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        基于應(yīng)變測(cè)量的彈性薄板變形場(chǎng)重構(gòu)方法

        2022-01-06 10:39:08張佳明王文瑞
        實(shí)驗(yàn)室研究與探索 2021年11期
        關(guān)鍵詞:迭代法薄板曲率

        張佳明, 王文瑞, 陸 宇

        (北京科技大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院;b.流體與材料相互作用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100083)

        0 引 言

        目前世界許多國(guó)家都在爭(zhēng)先發(fā)展航天事業(yè),對(duì)外太空展開更深層次的探索與研究,因此對(duì)在軌衛(wèi)星提出更高的要求,導(dǎo)致衛(wèi)星結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜化和微型化,使得衛(wèi)星結(jié)構(gòu)狀態(tài)哪怕是細(xì)微的變化也越來(lái)越受到關(guān)注[1-2]。星敏感器作為星上最精密的測(cè)量部件,對(duì)衛(wèi)星的姿態(tài)測(cè)量和控制非常重要,星敏安裝板是星敏感器的重要支撐部件,安裝板的輕微變形將影響整個(gè)系統(tǒng)的控制精度,成為潛在的危險(xiǎn)因素[3-4]。由于受空間條件和工作環(huán)境的影響,難以通過(guò)位移傳感器直接測(cè)量安裝板的變形?;诠鈱W(xué)成像的非接觸式變形測(cè)量受到光路布置與星體振動(dòng)的影響,同樣受到限制[5-7],光纖布拉格光柵(FBG)的傳感器具有體積小、抗電磁干擾,能進(jìn)行多參量分布式測(cè)量等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于航空航天測(cè)量。

        隨著結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測(cè)技術(shù)的發(fā)展,應(yīng)變監(jiān)測(cè)的變形場(chǎng)重構(gòu)算法引起了人們廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[8-10]中基于離散應(yīng)變測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行積分來(lái)估算梁的變形位移,稱之為KO位移理論法。Amal等[11]提出了一種基于Delaunay三角剖分的非曲線重構(gòu)方法。Adnan等[12]結(jié)合海洋工程中的逆向有限元方法,提出了一種4節(jié)點(diǎn)四邊形反殼單元(iQS4),用于監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力。Armen等[13]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和有限元分析的方法對(duì)比分析模態(tài)轉(zhuǎn)換方法對(duì)于星敏安裝板結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)精度的影響。在國(guó)內(nèi),劉蘇州等[14]利用3次B樣條插值函數(shù)重構(gòu)了梁的應(yīng)變場(chǎng)。王勇則[15]基于B樣條插值方法開展了矩形梁的動(dòng)力學(xué)特性分析。許世龍[16]利用Kirchhoff薄板理論對(duì)大型雷達(dá)天線陣面變形場(chǎng)進(jìn)行了重構(gòu)。袁慎芳[17]利用KO變形理論并結(jié)合光纖光柵技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)梁式機(jī)翼變形監(jiān)測(cè)方法展開研究,并根據(jù)有限元分析結(jié)果驗(yàn)證變形重構(gòu)方法的準(zhǔn)確性。

        然而,上述重構(gòu)方法對(duì)應(yīng)變傳感器數(shù)量要求較高,難以實(shí)現(xiàn)特定約束條件的結(jié)構(gòu)三維變形重構(gòu)。同時(shí),現(xiàn)有的基于曲率的變形重構(gòu)方法僅適用于小撓度變形,而薄板容易產(chǎn)生大撓度變形。因此,上述重構(gòu)方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足工程測(cè)量要求。本文采用幾何模型分析、實(shí)驗(yàn)監(jiān)測(cè)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法解決彈性薄板的撓曲變形問題。通過(guò)推導(dǎo)應(yīng)變-曲率-變形的關(guān)系并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,提出了基于應(yīng)變監(jiān)測(cè)的變形場(chǎng)重構(gòu)方法。該方法將為薄板變形測(cè)量在工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供重要依據(jù)。

        1 曲率迭代法的變形場(chǎng)重構(gòu)算法

        本研究對(duì)象是一塊四邊固定、中間加載的彈性薄板,尺寸為1 000 mm×1 000 mm×3 mm。圖1所示為薄板受力示意圖,星敏支架和星敏感器主要對(duì)安裝板施加垂直于薄板表面的橫向載荷,本文主要研究薄板承受橫向載荷作用下的z向變形問題。

        圖1 彈性薄板受力示意圖

        彈性薄板的變形與梁結(jié)構(gòu)不同,受多邊約束,受力狀態(tài)復(fù)雜,彈性薄板在側(cè)向荷載作用下具有以下變形模式:①最大變形小于板厚的1/5時(shí),薄板受到較小的撓度變形。在這種情況下,彈性薄板的變形完全是由彎曲引起的,也稱純彎曲變形。此時(shí),薄板的表面應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變。②最大變形大于板厚的1/5時(shí),薄板受到較大的撓度變形。在這種情況下,彈性薄板的變形是由拉伸和彎曲共同引起的,也稱為大撓度變形。此時(shí),薄板的表面應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)力和拉應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變。本文分別研究了小撓度和大撓度變形場(chǎng)的重構(gòu)算法。

        1.1 小撓度變形的曲率迭代法

        小撓度變形屬于純彎曲變形,從幾何角度看,變形曲線可以通過(guò)曲率法間接得到。首先分析應(yīng)變與曲率的關(guān)系,然后通過(guò)幾何推導(dǎo)得到曲率與變形的關(guān)系。這樣便可以間接得到應(yīng)變與變形的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)變形場(chǎng)的重構(gòu)。

        圖2所示為薄板純彎曲變形前、后的截面圖。圖中:s為彎曲前長(zhǎng)度,mm;h為彈性板厚度,mm;ρ為純彎曲變形后的曲率半徑,mm;θ為彎曲變形后的圓心角。

        圖2 薄板純彎曲變形截面圖

        假設(shè)上表面的延伸率為Δs,則上表面的應(yīng)變

        因?yàn)橹行悦娴拈L(zhǎng)度在純彎曲變形前后無(wú)變化,根據(jù)圓心角之間的關(guān)系,得到:

        假設(shè)曲率為K,根據(jù)曲率與曲率半徑的關(guān)系,得到:

        根據(jù)式(1)、(3)可推導(dǎo)出應(yīng)變與曲率的關(guān)系,

        在應(yīng)變測(cè)量實(shí)驗(yàn)中,應(yīng)變傳感器以陣列的形式布置在彈性板表面,應(yīng)變傳感器陣列為平行線,每條平行線設(shè)置一個(gè)應(yīng)變測(cè)點(diǎn)。以一條直線上i個(gè)離散點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)閷?duì)象,將離散點(diǎn)的應(yīng)變轉(zhuǎn)化為離散點(diǎn)的曲率。然后用逐點(diǎn)迭代法計(jì)算每個(gè)離散曲率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)位置,重構(gòu)曲線變形。這一過(guò)程在本文中稱為曲率迭代法,圖3所示為曲率迭代法的示意圖。最后,對(duì)幾條變形曲線進(jìn)行擬合,得到整個(gè)薄板表面的變形曲面。

        圖3 曲率迭代法原理圖

        由圖3可知,第1個(gè)離散點(diǎn)P1的圓心和坐標(biāo)表達(dá)式為:

        式中,θ1=s/(2 ρ1)。

        根據(jù)P1點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,第2個(gè)離散點(diǎn)P2的中心和坐標(biāo)的表達(dá)式為:

        式中,θ2=θ1+s/(2 ρ2)。

        根據(jù)點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)表達(dá)式,第i個(gè)離散點(diǎn)的圓心和坐標(biāo)的表達(dá)式分別為:

        式中,θi=θi-1+S/(2ρi)。由上述公式可以得到薄板離散點(diǎn)的坐標(biāo),擬合得到薄板的變形面。

        上文所述的曲率迭代法通過(guò)Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn),通過(guò)數(shù)值模擬得到了一組薄板的應(yīng)變數(shù)據(jù)。由圖4可以看出,變形規(guī)律符合端部固定、中間加載的特點(diǎn)。

        圖4 小撓度變形下的應(yīng)變與變形曲線

        1.2 大撓度變形的曲率迭代法

        大撓度變形考慮了中性面的拉、壓應(yīng)變,屬于非純彎曲變形。對(duì)于大撓度變形,曲率迭代法會(huì)產(chǎn)生誤差,且誤差具有一定的規(guī)律性。在大撓度下,曲率迭代法的整體結(jié)果偏大,且隨迭代次數(shù)和荷載的增加而更加明顯。針對(duì)這種誤差,本文提出了一種沉降校正方法。 圖5所示為沉降校正方法的原理圖。首先,根據(jù)誤差規(guī)律設(shè)置校正函數(shù),曲率迭代法完成后,將每個(gè)點(diǎn)的變形結(jié)果減去修正函數(shù)對(duì)應(yīng)值,即:

        圖5 沉降校正算法原理圖

        式中:esk為下沉值,mm;i為離散點(diǎn)數(shù)列;am為動(dòng)態(tài)迭代因子;bm為靜態(tài)迭代因子。

        由于曲率迭代法的誤差也與荷載大小有關(guān),僅用一個(gè)修正函數(shù)很難滿足精度要求,因此,沉降校正算法采用迭代的方法,即由小到大的迭代,直到滿足誤差要求。

        圖6所示為帶沉降修正函數(shù)的曲率迭代法流程圖,校正過(guò)程中,校正程度隨am值的增加而增加,通過(guò)設(shè)置最大允許誤差為最后迭代點(diǎn)。理論上,四邊固定的薄板的四邊變形為0,因此可以通過(guò)4個(gè)邊的變形量來(lái)控制重構(gòu)算法的精度。

        圖6 沉降校正算法流程圖

        基于沉降校正的曲率迭代算法通過(guò)Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn),通過(guò)數(shù)值模擬得到了一組大撓度變形時(shí)的應(yīng)變數(shù)據(jù)。在曲率迭代法計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上,增加了修正環(huán)節(jié),得到了修正結(jié)果。由圖7可以看出,校正前的結(jié)果明顯大于校正后的結(jié)果,通過(guò)沉降校正算法可以大大減小曲率迭代法處理大撓度變形時(shí)的誤差。

        圖7 大撓度變形下的應(yīng)變與變形曲線

        2 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)與應(yīng)變場(chǎng)重建

        2.1 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

        變形場(chǎng)重構(gòu)算法中的應(yīng)變數(shù)據(jù)需要將應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)獲得的信息作為變形場(chǎng)重構(gòu)的輸入,圖8所示為應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)備圖。

        圖8 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

        實(shí)驗(yàn)使用BX120-5AA型應(yīng)變片與INV3062S/V型24位動(dòng)態(tài)信號(hào)采集系統(tǒng)測(cè)量薄板表面的應(yīng)變。使用精度為0.01 mm的SYA1704569型位移傳感器測(cè)量薄板的變形,用于驗(yàn)證應(yīng)變重構(gòu)變形場(chǎng)的準(zhǔn)確性,而位移傳感器受空間限制在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)法使用。

        利用精度為50 mg的砝碼對(duì)薄板加載,根據(jù)加載位置的不同,將試驗(yàn)分為中心點(diǎn)(Q1)加載和任意點(diǎn)(Q2)進(jìn)行加載,加載位置分別為(500,500)和(300,700),載荷大小設(shè)置為100、150、200和250 N。

        為了能夠通過(guò)盡可能少的應(yīng)變測(cè)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)面的應(yīng)變場(chǎng),通過(guò)多次試驗(yàn),得到了根據(jù)薄板在兩個(gè)不同加載位置的表面應(yīng)變分布規(guī)律得到的測(cè)點(diǎn)分布方案,如圖9所示。

        圖9 應(yīng)變測(cè)點(diǎn)布置方案

        2.2 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

        以中心點(diǎn)加載為例,應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示,圖中為11個(gè)測(cè)點(diǎn)隨荷載增加的應(yīng)變變化情況。可以看出,所有測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變值隨荷載增加而增大,測(cè)點(diǎn)8、9靠近中心加載點(diǎn)Q1,應(yīng)變值較大。由于測(cè)點(diǎn)相對(duì)于直線x=500對(duì)稱分布,測(cè)點(diǎn)應(yīng)變值兩兩相近。測(cè)點(diǎn)1、2、4、5、6、11靠近固定邊,上表面受到壓應(yīng)變,其余測(cè)點(diǎn)受到拉應(yīng)變。

        圖10 中心點(diǎn)加載下應(yīng)變監(jiān)測(cè)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

        通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到安裝板離散點(diǎn)應(yīng)變數(shù)據(jù)之后,還需要獲取整個(gè)安裝板表面的應(yīng)變場(chǎng),從而得到更為詳細(xì)的應(yīng)變信息,以便作為變形場(chǎng)重構(gòu)算法的輸入量。本文采用反距離加權(quán)法,對(duì)平面上各個(gè)離散點(diǎn)應(yīng)變進(jìn)行插值重構(gòu)得到應(yīng)變場(chǎng),算法原理如圖11所示。

        圖11 反距離加權(quán)平均法原理圖

        反距離加權(quán)法基于測(cè)量應(yīng)變數(shù)據(jù)求解平面其他點(diǎn)應(yīng)變,計(jì)算過(guò)程如下:

        式中:dk為待求點(diǎn)與第k已知點(diǎn)的距離,mm;xk為已知點(diǎn)橫坐標(biāo)值,mm;yk為已知點(diǎn)縱坐標(biāo)值,mm;x為待求點(diǎn)橫坐標(biāo)值,mm;y為待求點(diǎn)縱坐標(biāo)值,mm。k=1,2,…,n。

        假設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為未知點(diǎn)的應(yīng)變,那么該函數(shù)的表達(dá)式為:

        式中,zk為已知點(diǎn)k的應(yīng)變。

        3 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

        基于上述重構(gòu)方法,利用Matlab軟件編制了薄板應(yīng)變、變形場(chǎng)重構(gòu)軟件,在軟件中輸入薄板尺寸、計(jì)算模式(大撓度/小撓度),將應(yīng)變測(cè)量實(shí)驗(yàn)中測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)以及測(cè)量結(jié)果讀取到軟件中,點(diǎn)擊“計(jì)算START”,即可直接輸出薄板應(yīng)變場(chǎng)云圖和重構(gòu)變形曲面,如圖12所示。

        圖12 薄板應(yīng)變、變形場(chǎng)重構(gòu)軟件界面

        以能保證重構(gòu)完整性同時(shí)盡量降低計(jì)算量為原則,經(jīng)過(guò)多次不同維度的重構(gòu)試驗(yàn),最終選擇重構(gòu)的插值維度為20×300。圖13、14所示為各加載工況下通過(guò)反距離加權(quán)平均法得到的星敏安裝板下表面應(yīng)變?cè)茍D。不管是中心點(diǎn)加載還是任意點(diǎn)加載工況,薄板下表面的加載位置周圍受拉應(yīng)變,靠近四邊處受壓應(yīng)變,隨著載荷增大,應(yīng)變整體增大但分布規(guī)律不變。

        圖13 中心點(diǎn)荷載應(yīng)變?cè)茍D

        在得到應(yīng)變場(chǎng)的基礎(chǔ)上,利用曲率迭代法將應(yīng)變場(chǎng)轉(zhuǎn)化為變形場(chǎng),并進(jìn)行沉降校正,圖15、16所示為各加載工況下的變形場(chǎng)重構(gòu)曲面。

        通過(guò)位移傳感器直接測(cè)量薄板變形,對(duì)薄板變形場(chǎng)重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。從圖15、16可以看出,薄板的最大變形點(diǎn)出現(xiàn)在加載位置,因此將位移傳感器放置在加載位置,測(cè)量薄板在實(shí)驗(yàn)加載條件下的變形,表1、2為重構(gòu)結(jié)果與直接測(cè)量結(jié)果的對(duì)比表。

        圖14 任意點(diǎn)荷載應(yīng)變?cè)茍D

        圖15 中心點(diǎn)荷載作用下的變形曲面圖

        圖16 任意點(diǎn)荷載作用下的變形曲面圖

        表1 中心點(diǎn)加載結(jié)果對(duì)比

        表2 任意點(diǎn)加載結(jié)果對(duì)比

        從表1、2所示重構(gòu)算法精度驗(yàn)證結(jié)果可知,重構(gòu)誤差隨載荷增大而降低,中心加載點(diǎn)的重構(gòu)誤差為4.85%~5.12%,平均誤差為3.92%,任意加載點(diǎn)的重構(gòu)誤差為3.81%~6.21%,平均誤差為4.95%,且中心加載點(diǎn)各載荷下重構(gòu)誤差均小于任意加載點(diǎn)。

        4 結(jié) 語(yǔ)

        (1)推導(dǎo)了薄板表面應(yīng)變與曲率的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,提出了一種曲率迭代法重建薄板變形場(chǎng),針對(duì)大撓度變形的非線性問題,提出了一種基于曲率迭代法的沉降校正算法。

        (2)搭建了應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),確定了應(yīng)變測(cè)點(diǎn)布置方案和加載條件,開展了薄板應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn),并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了整個(gè)薄板表面的應(yīng)變場(chǎng)。

        (3)利用Matlab編程實(shí)現(xiàn)了帶修正函數(shù)的曲率迭代法薄板變形場(chǎng)重構(gòu),得到了薄板在不同工況下的應(yīng)變場(chǎng)與變形場(chǎng)。在中心點(diǎn)加載和任意點(diǎn)加載條件下的平均重構(gòu)誤差分別為3.92%和4.95%,證明該方法適用于四邊固定的彈性薄板變形場(chǎng)的監(jiān)測(cè),為薄板結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測(cè)提供了思路。

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