張蒙 成宇 張藝 朱慶花 韓芳?

（1.東華大學信息科學與技術(shù)學院，上海 201620）（2.東華大學材料科學與工程學院，上海 201620）

引言

大量研究表明，溫度對腦功能有著顯著影響.從醫(yī)學角度來看，強烈建議嚴格控制患者在創(chuàng)傷修復時期的體溫［1］.然而，盡管已經(jīng)開發(fā)了控制腦部溫度的技術(shù)，但溫度影響神經(jīng)電活動的直接機制仍不清楚［2］.了解溫度對腦功能的影響有助于開發(fā)更有效的方法來治療對溫度敏感的各種神經(jīng)系統(tǒng)疾病，包括熱水癲癇病、自閉癥和腦損傷等［3］.此外，某些神經(jīng)生物學實驗（例如體外研究）通常在低于生理學的溫度下進行.因此，探究神經(jīng)突觸傳遞的溫度依賴性對體外和體內(nèi)研究的共融至關重要.

在單個神經(jīng)元水平上，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)溫度對腦功能的多種影響，主要包括細胞膜靜息電位、離子通道的動態(tài)特性、突觸傳遞［3］三個方面，其中前兩個方面已經(jīng)通過建模得到了較好的體現(xiàn).但事實證明溫度對突觸傳遞的影響更難建模，這主要是由于突觸傳遞涉及多種動態(tài)過程，如神經(jīng)遞質(zhì)的釋放、囊泡孔的動力學特性、神經(jīng)遞質(zhì)的擴散、神經(jīng)遞質(zhì)的結(jié)合和突觸后受體的動力學特性等.溫度對每個過程的影響是不同的，它們共同決定突觸傳遞的效能.

憶阻器作為第四種基本電路元件，由美國加州大學的蔡少棠教授于1971年提出［4］，2008年惠普實驗室首次研制出實物憶阻器［5］.憶阻器具有類似生物突觸的非線性傳輸特性，且其捏滯回線的非線性特征易于產(chǎn)生混沌、分岔等復雜動力學行為，基于其構(gòu)建的多種突觸電路、Hodgkin-Huxley和FitzHugh-Nagumo神經(jīng)元電路以及簡單神經(jīng)網(wǎng)絡電路的混沌與同步等行為已經(jīng)得到了廣泛研究［6-10］.并且由于憶阻器的納米級尺寸，將極大地減小神經(jīng)電路的規(guī)模與能耗.同時，憶阻器的行為特性也受到多種因素的影響，其中設備內(nèi)部溫度是重要因素之一，強烈影響憶阻器內(nèi)部離子和空位的遷移與擴散，在建模時必須謹慎分析［11］.Graves實測分析了氧化鉭憶阻器隨溫度變化的電導性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)電導在室溫以上對溫度有強烈的依賴性，而對低于室溫的溫度不敏感［12］.Kocyigit研究了溫度對氧化鋅憶阻器電導率的影響，發(fā)現(xiàn)兩者隨溫度升高而增加［13］.Kim研究了溫度對HfOx/AlOy憶阻器的電導和長時程可塑性的影響［14］.以上憶阻器均缺乏相應的數(shù)學模型，在神經(jīng)系統(tǒng)建模過程中無法直接應用.Singh通過建立溫度依賴的氧化鈦憶阻器電導模型，得到溫度相關的遷移率表達式，進而實現(xiàn)憶阻開關參數(shù)的溫度依賴性建模［15］.Pahinkar對氧化鉿憶阻器建模時考慮了偏壓作用下溫度對氧空位遷移率的促進作用，但未包括無外界電場作用下的回擴散過程［16］.這些模型均屬于離子遷移模型，可以模擬生物突觸的非線性傳輸特性，但在突觸可塑性模擬方面仍有不足，即無法解釋短期可塑性（shortterm plasticity，STP）、長 期 可 塑 性（long-term plasticity，LTP）和記憶衰退等現(xiàn)象［17］.Meng和Wang所提出的憶阻器模型僅考慮了溫度對離子擴散的影響，忽略了其對離子遷移的作用［17，18］.Du 提出的二階氧化鎢憶阻器模型，建模時同時考慮了離子遷移和擴散過程，雖然此模型在突觸可塑性模擬方面優(yōu)勢明顯，包括放電時間依賴可塑性、雙脈沖易化、STP、LTP以及相互轉(zhuǎn)換［19-21］，但未考慮溫度對遷移和擴散的影響.

本文將基于文獻［19］提出的憶阻器數(shù)學模型改進憶阻突觸權(quán)值的保留項，并考慮溫影響，從而引入溫度變量，從理論上完善原模型的不足.為了體現(xiàn)溫度對突觸傳遞的影響，首先，在一定范圍內(nèi)控制溫度變量，研究憶阻突觸電導率的變化；其次，將該憶阻器作為突觸連接兩個相同的HH神經(jīng)元，研究溫度對興奮性突觸后膜電位的影響，并將仿真結(jié)果與神經(jīng)生理實驗進行對比.

1 氧化鎢憶阻器模型

1.1 原模型

憶阻器的一個重要應用是作為神經(jīng)突觸應用到神經(jīng)形態(tài)系統(tǒng)中［17］.為了模擬突觸的非線性傳輸特性，目前已經(jīng)制作出多種不同材料的憶阻器.文獻［19-21］介紹了一種Pd/WOx/W結(jié)構(gòu)的憶阻器，該憶阻由頂部鈀電極、氧化鎢開關層和底部鎢電極三部分組成，其基本結(jié)構(gòu)和實測輸入輸出特性如圖1（a）所示.在正/負電壓作用下，相鄰掃描周期的伏安特性曲線均有重疊，這是由于在掃描間隔期間，偏壓作用下氧空穴的定向遷移作用小于因濃度差而引起的擴散作用造成的，這有別于傳統(tǒng)的離子遷移模型.為了對該憶阻器進行數(shù)學建模，文獻［19］考慮到在偏壓作用下，金屬-半導體-金屬結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生肖特基勢壘和隧道效應，該元件正是通過外部電壓改變二者之間的關系來進行工作的.基于此，建立了WOx憶阻器的數(shù)學模型，其特性方程如下所示：

圖1 氧化鎢憶阻器的介紹（出自文獻［19］）Fig.1The introduction about WOxmemristor（from Reference［19］）

其中，公式（1）為其伏安特性方程，v表示憶阻器的輸入電壓，i表示流經(jīng)電流，方程右端表示存在兩個并聯(lián)導電通道，分別是肖特基項和隧道項，彼此間的相關權(quán)重由內(nèi)部狀態(tài)變量ωc所決定，其代表導電區(qū)域面積的有效面積指數(shù)，亦可認為是器件的電導率，在［0，1］區(qū)間之內(nèi)變化；α，β，γ，k均是由材料特性決定的固定正參數(shù)，其物理意義依次為肖特基勢壘高度、隧道勢壘高度、肖特基勢壘區(qū)域的耗盡層寬度、導電區(qū)域的有效隧道距離.公式（2）和公式（3）分別是兩個狀態(tài)變量ωm和ωc的動力學方程，其中第一項描述激勵電壓的影響，第二項描述具有不同有效時間的衰減效應，ωm表示氧空位的有效遷移率.公式（2）展現(xiàn)了在外加電壓驅(qū)動下氧空位遷移占主導地位，氧空位的有效遷移率增加，當撤去外加電壓時，氧空位擴散占主導地位，氧空位的有效遷移率降低.公式（3）通過exp(εωm)因子體現(xiàn)氧空位的移動對ωc的影響.公式（4）為氧空位的有效衰減時間函數(shù)，采用該種形式是為了更好地捕獲拉伸指數(shù)類型的衰減，而不是簡單的指數(shù)類型衰減，其中τs為短時程的馳豫時間常數(shù).公式（5）為電導率的有效衰減時間函數(shù)，以便當t小時（ωm大時），電導衰減遵循短時程衰減常數(shù)（τs），而當t大時（ωm小時），電導衰減遵循長時程衰減時間常數(shù)（τl）.公式（6）為窗函數(shù)，旨在控制ωm，ωc的取值范圍.根據(jù)其特性方程進行仿真，結(jié)果見文獻［19］.

綜合考慮，原憶阻器數(shù)學模型能較好地體現(xiàn)突觸傳遞的功能.但由于原文采用了對稱的正負電壓掃描，致使忽略了一些重要細節(jié)，當施加不同數(shù)目的相同正脈沖時，撤去外加電壓之后，憶阻器的電阻率衰減之后會維持不同的值，稱之為保留值，如圖1（b）所示.然而，在原模型的基礎上進行仿真，當在憶阻器兩端施加不同數(shù)目，幅值1V，脈沖寬度1ms的正脈沖時（圖2中藍色實線所示，N=5/10/15，N表示脈沖數(shù)目），隨著外界刺激數(shù)目的增加，電導率在經(jīng)過短時程（STP）衰減進入長時程（LTP）之后均會保持在電導率的初始值左右（圖2中紅色虛線），這與該憶阻器實際電導率變化曲線大相徑庭.同時，原模型中公式（2）未考慮溫度對遷移的影響，公式（4）將溫度相關的短時程衰減時間τs設為常數(shù)也不符合實際，顯然原模型存在明顯不足.

圖2 原數(shù)學模型在不同數(shù)目外界刺激下的憶阻突觸遺忘曲線Fig.2 Memristive synaptic forgetting curve of the original mathematical model under different numbers of external stimulus

1.2 改進的氧化鎢憶阻器的溫度效應模型

遷移和擴散是離子的常見運動形式，遷移是指在外界電場作用下的離子定向運動，而擴散主要是由濃度差引起的，同時溫度和材料也是重要影響因素.基于上述原模型的不足，本文進行了如下兩點改進.首先，將電導率的初始值和保留值分開考慮，為了簡化分析，初始電導率ωc0取值為正常數(shù)，保留值ωcn主要受外加電壓的作用，刺激頻率越高持續(xù)時間越久，氧空位濃度越高，保留值越大［17］.其次，鑒于WOx的導電特性是溫度依賴的（溫度越高電導越大［22］），為了體現(xiàn)溫度對氧空位遷移和擴散的影響，參考了描述氧空位運動速率vo［11］和擴散時間τs［18］的數(shù)學模型.其中，

a為有效跳躍距離，f為嘗試逃逸頻率，Ea為空位遷移激活能，k為玻爾茲曼常數(shù)，T為溫度，q代表單位電荷量，v為外加電壓，g是缺氧層厚度，擴散時間為：

L表示初始富氧層寬度，n(T)為擴散系數(shù)，n0代表溫度趨近無窮大時的擴散系數(shù)，Eb為擴散激活能.改進后的憶阻器模型部分公式如下：

較之原模型，改進體現(xiàn)在如下方面：公式（10）為引入溫度變量后的氧空位有效遷移率微分方程；公式（12）為電導率保留值表達式；公式（13）為溫度有關的馳豫時間方程；μ，θ，ζ均為正常數(shù).基于改進的數(shù)學模型，在如圖3（a）藍色虛線所示的三角波電壓作用下，其電流隨時間變化如紅色實線所示，圖3（b）為憶阻器的典型捏滯回線，圖3（c）和圖3（d）表示氧空位有效遷移率ωm和電導率ωc在不同掃描周期的變化情況，證實改進的數(shù)學模型同樣可以實現(xiàn)原模型的功能.進一步，在不同數(shù)目的相同正脈沖作用下，其電導率和電導率保留值變化曲線如圖4所示，隨著刺激數(shù)目的增加，電導率保留值ωcn逐漸增加，導致在N=5/10/15時，電導率ωc衰減進入慢時程之后依次保持在0.33/0.36/0.38左右，即隨著外界刺激數(shù)目的增加，憶阻保留值升高，較之原模型電導率變化情況，顯然圖4更加契合實測遺忘曲線.

圖3 改進的憶阻器數(shù)學模型在連續(xù)正（負）掃描電壓下仿結(jié)果，T=300K（a）v-t，i-t曲線；（b）i-v曲線；（c）ωm-t曲線；（d）ωc-t曲線Fig.3 The simulation results of the improved WOx memristor with continuous positive（negative）input，T=300K（a）v-t，i-t curve；（b）i-v curve；（c）ωm-t curve；（d）ωc-t curve

圖4 改進的數(shù)學模型在不同外界刺激數(shù)目下的憶阻突觸遺忘曲線，T=300KFig.4 The memristive synaptic forgetting curve of the improved math?ematical model under different numbers of external stimulus，T=300K

2 溫度對憶阻突觸權(quán)值的影響

突觸傳遞是溫度敏感的，低溫時突觸前末端分泌的遞質(zhì)數(shù)量通常會減少，并且這種分泌發(fā)生所需的時間會增加.由于遞質(zhì)的釋放主要通過突觸前神經(jīng)元的去極化和隨后進入突觸末端的鈣離子量來控制，因此這些變量中的一個或兩個都可能與突觸傳遞的溫度敏感性有關.通過引入的公式（7）和公式（10），可以看出溫度上升引起氧空位遷移速率加快，類似于溫度升高對鈣離子分泌和運輸?shù)拇龠M作用［23］，新模型更加符合突觸傳遞的生理過程.因此本文分別采用憶阻器氧空位濃度和電導率ωc模擬生物突觸中的鈣離子濃度和突觸權(quán)重［19］.

進一步，我們仿真了在幅值1.1V持續(xù)時間1ms的單個脈沖刺激下，不同溫度下憶阻突觸權(quán)值的變化曲線圖，如圖5所示.仿真結(jié)果顯示，針對偏壓作用下離子遷移過程導致的憶阻電導率變化情況，當溫度處于270K至290K時，憶阻器權(quán)值變化較小，即低溫不敏感；當溫度在310K至330K之間遞增時，憶阻電導率明顯增大，即強烈的高溫依賴特性，該結(jié)果與離子遷移型的氧化鉭憶阻器的實測結(jié)果相一致［12］；針對溫度依賴的擴散過程，溫度越高擴散速率越大，弛豫時間越短，憶阻權(quán)值降低越快，該現(xiàn)象同樣符合氧化鋅憶阻器的實測結(jié)果［18］.由此可見，溫度是影響此種憶阻突觸權(quán)值的重要因素.

圖5 不同溫度下憶阻突觸權(quán)值變化曲線Fig.5 The curves of memristive synapse weight change under different temperatures

3 溫度對興奮性突觸后膜電位的影響

突觸是神經(jīng)元之間在功能上發(fā)生聯(lián)系的部位，也是信息傳遞的關鍵部位，按照功能可分為興奮性突觸和抑制性突觸，前者使突觸后細胞的興奮性上升，后者反之.文獻［23］通過對槍烏賊的巨型突觸進行生理測試，得到了不同溫度下的興奮性突觸后膜電位的變化情況，發(fā)現(xiàn)盡管降低了突觸前神經(jīng)元動作電位的幅值和持續(xù)時間，但隨著溫度升高，突觸后膜的的興奮性動作電位仍然明顯升高.眾所周知，減小突觸前神經(jīng)元動作電位的幅值和持續(xù)時間會誘使軸突末梢釋放較少的神經(jīng)遞質(zhì)，因此興奮性動作電位的上升必定是高溫誘發(fā)的.由此可見，在某種程度上，較之突觸前神經(jīng)元的去極化狀態(tài)，溫度對突觸傳遞的影響更大.

上文所述的氧化鎢憶阻器，可以模仿生物突觸的一系列可塑性，包括放電時間依賴可塑性（STDP）、雙脈沖易化（PPF）、STP、LTP以及相互轉(zhuǎn)換等.基于其電導變化率ωc在［0，1］之間，單個憶阻器只能模仿興奮性突觸的功能.本文采用單個憶阻器對兩個Hodkin-Huxley神經(jīng)元模型［24］進行單向耦和，電路原理圖如圖6所示.其中，對突觸前神經(jīng)元直接施加外部刺激電流致使其發(fā)生峰/簇放電行為，而突觸后神經(jīng)元所接收的刺激來自于憶阻突觸電流和外部刺激電流，數(shù)學模型描述如下：

圖6 基于憶阻器耦合的雙HH神經(jīng)元電路原理圖Fig.6 Schematic diagram of dual HH neurons circuit based on memristor coupling

微分方程組中，v1和v2分別表示突觸前和突觸后神經(jīng)元膜電位，iexti為外加刺激電流，isyn為突觸電流，ωc為突觸權(quán)重，正參數(shù)δ的引入是為了滿足憶阻突觸的工作電壓范圍.Cm為膜電容，gNa、gK分別為鈉通道、鉀通道最大電導，gL為漏電導；ENa、Ek、EL分別為鈉通道、鉀通道、漏通道的反轉(zhuǎn)電勢；m和n分別為鈉通道、鉀通道活化過程參數(shù)；h為鈉通道失活過程參數(shù).α函數(shù)和β函數(shù)是與膜電位有關而與時間無關的速率常數(shù).

憶阻器是初值敏感元件，其電導率取決于歷史電壓和電流，不同初始值對突觸后膜電位的影響十分顯著.突觸電流isyn隨著憶阻突觸權(quán)值初值ωc0的增大而增大，當外部刺激電流總和（iext2+isyn）超過8.8μA/cm2時，突觸后神經(jīng)元從靜息態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷诜宸烹姞顟B(tài)［25］.當iext1=9μA/cm2，iext2=8μA/cm2，溫度為300K時，突觸后膜電位最大值隨憶阻突觸權(quán)值初值變化的響應圖如圖7所示.當初值在0.1至0.85之間變化時，突觸后神經(jīng)元膜電位處于閾下振蕩狀態(tài)，初值超過0.85之后，神經(jīng)元處于周期峰放電狀態(tài).因本文主要研究溫度對興奮性突觸后膜電位的影響，為了避免初值選取不當造成的干擾，將初值的選取范圍控制在［0.1，0.8］之間.

圖7 突觸后膜電位隨憶阻突觸權(quán)值初值變化響應圖Fig.7 Response graph of postsynaptic membrane potential with initial value of memristive synaptic weight

當憶阻突觸的初始權(quán)值ωc0取值0.3，iext1等于9μA/cm2，iext2等于 0μA/cm2，開關 S 處于打開狀態(tài)時，突觸前和突觸后神經(jīng)元放電狀態(tài)如圖8所示，在無突觸電流輸入情況下，突觸后神經(jīng)元自發(fā)放電之后一直保持靜息電位.閉合開關S后，保持ωc0，iext1和iext2取值不變，溫度取值依次為T=290K、T=310K和T=330K，突觸后膜電位變化呈現(xiàn)如圖9（a）-圖9（c）所示的閾下振蕩狀態(tài)，隨著溫度升高，興奮性突觸后膜電位呈上升趨勢.為進一步闡述溫度對突觸后膜電位的影響，設定溫度在T=290K至330K之間遞增，仿真得到突觸后膜電位變化曲線，結(jié)果如圖10所示.在低于室溫時（290K-300K），此時興奮性突觸后膜電位升高不明顯.當溫度高于室溫時（310K-330K），興奮性突觸后膜電位明顯增大，該結(jié)果與高溫下（29℃-37℃）大鼠海馬組織切片中實測興奮性突觸后膜電位變化情況相一致［26］.因此，采用改進的溫度依賴型憶阻器模型可研究高溫對興奮性突觸后膜電位的影響，低溫情況下與生理實驗結(jié)果對比略顯不足.

圖8 開關S打開時突觸前/后神經(jīng)元的放電狀態(tài)Fig.8 The firing state of pre/post-synaptic neurons when switch S is turned off

圖9 不同溫度下的突觸后膜電位Fig.9 Postsynaptic membrane potential at different temperatures

圖10 不同溫度下的突觸后膜電位Fig.10 Postsynaptic membrane potential at different temperatures

當憶阻突觸的初始權(quán)值ωc0取值0.65，iext1=15sin(0.001t)μA/cm2，iext2=14sin(0.001t)μA/cm2，開關S處于打開狀態(tài)時，突觸前神經(jīng)元呈現(xiàn)周期性簇放電狀態(tài)，突觸后神經(jīng)元經(jīng)歷短暫的簇放電狀態(tài)之后轉(zhuǎn)變?yōu)殚撓抡袷帬顟B(tài)，變化情況如圖11所示.開關S閉合后，溫度取值依次為T=290K、T=310K和T=330K，突觸后膜電位變化情況如圖12（a）-圖12（c）所示，隨著溫度升高，突觸后神經(jīng)元放電次數(shù)逐漸減少，該結(jié)果同樣與生理實驗現(xiàn)象相符［27］.

圖11 開關S打開時突觸前/后神經(jīng)元的放電狀態(tài)Fig.11 The firing state of pre/post-synaptic neurons when switch S is turned off

圖12 不同溫度下的突觸后膜放電次數(shù)Fig.12 Number of postsynaptic membrane discharges at different temperatures

4 總結(jié)

本文在原氧化鎢憶阻器數(shù)學模型的基礎上，通過仿真呈現(xiàn)了其與憶阻器實測行為特性的差別，并考慮了溫度對離子遷移和擴散的影響，基于此，引入了憶阻保留值ωcn和溫度變量T.改進的模型不僅具有原模型的功能，并且可以擬合憶阻器的實際遺忘曲線以及符合同類型氧化物憶阻器的溫度敏感特性.進一步，將此憶阻器作為生物突觸耦合兩個相同的HH神經(jīng)元，通過對突觸前后神經(jīng)元施加不同的外部刺激電流，能夠體現(xiàn)溫度對突觸傳遞的影響，即溫度上升影響氧空位遷移和擴散速率，對應地引起興奮性突觸后膜電位的升高和放電次數(shù)的減少，數(shù)字仿真結(jié)果與神經(jīng)生理現(xiàn)象相符.改進的氧化鎢憶阻器模型更適合作為仿生突觸應用到神經(jīng)形態(tài)系統(tǒng)中，也為研究溫度對突觸傳遞的影響提供了一種新思路.