付天宇，劉啟國，岑雪芳，李隆新，彭 先

（1.西南石油大學石油與天然氣工程學院，四川成都610500；2.寧波華潤興光燃氣有限公司，浙江寧波315000；3.中國石油西南油氣田公司勘探開發(fā)研究院，四川成都610041）

NPI 產(chǎn)量遞減分析最早是由BLASINGAME 提出的[1]，這一方法是基于邊界控制流基礎上，以壓力積分及其導數(shù)和物質(zhì)平衡擬時間的函數(shù)關系建立典型分析曲線，并與產(chǎn)量規(guī)整化處理的實際數(shù)據(jù)進行擬合分析。相比傳統(tǒng)產(chǎn)量遞減分析圖版，所得圖版不僅可以反映出受邊界影響的擬穩(wěn)定流動階段特征，還可以反映出早期不穩(wěn)定流動階段特征。這種方法的優(yōu)點在于經(jīng)過積分處理消除了數(shù)據(jù)分散帶來的影響[2]，降低了對數(shù)據(jù)的精度要求，擴大了可使用數(shù)據(jù)的范圍，使得不穩(wěn)定流動階段的數(shù)據(jù)也可被用來分析，降低了分析結果的多解性。CLARKSON 等[3]針對頁巖氣藏的復雜情況，在雙重介質(zhì)基礎上進行了NPI方法分析，進一步證明了NPI方法的優(yōu)越性。劉曉華等[4]針對現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法理論進行了詳細的論述,并進行了實例分析測算。孫召勃[5]利用點源函數(shù)法求解出均質(zhì)和雙重介質(zhì)頂?shù)追忾]、側面封閉油藏水平井和壓裂水平井的定產(chǎn)壓力解，繪制出NPI方法復合圖版并做出敏感性分析。祝曉林等[6]針對海上均質(zhì)矩形邊界油藏，考慮了表皮系數(shù)的影響，建立了NPI理論圖版，對油氣井的滲流特征及原始地質(zhì)儲量預測作用顯著。肖翠[7]根據(jù)煤層氣的等溫吸附性基質(zhì)收縮效應，引入Palmer-Mansoori 雙重介質(zhì)模型，對物質(zhì)平衡擬時間進行了修正，利用NPI方法進行分析，所得結果與數(shù)值模擬基本一致。劉寶華等[8]利用安達凹陷6 口雙重介質(zhì)試采井生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行了NPI等方法的現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析，對地層動態(tài)參數(shù)進行了擬合分析，證實其較好的適用性。崔彬等[9]系統(tǒng)闡述了現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法的發(fā)展，并應用NPI等現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法對某煤層氣井組生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行了實例分析。

碳酸鹽巖儲層在溶蝕或破裂作用下，會產(chǎn)生大量的溶蝕孔洞[10]，進一步復雜化孔隙介質(zhì)。針對碳酸鹽巖儲層中復雜的孔隙介質(zhì)系統(tǒng)，CLOSSMAN[11]提出了三重孔隙介質(zhì)模型，而后學者們在此基礎上不斷創(chuàng)新[12-18]，建立了多種三重介質(zhì)模型，并進行了試井分析求解。但是針對三重介質(zhì)的現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析的研究，還存在不足，尤其是NPI 產(chǎn)量遞減分析的研究，更是鮮有文章提到。

針對碳酸鹽巖氣藏建立了三孔單滲并行竄流模型，通過拉普拉斯變換對模型進行求解，并且用壓力積分的方法繪制了NPI方法復合圖版，對圖版進行了敏感性分析。所得圖版能夠通過擬合方法計算出儲層參數(shù)和氣井控制儲量，并對井的生產(chǎn)特征進行診斷，具有較好的應用價值。

1 物理模型建立

該模型中基質(zhì)、裂縫與溶洞共同存在且視為連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)，裂縫作為滲流通道向井筒提供流體，基質(zhì)和溶洞作為儲集空間分別向裂縫竄流[19]，如圖1所示。

圖1 碳酸鹽巖氣藏三孔單滲并行竄流模型Fig.1 Triporate-uniphase parallel inter-porosity flow model

對模型作出以下假設：

1）圓形封閉氣藏均勻且各向同性；

2）垂直氣井位于地層正中心；

3）地層中流體為單相可壓縮氣體，滲流符合達西定律；地層巖石微可壓縮，壓縮系數(shù)為常數(shù)；

4）考慮表皮效應的影響，不考慮重力和毛管力的影響；

5）各點初始地層壓力均等于原始地層壓力；

6）3種介質(zhì)的物性參數(shù)不相互影響。

2 數(shù)學模型求解

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，引入AL-HUSSAINY[20]定義的擬壓力將非線性的流動方程線性化，可得無因次滲流數(shù)學模型：

其中：

對式（1）進行Laplace 變換，可以得到拉氏空間下的無因次滲流數(shù)學模型，消去基質(zhì)擬壓力變量與溶洞擬壓力變量化簡得：

其中：

式（2）的通解為：

將通解式（4）代入式（2）中的內(nèi)、外邊界條件，聯(lián)立方程可求得通解系數(shù)A與B：

則無因次數(shù)學模型的解即為：

當rD=1，得到上述模型無因次井底擬壓力解即為：

結合Duhamel原理，可得到考慮表皮系數(shù)的無因次井底擬壓力解：

可以表示為：

其微分形式為：

定義擬壓力積分導數(shù)為：

將式（11）代入式（12），可進一步表示為：

以上就求得了無因次擬壓力、無因次擬壓力積分和無因次擬壓力積分導數(shù)[21]。

3 三孔單滲并行竄流模型NPI 方法復合圖版

通過Stehfest 數(shù)值反演求得無因次井底擬壓力實空間解，通過積分處理得到無因次擬壓力積分與無因次擬壓力積分導數(shù)。取參數(shù)ωf=0.01，ωv=0.1，λvf=10-4，λmf=10-6，RD=104，S=0 繪制出三孔單滲并行竄流模型NPI 方法復合圖版如圖2 所示。紅色曲線為無因次擬壓力曲線，藍色曲線為無因次擬壓力積分曲線，綠色曲線為無因次擬壓力積分導數(shù)曲線。曲線較好地表現(xiàn)出了2個竄流階段，在晚期擬穩(wěn)定流動階段無因次擬壓力積分與無因次擬壓力積分導數(shù)曲線為斜率為1的直線。

圖2 三孔單滲并行竄流模型NPI方法復合圖版曲線Fig.2 NPI method curves of triporate-uniphase parallel inter-porosity flow model

對流動階段進行了劃分。

第1段為純裂縫流動階段，該階段無因次擬壓力積分導數(shù)為0.5 的水平線；第2 段為溶洞向裂縫竄流過渡段，隨著流體產(chǎn)出，竄流系數(shù)較大的溶洞系統(tǒng)最先向裂縫竄流，無因次擬壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)凹子狀特征；第3 段是溶洞與裂縫系統(tǒng)的徑向流動階段，該階段的無因次擬壓力積分導數(shù)為0.5 的水平線；第4段為基質(zhì)向裂縫竄流過渡段，無因次擬壓力積分導數(shù)出現(xiàn)凹子狀特征；第5 段為總系統(tǒng)的徑向流動階段，該段描述了整個系統(tǒng)的徑向流動，無因次擬壓力積分導數(shù)為0.5 的水平線；第6 段為邊界控制擬穩(wěn)定流動段，在該流動階段無因次擬壓力積分及其導數(shù)曲線逐漸重合為斜率為1的直線。

由上述計算結果可知，降深因素無論對排水量還是剩余水頭高度都有較大的影響，且基本呈正比例關系。其中排水量與降深的比例系數(shù)為0.802～0.955，剩余水頭與降深的比例系數(shù)為0.146～0.389。故從降深的角度來看排水量與剩余水頭高度的計算結果，降深越小越好。

4 NPI方法復合圖版敏感性分析

由模型的解可知，三孔單滲并行竄流模型NPI方法復合圖版受竄流系數(shù)、儲容比和供給半徑等參數(shù)的影響，敏感性分析過程中其余參數(shù)同第三節(jié)。

1）裂縫彈性儲容比的影響

圖3 反映了裂縫彈性儲容比對NPI 方法復合曲線的影響。裂縫彈性儲容比主要影響無因次擬壓力積分導數(shù)曲線溶洞向裂縫竄流的“凹子”特征；裂縫彈性儲容比越小，說明溶洞發(fā)育越好，裂縫發(fā)育越差，溶洞向裂縫的竄流需要更長的時間，無因次擬壓力積分導數(shù)曲線上溶洞向裂縫竄流的“凹子”越深，持續(xù)時間越長。

圖3 裂縫彈性儲容比對NPI方法復合圖版的影響Fig.3 Impact of fracture storage ratio on NPI method curves

2）溶洞彈性儲容比對曲線的影響

圖4 反映了溶洞彈性儲容比對NPI 方法復合曲線的影響。溶洞彈性儲容比對兩個竄流階段的無因次擬壓力積分導數(shù)曲線均有較明顯的影響。在三重介質(zhì)系統(tǒng)中，3種介質(zhì)彈性儲容比之和為1。因此，當裂縫彈性儲容比不變時，溶洞彈性儲容比和基質(zhì)彈性儲容比的變化是相對的；針對溶洞向裂縫的竄流，溶洞彈性儲容比越小，相當于裂縫的彈性儲容比越大、裂縫越發(fā)育，無因次擬壓力積分導數(shù)曲線上溶洞向裂縫竄流的“凹子”越淺且持續(xù)時間越短；針對基質(zhì)向裂縫的竄流，溶洞彈性儲容比越小，相當于裂縫的彈性儲容比越小、裂縫越不發(fā)育，無因次擬壓力積分導數(shù)曲線上基質(zhì)向裂縫竄流的“凹子”越深且持續(xù)時間越長。

圖4 溶洞彈性儲容比對NPI方法復合圖版的影響Fig.4 Impact of cave storage ratio on NPI method curves

3）溶洞向裂縫竄流系數(shù)的影響

圖5 反映了溶洞向裂縫竄流系數(shù)對NPI 方法復合曲線的影響。溶洞向裂縫竄流系數(shù)越大，表明溶洞與裂縫的滲透率差異就越小。裂縫密度就越大，則竄流發(fā)生的時間就越早，無因次擬壓力積分導數(shù)曲線上的溶洞向裂縫竄流的“凹子”就越往左平移。

圖5 溶洞向裂縫的竄流系數(shù)對NPI方法復合圖版的影響Fig.5 Impact of inter-porosity flow coefficient between cave and fracture on NPI method curves

4）基質(zhì)向裂縫竄流系數(shù)的影響

圖6 反映了基質(zhì)向裂縫竄流系數(shù)對NPI 方法復合曲線的影響。基質(zhì)向裂縫竄流系數(shù)越小，表明基質(zhì)與裂縫的滲透率差異就越大或者裂縫密度就越小，則竄流發(fā)生的時間就越晚，無因次擬壓力積分導數(shù)的基質(zhì)向裂縫竄流的“凹子”的位置就越往右平移。

圖6 基質(zhì)向裂縫竄流系數(shù)對NPI方法復合圖版的影響Fig.6 Impact of inter-porosity flow coefficient between matrix and fracture on NPI method curves

5）供給半徑的影響

圖7 反映了供給半徑對NPI 方法復合曲線的影響。供給半徑的大小只會影響不穩(wěn)定流動階段，而不會影響晚期擬穩(wěn)定流動階段的特征。供給半徑越小，總系統(tǒng)徑向流階段持續(xù)時間越短，總系統(tǒng)徑向流特征越不明顯，基質(zhì)向裂縫的竄流將發(fā)生在邊界控制階段以后。由于無因次時間tDA按井控制面積定義，供給半徑越大，相同時間對應的tDA越小，因而在無因次擬壓力積分導數(shù)曲線上，2個竄流段的“凹子”將越靠左。

圖7 供給半徑對NPI方法復合圖版的影響Fig.7 Impact of dimensionless outer boundary radius on NPI method curves

5 實例分析

某碳酸鹽巖氣井基本參數(shù)如下：原始地層壓力為52.8 MPa，溫度為123.97 ℃，井筒半徑為0.1 m，儲層厚度為408.3 m，孔隙度為5.17%。采用該文研究模型進行擬合解釋，對實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行產(chǎn)量規(guī)整化處理，擬合解釋結果如表1 所示，擬合效果如圖8所示，擬壓力積分曲線擬合效果較好；由于早期實際數(shù)據(jù)點間距較大，且竄流過程持續(xù)時間較短，因此擬壓力積分導數(shù)曲線早期段擬合效果稍差，但晚期段擬合效果較好。其中擬壓力積分Pearson 相關系數(shù)為0.998，擬壓力積分導數(shù)Pearson 相關系數(shù)為0.558，擬壓力積分導數(shù)晚期段Pearson相關系數(shù)為0.713。

圖8 NPI擬合曲線Fig.8 NPI production decline fitting-curves

表1 擬合解釋結果Table 1 Fitting interpretation results

產(chǎn)量規(guī)整化處理方法如下：

6 結論

1）建立并求解了圓形封閉邊界條件下，溶洞與基質(zhì)為儲集空間、裂縫為流動通道的碳酸鹽巖氣藏三孔單滲并行竄流遞減分析模型。

2）通過Stehfest 數(shù)值反演法繪制出了NPI 方法復合圖版，溶洞和基質(zhì)向裂縫的竄流在擬壓力積分導數(shù)曲線上呈現(xiàn)明顯的“凹子”特征，不同供給半徑對應的擬壓力積分導數(shù)曲線在晚期擬穩(wěn)定流動階段重合為斜率為1的直線。

3）裂縫彈性儲容比越小，溶洞向裂縫竄流凹子越深越寬；溶洞彈性儲容比越小，溶洞向裂縫竄流凹子越淺越窄，基質(zhì)向裂縫竄流凹子越深越寬。竄流系數(shù)越大，竄流發(fā)生越早，對應竄流段凹子越往左移。供給半徑越大，兩個竄流段的“凹子”將越靠左。

符號說明

ψmD為無因次基質(zhì)系統(tǒng)擬壓力；ψfD為無因次裂縫系統(tǒng)擬壓力；ψvD為溶洞系統(tǒng)擬壓力；rD為無因次半徑；λvf為溶洞向裂縫竄流系數(shù)；λmf為基質(zhì)向裂縫竄流系數(shù)；ωm為基質(zhì)彈性儲容比；ωf為裂縫彈性儲容比；ωv為溶洞彈性儲容比；tDA為無因次時間；RD為無因次供給半徑；A 為常數(shù)；B 為常數(shù)；I0為第Ⅰ類零階虛宗量Bessel函數(shù)；K0為第Ⅱ類零階虛宗量Bessel函數(shù)；I1為第Ⅰ類一階虛宗量Bessel 函數(shù)；K1為第Ⅱ類一階虛宗量Bessel 函數(shù)；Km為基質(zhì)滲透率，10-3μm2；Kf為裂縫滲透率，10-3μm2；Kv為溶洞滲透率，10-3μm2；αvf為溶洞向裂縫竄流過程形狀因子，1/m2；αmf為基質(zhì)向裂縫竄流過程形狀因子，1/m2；h為儲層厚度，m；q為產(chǎn)量，104m3/d；T為溫度，K；φf為裂縫孔隙度；φm為基質(zhì)孔隙度；φv為溶洞孔隙度；Ctf為裂縫壓縮系數(shù)，1/MPa；Ctm為基質(zhì)壓縮系數(shù)，1/MPa；Ctv為溶洞壓縮系數(shù)，1/MPa；t為時間，h；μ為黏度，mPa·s；s為拉普拉斯變量；S為表皮系數(shù)；rw為井筒半徑，m；ψwD為無因次井底擬壓力；ψwDi為無因次井底擬壓力積分；ψwDid為無因次井底擬壓力積分導數(shù)；tc為物質(zhì)平衡時間，h。