梁興波

摘要： 針對(duì)變位齒輪，嚙合剛度是影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主要因素之一。建立變位齒輪的有限元模型，并對(duì)虛擬樣機(jī)進(jìn)行有限元分析，裂紋對(duì)嚙合剛度影響，最終造成傳動(dòng)性能的下降。結(jié)果表明;裂紋對(duì)齒根圓位置嚙合剛度影響要大于分度圓位置;在單裂紋中，不同深度的齒根裂紋，裂紋深度越大，對(duì)嚙合剛度影響也就越大;說明裂紋深度對(duì)嚙合剛度影響起決定性作用，而整體嚙合剛度，多裂紋比單裂紋的影響要大。

Abstract： The meshing stiffness is one of the main factors that affect the gear transmission system. Finite element model of displacement gear was established， and finite element analysis of virtual prototype was carried out， and the influence of cracks on meshing stiffness was finally caused by the decline of transmission performance. The results show that; The influence of crack on meshing stiffness of tooth root circle is greater than that of indexing circle. In a single crack， the tooth root crack of different depths， the greater the crack depth， the greater the influence on meshing stiffness. It shows that the crack depth plays a decisive role in the meshing stiffness， and the influence of multiple cracks on the overall meshing stiffness is greater than that of single crack.

關(guān)鍵詞： 變位齒輪;裂紋;嚙合剛度;傳動(dòng)性能

Key words： modified gear;crack;meshing stiffness;transmission performance

中圖分類號(hào)：V232.8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-957X（2022）01-0028-03

0 ?引言

本文主要對(duì)三環(huán)傳動(dòng)中變位齒輪的嚙合剛度進(jìn)行分析。三環(huán)主要應(yīng)用于起重機(jī)械、運(yùn)輸機(jī)械等以內(nèi)燃機(jī)為動(dòng)力的工程設(shè)備，運(yùn)用普遍性高。而變位齒輪系統(tǒng)的一個(gè)重要的特性就是嚙合剛度，嚙合剛度系數(shù)也是進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的重要參數(shù)。但是齒輪機(jī)構(gòu)在傳遞運(yùn)動(dòng)的過程中，嚙合點(diǎn)出現(xiàn)上下位移，因此引起嚙合剛度發(fā)生變化，所以對(duì)嚙合剛度分析是有必要的，它直接影響計(jì)算和設(shè)計(jì)精度。

1 ?內(nèi)嚙合變位齒輪動(dòng)剛度計(jì)算方法

有限元法的分析主要分為兩個(gè)方向[1]。①沿法向載荷方向的位移量，在接觸嚙合時(shí)，分別求出法向載荷與接觸嚙合齒輪的總變形量，法向載荷與接觸嚙合齒輪的總變形量比值為嚙合剛度。②轉(zhuǎn)角的變形量，通過求解接觸嚙合時(shí)變形量，再通過變形量求出嚙合剛度。下文將分別對(duì)這兩個(gè)方向進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。

1.1 沿法向載荷方向的位移量計(jì)算法

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在嚙合力的作用下，在接觸嚙合面會(huì)產(chǎn)生一定的變形，而在接觸面的法向載荷Fn為主要載荷，接觸嚙合齒輪的總變形量為Un，嚙合剛度為：

式中，接觸嚙合齒輪的總變形量Un為：

Un=Ua+Ub+Uc（2）

式中，Ua為接觸時(shí)剪切變形;Ub為輪齒接觸產(chǎn)生的接觸變形;Uc為接觸時(shí)彎曲變形。

三環(huán)傳動(dòng)的嚙合度為內(nèi)齒板和外齒輪的嚙合剛度總和，而三環(huán)傳動(dòng)在工作過程中，屬于多齒接觸嚙合，其嚙合剛度簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

在圖1中，嚙合齒輪對(duì)1、2、3、4、5的嚙合剛度分別為K1、K2、K3、K4、K5，五對(duì)輪齒嚙合時(shí)的嚙合剛度為并聯(lián)耦合關(guān)系，則多對(duì)輪齒的嚙合剛度為：

K=K1+K2+K3+K4+K5（3）

1.2 轉(zhuǎn)角變形量計(jì)算法

利用沿法向載荷方向的位移量計(jì)算齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合剛度時(shí)，由于在接觸嚙合過程中嚙合對(duì)的齒輪變形比較復(fù)雜，利用沿法向載荷方向的位移量計(jì)算齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合剛度相關(guān)參數(shù)還是比較困難。

運(yùn)用轉(zhuǎn)角變形量計(jì)算法，在主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)中心添加一個(gè)轉(zhuǎn)矩T，通過轉(zhuǎn)矩T的作用，計(jì)算轉(zhuǎn)角變形量，最后求出齒輪副的嚙合剛度。齒輪轉(zhuǎn)角變形量為：

式中，n1為內(nèi)齒板的轉(zhuǎn)速;n2為外齒輪的轉(zhuǎn)速;T為內(nèi)齒板所受轉(zhuǎn)矩。

2 ?健康三環(huán)傳動(dòng)齒輪副嚙合剛度分析

2.1 健康三環(huán)傳動(dòng)齒輪副嚙合剛度計(jì)算

采用有限元法進(jìn)行嚙合剛度求解[2-3]，如圖2為起重機(jī)械三環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)構(gòu)圖。

內(nèi)齒板和外齒輪材料均為45號(hào)鋼，轉(zhuǎn)矩為1×105N·mm。取中間內(nèi)齒板和外齒輪作為研究對(duì)象，如圖3所示。

內(nèi)齒板位置一個(gè)位移載荷0.495rad，從圖中可以看出嚙合剛度曲線為矩形曲線。3.45×108N·mm/rad為嚙合剛度最大值，嚙合剛度最小為1.51×108N·mm/rad，當(dāng)嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)0.495rad時(shí)，嚙合齒輪前四對(duì)嚙合剛度變化趨勢(shì)相同，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中每一對(duì)嚙合齒輪受載比較均勻，嚙合齒輪對(duì)之間變形量也比較相近;從整體上看，總嚙合剛度大，說明齒輪嚙合時(shí)抵抗變形的能力強(qiáng)。

2.2 健康三環(huán)傳動(dòng)齒輪副嚙合剛度驗(yàn)算

由于嚙合剛度是時(shí)間的周期函數(shù)，隨嚙合位置不同而變化，故將其分為定常部分k和波動(dòng)部分Δk（t）表示[4-8]，即：

k（t）=k+Δk（t）（7）

故嚙合剛度是時(shí)變函數(shù)，所以嚙合剛度在少齒和多齒嚙合交替時(shí)會(huì)發(fā)生突變，且在不同的嚙合位置，嚙合輪齒的嚙合剛度也不同。由于嚙合剛度隨嚙合位置的變化近似呈拋物線形式，故可首先求出少齒副的一個(gè)完整嚙合周期中嚙合剛度的離散值，然后對(duì)其嚙合剛度曲線用拋物線k（x）擬合，多齒嚙合區(qū)的剛度通過單齒嚙合剛度疊加得到。嚙合剛度曲線k（x）可表示為：

k（x）=Ax2+Bx+C（8）

式中，A、B、C都為拋物線系數(shù)。若一對(duì)齒輪由雙齒嚙合開始運(yùn)行，在一個(gè)嚙合周期內(nèi)嚙合剛度會(huì)經(jīng)過，“多齒區(qū)一少齒區(qū)一多齒區(qū)”的嚙合過程。在一個(gè)嚙合周期內(nèi)，各段嚙合剛度波動(dòng)函Δk（t）可表示為：

Δk（t）=k（t）-k ? （9）

式中，k 為一個(gè)嚙合周期內(nèi)的平均嚙合剛度：

由上述方法可以得到齒輪副的綜合嚙合剛度。

①當(dāng)時(shí)間s=0.001s時(shí)：

k（x）=3.4×108N·mm/rad（13）

②當(dāng)時(shí)間s=0.008s時(shí)：

k（x）=1.6×108N·mm/rad（14）

與圖4中齒輪副的綜合嚙合剛度曲線對(duì)比，數(shù)值誤差不大。

3 ?裂紋對(duì)嚙合剛度的分析

從圖5中可以看出，在多齒嚙合區(qū)內(nèi)，隨著裂紋長(zhǎng)度增加，嚙合剛度在慢慢減小;少齒嚙合區(qū)，第一對(duì)嚙合齒輪脫離時(shí)，嚙合剛度先減小后增大，第一對(duì)嚙合齒輪脫離之后，第二對(duì)嚙合齒輪開始嚙合時(shí)，嚙合剛度在逐漸增大;無裂紋的嚙合剛度基本沒有變化，嚙合剛度和健康輪齒對(duì)嚙合的工況下一樣;裂紋長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度從1mm增長(zhǎng)到2mm時(shí)，嚙合剛度的下降速度最快;裂紋長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度從2mm增長(zhǎng)到3mm時(shí)，嚙合剛度的下降速度慢。含裂紋的齒輪對(duì)，在嚙合時(shí)嚙合剛度急劇下降，從整體上看嚙合剛度也是下降。說明裂紋長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度影響比較明顯，在裂紋區(qū)域，齒輪嚙合時(shí)抵抗變形的能力比較小，同時(shí)也降低整體的抵抗變形的能力。隨著裂紋深度的增加，嚙合剛度急劇下降。不含裂紋的多齒嚙合區(qū)嚙合剛度變化不是很明顯;對(duì)于少齒嚙合區(qū)域，嚙合剛度變化不大;裂紋深度從1mm變化到1.5mm時(shí)，嚙合剛度下降最明顯;裂紋深度從1.5mm變化到2mm時(shí)，相對(duì)1mm變化到1.5mm時(shí)嚙合剛度變化，嚙合剛度下降速度變化不大;但相對(duì)齒根裂紋長(zhǎng)度，裂紋深度對(duì)嚙合剛度影響更大，而且嚙合剛度變化更明顯。裂紋數(shù)量不斷增加，多齒嚙合的剛度在裂紋區(qū)也在逐漸減少。整體的嚙合剛度同時(shí)也大幅度下降。與裂紋深度影響對(duì)比：從整體嚙合剛度上看，多裂紋對(duì)嚙合剛度的影響比裂紋深度影響大，從局部部上看，裂紋深度對(duì)嚙合剛度影響大。整體的嚙合剛度下降，則齒輪嚙合時(shí)，輪齒抵抗變形的能力也下降。說明含多裂紋內(nèi)齒板在工作時(shí)最容易出現(xiàn)斷裂。隨著裂紋長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度增加，分度圓上的嚙合剛度也是在減小，下降不是很明顯;裂紋長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度從1mm增長(zhǎng)到2mm時(shí)，在含裂紋的多齒嚙合區(qū)，嚙合剛度出現(xiàn)下降趨勢(shì);而裂紋長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度從2mm增長(zhǎng)到3mm時(shí)，在含裂紋的多齒嚙合區(qū)也是下降趨勢(shì)，兩者對(duì)比，裂紋長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度從2mm增長(zhǎng)到3mm時(shí)的下降趨勢(shì)比較明顯;在少齒嚙合區(qū)和無裂紋嚙合區(qū)，嚙合剛度沒有明顯變化。雖然分度圓位置裂紋對(duì)嚙合剛度有一定影響，但是分度圓上的裂紋對(duì)嚙合剛度影響沒有齒根位置明顯。

從圖6中可以看出，隨著裂紋深度的增加，分度圓上的嚙合剛度變化不明顯，嚙合剛度下降很小;含裂紋的多齒嚙合區(qū)有很小的變化，在少齒嚙合區(qū)和無裂紋嚙合區(qū)，變化很微小;裂紋深度相同時(shí)，分度圓位置和齒根位置相比較，齒根位置裂紋對(duì)嚙合剛度影響極大，部分出現(xiàn)小于少齒嚙合區(qū)的嚙合剛度;整體的嚙合剛度變化也比較小。通過分析說明裂紋對(duì)分度圓上的嚙合剛度影響不大。

4 ?結(jié)論

綜上可以看出，①含裂紋的齒根位置和分度圓位置，齒根位置影響大，裂紋深度對(duì)其嚙合剛度影響最大;②在單裂紋中，不同深度的齒根裂紋，裂紋深度越大，對(duì)嚙合剛度影響也就越大，說明裂紋深度對(duì)嚙合剛度影響起決定性作用，從整體嚙合剛度上看，多裂紋比單裂紋的影響要大;③從多齒嚙合區(qū)上看，含裂紋的多嚙合區(qū)變化最大，嚙合剛度在多齒嚙合區(qū)的變化最明顯;④從少齒嚙合區(qū)上看，齒根位置裂紋影響比較大，分度圓位置無明顯變化;⑤從無裂紋的多齒嚙合區(qū)上看，接觸嚙合齒輪對(duì)離開裂紋區(qū)域之后，嚙合剛度和健康三環(huán)傳動(dòng)齒輪副的嚙合剛度一致，但卻降低整個(gè)三環(huán)傳動(dòng)齒輪副嚙合剛度。

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