且僅在0≤r<Δ(a,c)的條件下，式(1)所示的一類中立型微分差分方程組的零解處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)，也就是式(10)所示的常微分方程組的零解漸進(jìn)穩(wěn)定性能夠逼近式(9)所示的中立型微分差分方程組.

證明：

1.充分條件證明

r值為0條件下的充分條件顯而易見[12]，在此無需特意描述.因此，以下由a值小于等于0和a值大于0兩種條件下分別進(jìn)行滯量的充分條件證明.

(1)在a值小于等于0的條件下，由于全部r∈(0,+∞)，1-c-ar≠0，因此得到特征函數(shù)f(λ,eλr)的一個(gè)單零點(diǎn)可表示為λ0=λ0(r)≡0，現(xiàn)證明其剩余零點(diǎn)均處于開左半復(fù)平面.

利用λi=λi(r),i=1,2,…表示特征函數(shù)F(λ,eλr)的零點(diǎn)，通過分析得到其包含無限小的正數(shù)t0，通過t0可令全部r∈(0,t0)的零點(diǎn)均處于開左半復(fù)平面.

利用式(28)表示特征函數(shù)F(λ,eλr)的輔助函數(shù)：

(28)

簡化式(28)后基于Routh Hurwitz理論得到[13]，針對全部小于0的σ，簡化后的式(28)全部根均處于開左半復(fù)平面.由此能夠得到，在r∈(0,+∞)的條件下，F(xiàn)(λ,eλr)的零點(diǎn)均處于開左半復(fù)平面.這一結(jié)果說明特征函數(shù)除一單零點(diǎn)處于λ0=λ0(r)≡0外，剩余零點(diǎn)均處于開左半復(fù)平面，即式(5)所示的一類中立型微分差分方程組的零解均處于漸近穩(wěn)定狀態(tài).

(2)在a值大于0的條件下，特征函數(shù)包含無限小的正數(shù)t0，通過t0可令特征函數(shù)針對全部r∈(0,t0)的根均處于開左半復(fù)平面.

2.必要條件證明

a值小于等于0必要條件顯而易見，在此無需特意描述.因此以下由a值大于0的角度出發(fā)進(jìn)行滯量的必要條件證明.

2 結(jié) 論

用常微分方程組逼近一類中立型微分差分方程組的方法，從中立型微分差分方程組內(nèi)常數(shù)相加所得結(jié)果小于0和等于0兩種條件下，分別研究常微分方程組的零解漸進(jìn)穩(wěn)定性能夠逼近所示的一類中立型微分差分方程組時(shí)滯量的充分必要條件.所得結(jié)果顯示在常數(shù)相加所得結(jié)果小于0的條件下，特征方程均存在負(fù)實(shí)部；在常數(shù)相加所得結(jié)果等于0的條件下，特征方程的所有根均處于開左半復(fù)平面.