周 迅 唐耀明 李建中，* 徐艷珊

（1.同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海 200092；2.云南功東高速公路建設(shè)指揮部，昆明 650000）

0 引言

近年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，我國(guó)西南地區(qū)建立了大量橋梁。由于西南地區(qū)高山峽谷眾多，超過(guò)40%的橋梁結(jié)構(gòu)墩高大于40 m，部分墩高超過(guò)了100 m。而西南地區(qū)地震頻發(fā)，2008 年汶川地震里氏震級(jí)達(dá)8.0 級(jí)、2013 年雅安地震里氏震級(jí)達(dá)7.0 級(jí)［1］。橋梁結(jié)構(gòu)作為交通網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)，在地震發(fā)生后仍應(yīng)當(dāng)具有一定的通行能力以充當(dāng)生命線的角色。我國(guó)橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范要求對(duì)于墩高超過(guò)40 m、墩身在計(jì)算方向第一階振型參與質(zhì)量系數(shù)小于60%且結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性的高墩橋梁應(yīng)作專(zhuān)項(xiàng)研究。因此，需要對(duì)橋梁高墩合理的抗震設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究。

目前常用的地震反應(yīng)計(jì)算分析方法中，非線性時(shí)程分析方法（NLTHA）作為一種通用方法，可以有效地評(píng)估結(jié)構(gòu)的地震需求及能力。但在實(shí)際應(yīng)用中，NLTHA 方法面臨了一些問(wèn)題［2］，如：地震具有隨機(jī)性，若計(jì)算時(shí)輸入的地震時(shí)程數(shù)量較少，計(jì)算得到的結(jié)果具有局限性；計(jì)算結(jié)果對(duì)參數(shù)變化敏感，如Rayleigh 阻尼合理取值對(duì)地震響應(yīng)影響較大；計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。

隨著基于性能的抗震設(shè)計(jì)方法的提出和發(fā)展，一些學(xué)者提出了非線性靜力方法（推覆分析Pushover），非線性靜力方法被ATC-40、FEMA-273等規(guī)范廣泛采用［2］。早期推覆分析方法采用了固定的側(cè)向加載模式，假定結(jié)構(gòu)在地震中主要受一階振型控制，而忽略高階振型的影響；將單調(diào)增加的側(cè)向荷載分布加載于結(jié)構(gòu)上，以此來(lái)估計(jì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。

研究表明［3］，傳統(tǒng)的推覆分析方法主要適用于一階振型起主要貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)。對(duì)于中、低橋墩，由于其橋墩本身質(zhì)量和高階振型貢獻(xiàn)可以忽略，采用推覆分析方法是可行的。對(duì)于高墩，由于其具有截面尺寸大、結(jié)構(gòu)周期長(zhǎng)、墩身質(zhì)量大等特點(diǎn)，計(jì)算時(shí)需要考慮墩身質(zhì)量以及高階振型的影響［1］。

針對(duì)高階振型貢獻(xiàn)這一問(wèn)題，A.K.Chopra 與R.K.Goel［3］提出了基于多模態(tài)的推覆分析方法（MPA），并驗(yàn)證了該方法的廣泛適用性［4-5］。ENRIQUE HERNáNDEZ-MONTES 等［6］針對(duì)MPA方法中可能遇到的結(jié)構(gòu)頂端位移“折返”問(wèn)題［7］，提出了基于能量的多模態(tài)推覆分析，即從能量的角度得到各階振型對(duì)應(yīng)單自由度體系的Dn關(guān)系。

本文首先對(duì)MPA 方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的回顧；其次，對(duì)基于能量的模態(tài)推覆分析（Energy-based Modal Pushover Analysis，EMPA）進(jìn)行介紹；后將EMPA 方法應(yīng)用于90 m 高墩抗震性能評(píng)估，與非線性時(shí)程分析（NLTHA）結(jié)果對(duì)比，以研究其適用性，并對(duì)合理的模態(tài)組合方法提出了建議；最后討論不同高度橋墩采用EMPA 方法進(jìn)行估計(jì)時(shí)，應(yīng)采用的合理模態(tài)數(shù)量。

1 EMPA方法及其在高墩中的應(yīng)用

1.1 EMPA方法介紹

自A.K.Chopra 與R.K.Goel［3］于2002 年提出多模態(tài)推覆分析方法（MPA）后，該方法在房屋建筑結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。對(duì)結(jié)構(gòu)性能需求進(jìn)行估計(jì)時(shí)，MPA 方法采用多模態(tài)的側(cè)向加載模式［3］，即對(duì)結(jié)構(gòu)水平加載對(duì)應(yīng)于各階振型的側(cè)向力

式中：為第n階側(cè)向加載模式；m為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量矩陣；?n為第n階振型向量。

將加載于各節(jié)點(diǎn)，并考慮結(jié)構(gòu)的非線性特性，得到結(jié)構(gòu)底部剪力Vbn-頂端位移urn的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 第n階模態(tài)推覆分析的Vbn-urn關(guān)系Fig.1 Relationship between Vbn and urn from nth-mode pushover analysis

MPA 方法假定結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性后，各階振型間耦合效應(yīng)對(duì)總響應(yīng)的貢獻(xiàn)較?。?］，因而沿用振型分解的方法，得到第n階模態(tài)振動(dòng)方程，如式（2）所示：

其中，ωn、ξn為第n階模態(tài)的頻率及阻尼比；Dn、Ln、Fsn/Ln分別由式（3）—式（5）計(jì)算得到。

式中：ι為元素全為1 的列向量；?rn為第n階振型頂端節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振型坐標(biāo)；Γn為第n階振型的振型參與系數(shù)，可由式（6）計(jì)算得到。

通過(guò)式（3）、式（5），則可由第n階振型的Vbnurn關(guān)系得到關(guān)系如圖2所示。

圖2 第n階模態(tài)推覆分析的FsnLn-Dn關(guān)系及多線性等效Fig.2 Relationship between FsnLn and Dn from nth-mode pushover analysis and its idealization

通過(guò)求解以上非線性單自由度振動(dòng)方程求出Dn(t)，并由式（7）估計(jì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)。

求解得到各階振型峰值響應(yīng)后，A.K.Chopra與R.K.Goel［3］的研究表明，可以采用適用于線性結(jié)構(gòu)的振型組合求解結(jié)構(gòu)的峰值響應(yīng)。相比于傳統(tǒng)的推覆分析方法，MPA 方法考慮多階振型對(duì)結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)的貢獻(xiàn)，特別對(duì)于受高階振型控制明顯的高聳結(jié)構(gòu)、柔性結(jié)構(gòu)有良好的適用性，較好地解決了考慮高階振型效應(yīng)的側(cè)向加載模式問(wèn)題。

但采用MPA 方法時(shí)，在對(duì)結(jié)構(gòu)施加高階振型的側(cè)向力進(jìn)行推倒分析時(shí)，會(huì)出現(xiàn)頂端位移減小甚至變?yōu)樨?fù)的情況，即可能遇到如圖3 所示的“折返”問(wèn)題［8］，得到的關(guān)系是不符合基本的力學(xué)概念，且違反熱力學(xué)定律的。究其原因，結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性后，MPA 方法沿用了結(jié)構(gòu)彈性階段的側(cè)向加載模式。在第2 階推覆過(guò)程中，結(jié)構(gòu)頂端位移的“折返”導(dǎo)致了FsnLn-Dn出現(xiàn)“折返”。

圖3 模態(tài)推覆分析FsnLn-Dn曲線“折返”現(xiàn)象Fig.3 Reversal ofFsnLn-Dn curve encountered in MPA

針對(duì)這一問(wèn)題，ENRIQUE HERNáNDEZMONTES 等提出了基于能量的多模態(tài)推覆分析［6］，即從能量的角度得到某一階振型對(duì)應(yīng)單自由度體系的FsnLn-Dn關(guān)系。結(jié)構(gòu)處于彈性階段時(shí)，側(cè)向荷載輸入結(jié)構(gòu)的能量瞬時(shí)值E為

式中：fTs為恢復(fù)力向量；u為節(jié)點(diǎn)位移向量。對(duì)處于彈性階段的結(jié)構(gòu)，有

式中，k為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。

由振型的正交性，對(duì)應(yīng)于每一階振型的恢復(fù)力向量fsn僅在這一振型的位移un上做功。則彈性階段，第n階中輸入結(jié)構(gòu)的能量瞬時(shí)值En為

基底剪力Vbn則為結(jié)構(gòu)受到的側(cè)向力之和，即

綜合式（10）、式（11），如已知輸入能量En及基底剪力Vbn，則可求得Dn

結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性后，則應(yīng)采用增量形式得到輸入結(jié)構(gòu)的能量瞬時(shí)值ΔEn

則ΔDn為

同時(shí)式（15）的關(guān)系依然存在。

圖4 EMPA方法中Vbn-Dn的建立Fig.4 Vbn-Dn curve obtained from EMPA

相比于MPA 方法，EMPA 方法從能量的角度直接建立基底剪力Vbn和廣義位移Dn之間的關(guān)系，從而由式（15）得到FsnLn-Dn關(guān)系。而非從結(jié)構(gòu)頂端節(jié)點(diǎn)位移的角度，由式（3）得到廣義位移Dn，避免了FsnLn-Dn出現(xiàn)“折返”的現(xiàn)象。

但是，EMPA 方法依然采用了=m?n的加載模式，并在加載過(guò)程中保持不變。因此采用EMPA 方法對(duì)FsnLn-Dn關(guān)系修正，僅僅是對(duì)MPA方法的適用范圍進(jìn)行了推廣。

下面給出EMPA方法的簡(jiǎn)要步驟：

（1）計(jì)算初始處于彈性狀態(tài)的結(jié)構(gòu)自振頻率ωn及振型?n。

（2）將每一階振型對(duì)應(yīng)的側(cè)向加載模式s＊n=m?n施加于結(jié)構(gòu)，直到節(jié)點(diǎn)位移達(dá)到事先規(guī)定的值（常常需要迭代求解），并記錄結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移u及底部剪力Vbn，一般計(jì)算2至3階。

（3）計(jì)算結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移增量，由式（13）計(jì)算得到側(cè)向力所做的功增量ΔEn。

（4）由式（14）計(jì)算ΔDn并累加得到Dn，由此得到Vbn-Dn關(guān)系。

（5）由式（15）得到FsnLn-Dn關(guān)系，并用多段線性函數(shù)擬合。

（6）對(duì)第n階模態(tài)的振動(dòng)方程式（2）進(jìn)行求解，求出Dn(t)。

（7）由式（7）估計(jì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)或通過(guò)振型組合方法得到峰值。

1.2 算例及驗(yàn)證

1.2.1 背景工程

本文以我國(guó)西南地區(qū)某等跨度等墩高連續(xù)梁橋?yàn)槔?，在建模時(shí)將高墩橋梁模型簡(jiǎn)化為等截面單墩模型。單墩計(jì)算模型采用墩底固結(jié)的懸臂直梁，墩身質(zhì)量集中于相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，將與橋墩相鄰跨度為L(zhǎng)的上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量等效為墩頂?shù)募匈|(zhì)量如圖5（a）所示，質(zhì)量?jī)H考慮平動(dòng)。其中，橋墩高度H為90 m，墩身質(zhì)量mi為301.1 t，墩頂附加質(zhì)量M為3 150.6 t；橋墩等效截面尺寸B取9.4 m，壁厚t為1.2 m。

圖5 橋墩計(jì)算原型Fig.5 Prototype of the bridge

1.2.2 計(jì)算模型

有限元計(jì)算采用OpenSees 軟件；橋墩采用基于柔度法的纖維單元進(jìn)行模擬，并考慮到編程的一致性，沿高度方向共分為30 個(gè)單元。其中鋼筋纖維采用雙線性本構(gòu)如圖6（a），初始彈性模量取為206 GPa，鋼筋屈服強(qiáng)度取為400 MPa，屈服后模量與初始彈性模量之比α取0.001。保護(hù)層及核心混凝土纖維采用Kent-Scott-Park 本構(gòu)如圖6（b），不考慮混凝土的抗拉強(qiáng)度，其中保護(hù)層混凝土抗壓強(qiáng)度取26.8 MPa，核心混凝土抗壓強(qiáng)度取為28.5 MPa［9］。

圖6 計(jì)算模型中所采用的本構(gòu)關(guān)系Fig.6 Constitutive relationship in the numerical model

從美國(guó)太平洋地震工程中心的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)中選取選用了7條地震波，各地震波記錄見(jiàn)表1。同時(shí)對(duì)每條地震波進(jìn)行峰值調(diào)整，分別調(diào)整至0.2g、0.4g、0.6g、0.8g。

表1 地震動(dòng)參數(shù)Table 1 Selected ground motion records

1.3 計(jì)算結(jié)果及分析

由特征值分析得到90 m 高墩前三階周期及振型參與質(zhì)量系數(shù)如表2 所示；前三階模態(tài)信息?n及側(cè)向力分布s*n，如圖7所示。

圖7 90 m高墩前三階模態(tài)推覆信息Fig.7 Pushover information of the first three modes of the 90 m high pier

表2 90 m橋墩前三階周期及振型參與質(zhì)量系數(shù)Table 2 First three periods of the 90 m high pier and the participating mass ratios respectively

圖8 給出了由EMPA 方法獲得的FsnLn-Dn與MPA方法的對(duì)比。

由圖8 可以看出，EMPA 方法解決了第二階FsnLn-Dn曲線的“折返”問(wèn)題。對(duì)于第一階推覆分析，EMPA與MPA方法結(jié)果相同。

圖8 由EMPA方法獲得的FsnLn-Dn與MPA方法結(jié)果的對(duì)比Fig.8 Comparison between theFsnLn-Dn curves from MPA and EMPA

非線性時(shí)程分析方法（NLTHA）作為一種通用方法，可以有效地評(píng)估結(jié)構(gòu)的地震需求及能力；這里將NLTHA 方法得到的結(jié)果作為參照。圖9至圖12給出EQ1地震作用下，EMPA與NLTHA方法獲得結(jié)構(gòu)需求的對(duì)比，其中EMPA 方法獲得各階振型下峰值后，再通過(guò)SRSS方法組合得到結(jié)構(gòu)需求的峰值。同時(shí)，給出橋墩截面屈服曲率3.4×10-4m-1作為參考。

由圖9 至圖12 可以看出，EMPA 方法較好地估計(jì)了高墩墩身的節(jié)點(diǎn)位移峰值，但對(duì)墩身截面曲率峰值及剪力峰值的估計(jì)，特別是結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性（截面曲率達(dá)到3.4×10-4m-1）后的估計(jì)存在較大誤差。若要將EMPA 方法運(yùn)用于高墩抗震性能評(píng)估，需要對(duì)方法進(jìn)行一定的修正。

圖9 EQ1峰值加速度調(diào)整為0.2g時(shí)采用EMPA與NLTHA方法獲得的結(jié)構(gòu)需求Fig.9 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.2g

圖10 EQ1峰值加速度調(diào)整為0.4g時(shí)采用EMPA與NLTHA方法獲得的結(jié)構(gòu)需求Fig.10 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.4g

圖11 EQ1峰值加速度調(diào)整為0.6g時(shí)采用EMPA與NLTHA方法獲得的結(jié)構(gòu)需求Fig.11 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.6g

圖12 EQ1峰值加速度調(diào)整為0.8g時(shí)采用EMPA與NLTHA方法獲得的結(jié)構(gòu)需求Fig.12 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.8g

2 組合方法討論

EMPA 方法從能量的角度直接獲得FsnLn-Dn關(guān)系，而非通過(guò)某一節(jié)點(diǎn)的位移獲得，因此能夠避免FsnLn-Dn曲線的“折返”現(xiàn)象。但EMPA方法終究還是通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)施加側(cè)向力分布=m?n。因此MPA方法的誤差，EMPA方法均繼承［3］：

（1）采用不變的側(cè)向力分布，不能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)屈服后慣性力的重分布現(xiàn)象；

（2）忽略了結(jié)構(gòu)屈服后各階振型的耦合作用；

（3）使用靜力方法不能反映結(jié)構(gòu)在動(dòng)力作用下的能量的傳遞；

（4）采用振型組合方法引起的誤差。

其中，誤差4 中所采用的振型組合方法如SRSS，均是基于線彈性經(jīng)典阻尼系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)為零均值平穩(wěn)高斯過(guò)程得到的。將SRSS 方法引入非線性靜力方法中會(huì)帶來(lái)一定的誤差。為改進(jìn)MPA 方法中振型組合所帶來(lái)的誤差，A.S.Moghadam［10］提出采用振型參與系數(shù)對(duì)各階推覆分析結(jié)果進(jìn)行加權(quán)求和，但這一方法降低了高階振型對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。本文僅研究常見(jiàn)的組合方法［11］，包括SRSS 方法、CQC 方法、絕對(duì)值求和（Abs）方法的有效性。由于橋墩結(jié)構(gòu)各階頻率相差較大，可近似地認(rèn)為SRSS 方法與CQC 方法結(jié)果相同，這里僅給出SRSS方法的結(jié)果。采用以上組合方法計(jì)算出90 m 高墩節(jié)點(diǎn)位移、截面曲率及墩身剪力峰值響應(yīng)與NLTHA方法間的相對(duì)誤差，并對(duì)7 條地震波下的誤差取平均，繪于圖13 至圖16中。

圖13 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.2g時(shí)結(jié)構(gòu)需求的相對(duì)誤差平均值Fig.13 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.2g

圖14 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.4g時(shí)結(jié)構(gòu)需求的相對(duì)誤差平均值Fig.14 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.4g

圖15 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.6g時(shí)結(jié)構(gòu)需求的相對(duì)誤差平均值Fig.15 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖16 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.8g時(shí)結(jié)構(gòu)需求的相對(duì)誤差平均值Fig.16 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.8g

由圖13 至圖16 可見(jiàn)，采用絕對(duì)值求和方法（Abs）進(jìn)行進(jìn)行振型組合，在一定程度上補(bǔ)償了由于忽略結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性后振型耦合所帶來(lái)的誤差；其結(jié)果大于SRSS 方法，提高了橋墩結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性后的節(jié)點(diǎn)位移及墩身剪力計(jì)算精度。對(duì)于在地震中處于彈性階段的結(jié)構(gòu)，可以近似視為線彈性經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以近似為零均值平穩(wěn)高斯過(guò)程，如本例中地震波峰值加速度調(diào)整為0.2g 下的橋墩結(jié)構(gòu)，采用Abs 方法對(duì)精度的提高不明顯，如圖13所示。

在估計(jì)截面曲率時(shí)采用絕對(duì)值求和方法與SRSS 方法計(jì)算精度相近。其中，兩者大部分情況下低估了距墩頂0～15 m 處截面曲率，相對(duì)誤差超過(guò)了50%，但這些部位截面曲率較?。ㄓ蓤D9 至圖12 可以得出這樣的結(jié)論），因此并不控制橋墩的抗震設(shè)計(jì)。

3 墩高效應(yīng)

為了進(jìn)一步討論EMPA 計(jì)算高墩地震響應(yīng)的有效性，分別建立高度為30 m、60 m、90 m 的橋墩有限元模型，各橋墩的主要參數(shù)以及一階振型參與質(zhì)量系數(shù)如表3所示。

表3 不同高度橋墩的基本參數(shù)Table 3 Features of piers of different heights

采用EMPA 方法，針對(duì)不同墩高，計(jì)算得到七條地震波（峰值加速度調(diào)整為0.6g）下，前3 階響應(yīng)各自對(duì)總響應(yīng)貢獻(xiàn)率的均值如圖17 至圖19 所示，在進(jìn)行振型組合時(shí)采用Abs組合。

由圖17 至圖19 可以看出：隨著墩高增加，高階振型響應(yīng)的貢獻(xiàn)明顯增大；相比于節(jié)點(diǎn)位移，高階振型對(duì)截面曲率與墩身剪力的貢獻(xiàn)更顯著。實(shí)際上，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于彈性階段時(shí)，EMPA 方法與反應(yīng)譜方法是等效的，高階振型的貢獻(xiàn)對(duì)位移（譜位移的變化）的影響將小于其對(duì)力（譜加速度的變化）的影響，如圖20所示。

圖17 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.6g時(shí)30 m橋墩各階推覆分析結(jié)果對(duì)組合值的貢獻(xiàn)率平均值Fig.17 Average modal contribution rate of 30 m pier for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖18 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.6g時(shí)60 m橋墩各階推覆分析結(jié)果對(duì)組合值的貢獻(xiàn)率平均值Fig.18 Average modal contribution rate of 60 m pier for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖19 七條地震波峰值加速度調(diào)整為0.6g時(shí)90 m橋墩各階推覆分析結(jié)果對(duì)組合值的貢獻(xiàn)率平均值Fig.19 Average modal contribution rate of 90 m pier for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖20 結(jié)構(gòu)周期變化帶來(lái)譜位移、譜加速度的增減Fig.20 Fluctuations of spectral displacement and spectral acceleration initiated by variations of periods

為進(jìn)一步研究不同墩高下EMPA 方法合理的分析階數(shù)，定義綜合貢獻(xiàn)率Ai為

式中：i為推覆分析的階數(shù)；ci為前i階分析得到沿高度變化的結(jié)果；?h為求和區(qū)間長(zhǎng)度。

顯然，A3=100%。針對(duì)不同墩高下各結(jié)構(gòu)需求，前i階結(jié)果的綜合貢獻(xiàn)率Ai如表4—表6所示。

表4 不同墩高下前i階結(jié)果對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的綜合貢獻(xiàn)率Table 4 Comprehensive contribution rate of nodal displacement for piers of different heights

表5 不同墩高下前i階結(jié)果對(duì)截面曲率的綜合貢獻(xiàn)率Table 5 Comprehensive contribution rate of curvature for piers of different heights

表6 不同墩高下前i階結(jié)果對(duì)墩身剪力的綜合貢獻(xiàn)率Table 6 Comprehensive contribution rate of shear force for piers of different heights

其中，對(duì)于高度為30 m 的橋墩，其墩身節(jié)點(diǎn)位移由第1 階響應(yīng)控制，而截面曲率及墩身剪力由前2 階響應(yīng)控制。對(duì)于高度為60 m 的橋墩，位移、曲率和剪力由前2 階響應(yīng)控制，第2 階的貢獻(xiàn)明顯增加。對(duì)于高度為90 m 的橋墩，除位移外前三階響應(yīng)的貢獻(xiàn)均不能忽略，高階振型的貢獻(xiàn)進(jìn)一步增大。在EMPA 計(jì)算中，隨著橋墩高度的增大，應(yīng)采用更多階數(shù)的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行組合以獲得正確的結(jié)果。

4 結(jié)論

本文首先對(duì)基于能量的模態(tài)推覆分析進(jìn)行介紹；后研究其針對(duì)橋梁高墩抗震性能評(píng)估的適用性，并與非線性時(shí)程分析結(jié)果對(duì)比，研究合理的模態(tài)組合方法；最后對(duì)不同性能指標(biāo)、不同高度橋墩應(yīng)采用的EMPA階數(shù)。并得到以下結(jié)論：

（1）傳統(tǒng)的MPA 方法中會(huì)出現(xiàn)FsnLn-Dn曲線“折返”的現(xiàn)象，因此不能很好地適應(yīng)所有結(jié)構(gòu)類(lèi)型，基于能量的模態(tài)推覆分析可以解決這一問(wèn)題。

（2）將EMPA 方法應(yīng)用于橋梁高墩，可以較好地估計(jì)墩身的節(jié)點(diǎn)位移峰值，但對(duì)墩身截面曲率峰值及剪力峰值的估計(jì)，特別是結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性后的估計(jì)存在較大誤差；相比于常用的SRSS方法，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性后采用絕對(duì)值求和（Abs）的模態(tài)組合方法計(jì)算簡(jiǎn)便，并能保證良好的精度。

（3）隨著墩高的增加，高階振型的貢獻(xiàn)明顯。在計(jì)算中應(yīng)采用更多階數(shù)的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行組合以獲得正確的結(jié)果。計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移時(shí)，取第1 階EMPA 結(jié)果已經(jīng)能夠保證一定的精度；而計(jì)算截面曲率或墩身剪力時(shí)，應(yīng)取前3 階的EMPA 結(jié)果進(jìn)行組合。