張慶春，張 黎，范曉東

(1.吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022；2.鞍山師范學院 數(shù)學與信息科學學院，遼寧 鞍山 114007)

對整數(shù)值時間序列模型進行參數(shù)估計[5-7]也是統(tǒng)計學者研究的熱點問題.擬似然(Quasi Likelihood,QL)方法是由Wedderburn (1974)[8]提出的一種非參數(shù)估計方法,可以看作是最小二乘估計法的一種推廣.擬似然方法最大的優(yōu)勢在于：不需要借助分布信息,只需要在二階矩存在的條件下,就可以對參數(shù)進行類似于 “似然” 的推斷,并且擬似然估計比極大似然估計具有穩(wěn)健性.正因如此,擬似然方法一經(jīng)提出便受到廣泛關(guān)注,先后被學者們應用于包括整數(shù)值時間序列模型在內(nèi)的很多模型中.本文基于推廣的負二項稀疏算子利用預設(shè)新息過程分布法構(gòu)造一元 INAR(1) 模型并用擬似然方法估計該模型的未知參數(shù)，具有一定的創(chuàng)新性和實際應用價值.

1模型及其性質(zhì)

1.1 ENBINAR(1)模型

把滿足迭代方程(1)的過程稱為基于推廣的負二項稀疏算子的INAR(1)過程,記作ENBINAR(1)過程.

Xt=α*Xt-1+εt,t∈Z，

(1)

其中“*”表示推廣的負二項稀疏算子，其定義如下：

(2)

1.2 ENBINAR(1)模型性質(zhì)

設(shè){Xt)是由(1)式定義的一個ENBINAR(1)過程，其條件矩和矩分別為：

E(Xt|Xt-1)=α(Xt-1+1)+λ,

(3)

Var(Xt|Xt-1)=(1+α)α(Xt-1+1)+Vλ,

(4)

(5)

(6)

2 參數(shù)估計

2.1 擬似然估計(MQL)

設(shè)θ=(α(1+α),Vλ)T，模型的未知參數(shù)是β=(α,λ)T，記(4)式的一步條件方差為Wθ=(1+α)α(Xt-1+1)+Vλ.根據(jù)擬似然方法(Wedderbrun，1974)可以建立下面的標準估計方程：

(7)

首先設(shè)θ值已知，若θ值未知則利用其他方法估計出θ的值，帶入上面的方程組得到修正的擬似然估計方程組，若該方程組的解存在則可以解得未知數(shù)β的擬似然估計值為：

(8)

2.2 條件最小二乘估計(CLS)

利用條件最小二乘估計法可以得到未知參數(shù)β的估計值為:

(9)

2.3 條件極大似然估計(CML)

先給出模型的條件概率密度如下:

(10)

(11)

3 數(shù)值模擬

表1 Geo-ENBINAR(1)模型的CLS、MQL和MLE估計結(jié)果

從表1可以看出，隨著樣本量的增大，3種估計法的經(jīng)驗誤差和標準誤差都在減小，說明3種估計量都具有一致性，都可以得到可靠的估計結(jié)果；MQL估計的經(jīng)驗誤差和標準誤差比最小二乘估計的小，但沒有極大似然估計法的經(jīng)驗誤差和標準誤差小，說明在非參數(shù)估計中，擬似然估計優(yōu)于最小二乘估計，但稍遜于極大似然估計.

4 實例分析

為闡明模型的應用，我們選用匹斯堡警察署所統(tǒng)計的每月毒品犯罪案件數(shù)量的數(shù)據(jù)集，時間為1990年1月至2011年12月，共計264個月度觀測值.下面判斷該序列的平穩(wěn)性并建立模型.利用R軟件畫出該序列的時序圖，ACF圖和PACF，見圖1.

從圖1中的時序圖可以看到該序列大致是平穩(wěn)的，并且從ACF圖和PACF圖可以看出，ACF呈拖尾狀，PACF為一階截尾，一階偏自相關(guān)系數(shù)為0.45.初步判斷模型為INAR(1)類型.

number(a)時序圖

下面考慮新息過程分別為泊松分布和幾何分布的ENBINAR(1)模型，分別記為P-ENBINAR(1)模型和Geo-ENBINAR(1)模型，并與基于二項稀疏算子，新息過程分別為泊松分布和幾何分布的兩個BINAR(1)模型，分別記為P-BINAR(1)模型和Geo-BINAR(1)模型，相比較得出最優(yōu)模型.利用MQL和MLE兩種方法來對4種模型中的參數(shù)進行估計，結(jié)果見表2.

表2 毒品犯罪數(shù)據(jù)的模型及估計結(jié)果

通過對比，4個模型中AIC值最小的是Geo-ENBINAR(1)模型，即基于推廣的負二項稀疏算子的幾何新息過程的INAR(1)模型是更適合該毒品犯罪數(shù)據(jù)的模型.

5 結(jié) 論

基于推廣的負二項稀疏算子建立整數(shù)值一階自回歸(INAR(1))模型，推導出了模型概率性質(zhì)，對模型的未知參數(shù)進行擬似然推斷，得到了未知參數(shù)的修正的擬似然估計量，同時也針對模型中的未知參數(shù)給出了最小二乘和極大似然估計方法，通過數(shù)值模擬對模型的估計方法的有效性進行了評估.模擬結(jié)果表明，隨著樣本量的增大，3種估計法的估計誤差都在減小，說明3種估計量都可靠，修正的擬似然估計的誤差比最小二乘估計的小，但沒有極大似然估計法的誤差小，說明在非參數(shù)估計中，擬似然估計具有很大優(yōu)勢，但稍微劣于參數(shù)估計法的極大似然估計.通過給出實際數(shù)據(jù)展示了模型的實用性，通過對比4個模型的AIC值，得出更適合數(shù)據(jù)的模型是基于推廣的負二項稀疏算子的幾何新息過程的INAR(1)模型.