周 政，鄒懷武，儲駐港，鐘 樓，湯奇榮

（1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 機(jī)器人技術(shù)與多體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201108）

0 引言

隨著空間在軌服務(wù)技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)械臂越來越多地被應(yīng)用到航天器的維修、維護(hù)等任務(wù)之中。在空間站中，為了增加機(jī)械臂的操作空間，有時將其安裝在移動基座上。移動基座先將機(jī)械臂移動至目標(biāo)工作區(qū)域后鎖緊，再由機(jī)械臂進(jìn)行更加精細(xì)的操作。然而機(jī)械臂在運(yùn)動過程中會不可避免地對基座產(chǎn)生反作用力，使得基座產(chǎn)生振動從而影響機(jī)械臂的操作精度。為了保證機(jī)械臂能夠平穩(wěn)操作，需要消除或者補(bǔ)償對基座的反作用力以及力矩。對于柔性基座與機(jī)械臂系統(tǒng)的控制策略，共有3 類方法：第1 種方法，從反作用力入手，該方法通過規(guī)劃1 條對基座產(chǎn)生反作用力最小的路徑或者設(shè)計控制輸入，從而有效地減少對基座的擾動，比如耦合圖、反作用零空間法，但這類方法在受到外部擾動、基座產(chǎn)生振動的情況下不再適用。第2種方法，從機(jī)械臂控制入手，利用機(jī)械臂的運(yùn)動來消除基座振動，這種方法存在一系列的缺點(diǎn)，比如控制方法的切換會帶來力矩的突變，從而使得末端偏離穩(wěn)態(tài)位置，對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性能的要求也更高。第3 種方法，從基座的振動控制入手，通過設(shè)計系統(tǒng)輸入，在實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤的同時實(shí)現(xiàn)基座的振動控制，比如主動阻尼控制、慣性阻尼控制。慣性阻尼控制需要知道系統(tǒng)的頻率特性，但不同的工作位置系統(tǒng)的頻率特性不同。主動阻尼控制需要獲取加速度反饋以及系統(tǒng)的慣性矩陣，但基座運(yùn)動與機(jī)械臂運(yùn)動可以得到有效解耦，系統(tǒng)可以保持良好的魯棒性。

本文針對主動阻尼控制中系統(tǒng)慣性矩陣估計的問題，利用參數(shù)辨識的方法，以獲取系統(tǒng)慣性矩陣較為準(zhǔn)確的估計值，并在原始主動阻尼控制的基礎(chǔ)上，添加基座位移補(bǔ)償項(xiàng)以改進(jìn)抑振效果。最后通過仿真驗(yàn)證，得到基座振動抑制以及機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡跟蹤結(jié)果。

1 柔性基座機(jī)械臂的動力學(xué)模型與參數(shù)辨識

1.1 柔性基座機(jī)械臂耦合系統(tǒng)建模

柔性基座機(jī)械臂系統(tǒng)簡化模型如圖1 所示，系統(tǒng)由1 個基座與2 關(guān)節(jié)機(jī)械臂組成。

圖1 柔性基座機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1 Flexible base manipulator system

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，基座的柔性占主要因素，將機(jī)械臂視為剛性，柔性基座為彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，考慮平移位移，忽略旋轉(zhuǎn)位移。圖中，

C

為機(jī)械臂的質(zhì)心，

m

為基座的質(zhì)量，

K

為彈簧的剛度系數(shù)，

C

為阻尼系數(shù)。

基于這些假設(shè)，通過Lagrange 方程建立動力學(xué)模型如下：

1.2 機(jī)械臂參數(shù)辨識

一般的機(jī)械臂動力學(xué)模型如下：

這類模型可以轉(zhuǎn)化為機(jī)械臂慣性參數(shù)的線性函數(shù)，通過采集機(jī)械臂的運(yùn)動數(shù)據(jù)，從而建立慣性參數(shù)的線性方程組，這樣機(jī)械臂參數(shù)辨識的問題便轉(zhuǎn)化為解線性方程組問題，即

此外，參數(shù)辨識的精度與機(jī)械臂運(yùn)動軌跡有關(guān)，機(jī)械臂按照預(yù)定軌跡運(yùn)動時需要到達(dá)盡可能多的位姿和更好的參數(shù)辨識效果。有限項(xiàng)傅里葉級數(shù)軌跡常作為機(jī)械臂參數(shù)辨識的激勵軌跡，采用如下公式作為各個關(guān)節(jié)的激勵軌跡：

式中：

a

、

b

、

q

分別為傅里葉級數(shù)正弦項(xiàng)、余弦項(xiàng)系數(shù)、關(guān)節(jié)補(bǔ)償。

2 控制方案

2.1 機(jī)械臂與基座運(yùn)動解耦

為了能夠?qū)C(jī)械臂的運(yùn)動與基座運(yùn)動解耦，從而分別對其控制，需要對機(jī)械臂的慣性矩陣進(jìn)行估計。將估計值代入式（1）中的第2 行，得到

此估計值可由之前參數(shù)辨識所獲得的結(jié)果得出，顯示表達(dá)式為

式中：

τ

為前一個采樣時刻點(diǎn)的力矩數(shù)據(jù)，在采樣頻率很高的條件下，可以認(rèn)為

τ

≈

τ

。

結(jié)合式（1）與式（8），將系統(tǒng)慣性矩陣求逆，改寫系統(tǒng)動力學(xué)方程為

由式（9）可見，機(jī)械臂的運(yùn)動與基座運(yùn)動基本解耦，兩者的運(yùn)動同時由控制系統(tǒng)輸入

u

決定。

2.2 系統(tǒng)控制律設(shè)計

一個系統(tǒng)輸入

u

需要同時控制2 個變量

x

與

q

，定義

u

由2 個部分組成：

式中：

u

(

x

)主要作用于基座運(yùn)動；

u

(

q

)主要作用于機(jī)械臂運(yùn)動。

機(jī)械臂軌跡跟蹤控制律的設(shè)計利用經(jīng)典的計算力矩法的思想得出

相比基座運(yùn)動的頻率，機(jī)械臂的運(yùn)動控制頻率高得多，機(jī)械臂運(yùn)動誤差可以更快地得到收斂。此時

u

(

x

)可以當(dāng)作一個常數(shù)，原始的主動阻尼控制原理中基座運(yùn)動控制輸入為

式中：

K

為阻尼控制系數(shù)。

最后合并

u

(

q

)和

u

(

x

)，得到總控制律為

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

考慮如圖1 所示的機(jī)械臂系統(tǒng)，機(jī)械臂實(shí)際參數(shù)以及基座的等效模型參數(shù)見表1。在仿真過程中，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動采用5 階多項(xiàng)式，每個關(guān)節(jié)從0 rad 運(yùn)動到2 rad，初始和結(jié)束時刻速度與加速度為0，運(yùn)動時間為3 s，并在Simulink 中進(jìn)行控制效果的驗(yàn)證。

表1 機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the manipulator system

3.1 參數(shù)辨識結(jié)果

鑒于慣性參數(shù)集是非時變的，根據(jù)機(jī)械臂按照激勵軌跡運(yùn)動的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法進(jìn)行估計，辨識結(jié)果見表2。

表2 參數(shù)辨識結(jié)果Tab.2 Results of the parameter identification

此外，利用慣性參數(shù)的估計值進(jìn)行力矩值計算，將各個關(guān)節(jié)的實(shí)際力矩與理論力矩進(jìn)行對比，以驗(yàn)證辨識效果，對比結(jié)果如圖2 所示。關(guān)節(jié)1 的平均力矩誤差不超過10%，關(guān)節(jié)2 的平均力矩誤差不超過2%，動力學(xué)參數(shù)辨識的結(jié)果可以用作后續(xù)慣性矩陣的估計。

圖2 參數(shù)辨識效果驗(yàn)證Fig.2 Verification of the parameter identification

3.2 基座抑振控制結(jié)果

不同控制律下的基座的位移圖像如圖3 所示，可以清楚地看出機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動給基座施加了一個用于抑制的阻尼力，根據(jù)參數(shù)辨識獲取的慣性矩陣可以反映出系統(tǒng)的基本特性，以此設(shè)計的基座控制器抑振效果明顯。此外添加基座位移補(bǔ)償項(xiàng)后，雖然在機(jī)械臂運(yùn)動過程中局部振幅變大，但在運(yùn)動結(jié)束后的誤差收斂速度明顯優(yōu)于改進(jìn)前的控制律，同時穩(wěn)態(tài)誤差減小了不少。

圖3 改進(jìn)前后控制律下基座位移響應(yīng)Fig.3 Base displacement responses under the classical and improved control laws

機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差的情況如圖4 和圖5所示。

圖4 不同控制律下關(guān)節(jié)1 角度誤差對比Fig.4 Angle errors of Joint1 under the classical and improved control laws

圖5 不同控制律下關(guān)節(jié)2 角度誤差對比Fig.5 Angle errors of Joint2 under the classical and improved control laws

實(shí)際上用于基座抑振的機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動是在一個范圍內(nèi)左右擺動，以此產(chǎn)生相當(dāng)于阻尼的效果，并且擺動的范圍很小，基本不影響機(jī)械臂的正常操作任務(wù)。圖中也給出了控制律改進(jìn)前后的關(guān)節(jié)角度誤差對比，可見添加了基座位移補(bǔ)償項(xiàng)后獲得了更高的軌跡跟蹤性能，誤差收斂得更快，在運(yùn)動結(jié)束的3 s 左右就完成了基座抑振目標(biāo)，而改進(jìn)前需要更長的時間。

4 結(jié)束語

主動阻尼控制實(shí)質(zhì)上是利用機(jī)械臂的左右擺動產(chǎn)生基座抑振的阻尼力，從而完成柔性基座的控制任務(wù)。這類方法控制律設(shè)計簡單，并且能夠保證關(guān)節(jié)空間軌跡跟蹤精度。本文以2 自由度機(jī)械臂與彈簧-質(zhì)量-阻尼的耦合模型為基礎(chǔ)，通過在原始的主動阻尼控制律中加入基座位移補(bǔ)償量，并利用參數(shù)辨識的方法估計慣性矩陣。驗(yàn)證結(jié)果表明，改進(jìn)后的控制律能夠以更快的速度達(dá)到誤差收斂，達(dá)到了柔性基座振動抑制的目的，證明了方法的有效性，對于拓展到空間大型柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有較好的參考價值。