馬杰 高潔 獨盟盟 楊麗新

（陜西科技大學文理學院，西安 710021）

引言

在人工神經(jīng)網(wǎng)絡領域中，Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡一直是一類重要的神經(jīng)網(wǎng)絡模型，并且廣泛應用于聯(lián)想記憶、模式識別、數(shù)據(jù)儲存、保密通信等各個領域［1］.換個方面，從動力學角度來看的話，Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型是一個復雜的非線性系統(tǒng)，有著豐富的動力學行為，而這些豐富的動力學特性對網(wǎng)絡有著重要的影響［2］.文獻［3］介紹了神經(jīng)動力學在各個領域的發(fā)展及應用，以及利用神經(jīng)動力學來揭示神經(jīng)系統(tǒng)中的一些獨特現(xiàn)象和規(guī)律.

憶阻有著類似大腦神經(jīng)突觸在生物電信號激勵下的非線性電學特性，因此，憶阻可被用于模擬突觸，并用之來構建憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡.利用憶阻可實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡模型連接權重的可變性，能夠有效地模擬神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為［4-6］.根據(jù)法拉第電磁感應定律，細胞內(nèi)外的帶電離子穿越細胞膜會產(chǎn)生電磁感應效應.因此在傳統(tǒng)的神經(jīng)模型引入磁通變量并研究磁感應對電活動模式的影響更具有實際意義.利用磁控憶阻器來實現(xiàn)神經(jīng)元磁通量與膜電位之間的耦合，進一步來模擬神經(jīng)元間膜電位差引起的電磁感應電流［7］.電磁感應在調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)行為中起重要作用，而將憶阻突觸引入生物神經(jīng)網(wǎng)絡為揭示人腦神經(jīng)系統(tǒng)的記憶行為提供有用的線索［8］.

自突觸是神經(jīng)元連接自身的特殊結構，這種自突觸通常稱為電性自突觸，其對神經(jīng)元膜電位的調(diào)制可以表示為Iout=r(x(t-τ)-x(t))，r表示反饋增益，τ表示信號傳遞過程中引發(fā)的時滯.電自突觸能夠影響神經(jīng)元的放電行為，甚至誘發(fā)一類周期性、混沌放電等現(xiàn)象，此外還可以調(diào)控神經(jīng)元網(wǎng)絡群體的電活動規(guī)律以及神經(jīng)元之間的遷移［9］.而神經(jīng)元之間的信息表達和信息傳遞是通過動作電位實現(xiàn)的，因此在實現(xiàn)過程中難免會出現(xiàn)延遲的行為，時滯不僅會影響神經(jīng)元系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且也會在某些條件下誘發(fā)出復雜的動力學行為，故在神經(jīng)網(wǎng)絡中引入時滯具有重要的意義［10］.文獻［11］研究了含時滯的憶阻耦合HR神經(jīng)元系統(tǒng)，討論了平衡點的局部穩(wěn)定性以及時滯對神經(jīng)元系統(tǒng)動力學行為產(chǎn)生的影響.在神經(jīng)形態(tài)中，多穩(wěn)定性對神經(jīng)元的記憶以及信息處理都有著顯著的影響，因此從動力學角度來闡述系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，有助于深入解釋神經(jīng)動力學方面對腦功能的影響.

本文在文獻［12］的基礎上加入時滯，構建了一種由時滯誘發(fā)的四維憶阻HNN模型，在兩個神經(jīng)元之間引入了非理想憶阻突觸，探究零平衡點處系統(tǒng)的動力學，并且隨著時滯增加到一定程度時，系統(tǒng)只會誘導出周期解；分析系統(tǒng)隨憶阻耦合強度k產(chǎn)生的動力學行為變化，并且加入固定的時滯改變憶阻耦合強度來與無時滯時不同憶阻耦合強度下系統(tǒng)的動力學行為進行比較，觀察系統(tǒng)的動力學行為變化規(guī)律；發(fā)現(xiàn)在不同的憶阻耦合強度下，系統(tǒng)存在著周期極限環(huán)、混沌吸引子等動力學行為.

1 數(shù)學模型與穩(wěn)定性分析

1.1 數(shù)學模型

磁控憶阻突觸的數(shù)學模型［12］：

其中，φ為憶阻內(nèi)部狀態(tài)變量，W(φ)=kφ為憶導函數(shù)表達式，k為非理想憶阻耦合強度，UEM為神經(jīng)元之間的膜電位差，IEM為神經(jīng)元1和神經(jīng)元2之間膜電位差作用于非理想憶阻突觸所產(chǎn)生的磁感應電流.為了簡化分析，神經(jīng)元1和神經(jīng)元2保留完整的突觸連接，非理想憶阻突觸耦合位于神經(jīng)元1和神經(jīng)元2之間，電自突觸位于神經(jīng)元3上，基于文獻［12］的3神經(jīng)元HNN，將時滯加于神經(jīng)元3上，神經(jīng)元3僅與其他神經(jīng)元單向連接，則構建的時滯下憶阻突觸耦合的4維HNN的表達式為：

其中，xi為第i個神經(jīng)元的狀態(tài)，k為非理想憶阻突觸的耦合強度，雙曲正切函數(shù)tanh(xi)表示從第i個神經(jīng)元電壓輸入的神經(jīng)元激活函數(shù)，系數(shù)aij表示突觸權重，也就是表示兩個相鄰神經(jīng)元之間的連接強度，r表示電自突觸.

原點（0，0，0，0）為系統(tǒng)的零平衡點，則在零平衡點附近的線性化系統(tǒng)的特征方程為：

1.2 穩(wěn)定性與Hopf分岔

為確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先考慮τ=0的情況，當τ=0時，

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知，當Δi＞0時系統(tǒng)穩(wěn)定，其中，

當τ＞0時，若方程（3）有一對純虛特征根為λ=iw，則

分離實部與虛部，

則根據(jù)微分方程穩(wěn)定性與分岔理論［3］可知：當Δi＞0時有：

1.若式（5）無正實根，則系統(tǒng)的零平衡點是全時滯局部漸進穩(wěn)定.

2.若式（5）存在正實根，則存在某個常數(shù)τ0＞ 0，使得系統(tǒng)的零平衡點在τ∈ (0，τ0)內(nèi)是局部漸進穩(wěn)定的，并且系統(tǒng)在τ=τ0發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生周期運動，其中τ0=min(τi，j).

2 數(shù)值算例

取系統(tǒng)參數(shù)為a11=-0.1，a12=0.6，a31=0.1，a21=0.15，a22=0.2，a23=0.05，r=-2，k=-0.5.此時經(jīng)過計算可得Δ1=3.9＞0，Δ2=18.436＞0，Δ3=53.438＞0，Δ4=45.367＞0.根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知，系統(tǒng)的特征根均有負實部，那么零平衡點是局部漸進穩(wěn)定的.當τ＞0時，式（5）可寫為：

解得唯一正實根w=1.73191813，則由式（4）可得相應的一組臨界時滯τj=0.605，4.232，...根據(jù)定理可知：當τ∈[0，0.605]時，系統(tǒng)的零平衡點是漸進穩(wěn)定的，而當τ＞0.605時，系統(tǒng)的零平衡點是不穩(wěn)定的.因此，當τ=0.605時，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔.

給定初始條件為（1.2，0.5，-1.2，0.3），當時滯τ=0時，系統(tǒng)的響應圖（系統(tǒng)的時間序列曲線）如圖2所示.由圖2可知，當時滯τ=0時，此時系統(tǒng)在零平衡點處是漸近穩(wěn)定的.當τ=0.55和τ=0.606時，系統(tǒng)的響應圖如圖3所示.由圖3（a）可知，在τ=0.55時系統(tǒng)狀態(tài)收斂到零平衡點；在τ=0.606時，由圖3（b）可知系統(tǒng)在零平衡點失去穩(wěn)定性，出現(xiàn)了振蕩，這與定理的結論相一致.

圖1 基于非理想憶阻型突觸的HNN的連接拓撲Fig.1 Connection topology of HNN based on non-ideal memristive synapse

圖2 τ=0時的系統(tǒng)響應圖Fig.2 System response graph whenτ=0

圖3 τ=0.55及τ=0.606時的系統(tǒng)響應圖Fig.3 The system response diagram whenτ=0.55andτ=0.606

3 時滯和憶阻耦合強度對系統(tǒng)動力學的影響

3.1 時滯對系統(tǒng)在平衡點穩(wěn)定性的影響

當取系統(tǒng)參數(shù)為a11=-1，a12=4，a31=-5，a21=0.5，a22=-2，a23=3，r=0.5，k=-0.3時，系統(tǒng)給定初始值為（1.2，0.5，-1.2，0.3），做出不同時滯下系統(tǒng)的時間序列曲線以及x2-x3平面的相圖.

由圖4可知，當時滯τ=0.2時，系統(tǒng)在平衡點（0，0，0，0）是不穩(wěn)定的，此時系統(tǒng)發(fā)生周期振蕩.如圖5所示，當時滯為τ=0.8時，系統(tǒng)在平衡點（0，0，0，0）是局部漸進穩(wěn)定的，此時系統(tǒng)響應圖也表明系統(tǒng)在平衡點處是局部漸進穩(wěn)定的.

圖4 τ=0.2時的系統(tǒng)響應圖Fig.4 The system response diagram whenτ=0.2

圖5 τ=0.8時的系統(tǒng)響應圖Fig.5 The system response diagram whenτ=0.8

當時滯增加到τ=3.4時，圖6的系統(tǒng)響應圖與相圖表明此時系統(tǒng)在平衡點處是局部漸進穩(wěn)定的.由圖7可知，當時滯τ=10時，系統(tǒng)在平衡點（0，0，0，0）是不穩(wěn)定的，此時系統(tǒng)發(fā)生周期振蕩.由圖8可知，當時滯τ=13時，系統(tǒng)在平衡點（0，0，0，0）是不穩(wěn)定的，此時系統(tǒng)為概周期運動.

圖6 τ=3.4時的系統(tǒng)響應圖及在x2-x3平面的相圖Fig.6 The system response diagram whenτ=3.4and the phase diagram on thex2-x3plane

圖7 τ=10時的系統(tǒng)響應圖及在x2-x3平面的相圖Fig.7 The system response diagram whenτ=10and the phase diagram on thex2-x3plane

圖8 τ=13時的系統(tǒng)響應圖及在x2-x3平面的相圖Fig.8 The system response diagram whenτ=13and the phase diagram on thex2-x3plane

故由上可知，系統(tǒng)存在一組臨界時滯，當改變時滯時系統(tǒng)在零平衡點處的狀態(tài)也會有所不同，因此，隨著時滯的改變，系統(tǒng)的動力學行為也隨之改變.隨著時滯從零增大，系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡點、周期運動之間發(fā)生有限次切換，相應存在的一系列臨界時滯可由式（6）計算可得，并且在時滯增加到某個值之后，系統(tǒng)一直為周期運動.

3.2 時滯下系統(tǒng)隨憶阻耦合強度變化的動力學

文獻［12］給出了無時滯時系統(tǒng)在不同憶阻耦合強度下會產(chǎn)生多個不穩(wěn)定平衡點，說明系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌吸引子，且易產(chǎn)生依賴于狀態(tài)初值的多穩(wěn)定現(xiàn)象.若在系統(tǒng)中某個神經(jīng)元加入固定的時滯，通過改變憶阻耦合強度k來觀察系統(tǒng)的動力學行為變化.給定系統(tǒng)參數(shù)為a11=1.5，a21=2.8，a22=1.2，a23=-20，a31=0.5，a12=-1.5，r=0.5.由于系統(tǒng)對初值非常敏感，給定系統(tǒng)不同的初值（0，10-4，0，0）與（0，-10-4，0，0），取不同的憶阻耦合強度k，觀察兩組初值在x1-x3平面相圖的變化.

系統(tǒng)無時滯時，圖9（a）為憶阻耦合強度k=0時，系統(tǒng)在平面的相圖，此時系統(tǒng)存在共存的周期極限環(huán)；當憶阻耦合強度k=0.7時，如圖9（b）所示，此時系統(tǒng)存在共存的周期極限環(huán)和混沌吸引子；當憶阻耦合強度k=-0.4時，如圖9（c）所示，此時系統(tǒng)存在混沌吸引子.

圖9 τ=0時不同憶阻耦合強度下系統(tǒng)在x1-x3平面的相圖Fig.9 Phase diagram of the system in thex1-x3plane withτ=0and different memristive coupling strengths

當在系統(tǒng)中加入固定時滯τ=0.5，圖10（a）為憶阻耦合強度k=0時，系統(tǒng)在x1-x3平面的相圖，此時系統(tǒng)存在多周期極限環(huán)；當憶阻耦合強度k=0.7時，如圖10（b）所示，此時系統(tǒng)存在周期極限環(huán)；當憶阻耦合強度k=-0.4時，如圖10（c）所示，此時系統(tǒng)存在多周期極限環(huán).

圖10 τ=0.5時不同憶阻耦合強度下系統(tǒng)在x1-x3平面的相圖Fig.10 Phase diagram of the system in thex1-x3plane withτ=0.5and different memristive coupling strengths

在系統(tǒng)中加入固定時滯τ=2，圖11（a）為憶阻耦合強度k=0時，系統(tǒng)在x1-x3平面的相圖，此時系統(tǒng)存在周期極限環(huán)；當憶阻耦合強度k=0.7時，如圖11（b）所示，此時系統(tǒng)存在周期極限環(huán)；當憶阻耦合強度k=-0.4時，如圖11（c）所示，此時系統(tǒng)存在周期極限環(huán).

圖11 τ=2時不同憶阻耦合強度下系統(tǒng)在x1-x3平面的相圖Fig.11 Phase diagram of the system in thex1-x3plane withτ=2and different memristive coupling strengths

但是當時滯增加到τ=5時，此時系統(tǒng)在不同的憶阻耦合強度下的動力學又發(fā)生了變化，并且系統(tǒng)由τ=2時存在的周期極限環(huán)變?yōu)楦鼮閺碗s的多周期極限環(huán)、共存的周期極限環(huán)和混沌吸引子.

因此在系統(tǒng)無時滯時，系統(tǒng)的動力學行為是十分豐富的，例如存在混沌吸引子，共存的周期極限環(huán)和混沌吸引子等.但是給系統(tǒng)加入固定時滯后，在不同的憶阻耦合強度下系統(tǒng)的動力學行為也發(fā)生了改變.

4 總結

本文研究了含有時滯的憶阻突觸耦合型Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡，根據(jù)特征方程的根分布情況得到了系統(tǒng)在零平衡點處的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)失穩(wěn)時發(fā)生Hopf分岔的時滯條件.探究了時滯以及憶阻耦合強度對系統(tǒng)動力學行為的影響，并通過數(shù)值模擬揭示了多種有趣的動力學現(xiàn)象，如混沌吸引子、周期極限環(huán)等.

圖12 τ=5時不同憶阻耦合強度下系統(tǒng)在x1-x3平面的相圖Fig.12 Phase diagram of the system in thex1-x3plane with andτ=5different memristive coupling strengths