周 政，鄒懷武，儲(chǔ)駐港，鐘 樓，湯奇榮

（1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 機(jī)器人技術(shù)與多體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201108）

0 引言

隨著空間在軌服務(wù)技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)械臂越來(lái)越多地被應(yīng)用到航天器的維修、維護(hù)等任務(wù)之中。在空間站中，為了增加機(jī)械臂的操作空間，有時(shí)將其安裝在移動(dòng)基座上。移動(dòng)基座先將機(jī)械臂移動(dòng)至目標(biāo)工作區(qū)域后鎖緊，再由機(jī)械臂進(jìn)行更加精細(xì)的操作。然而機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)不可避免地對(duì)基座產(chǎn)生反作用力，使得基座產(chǎn)生振動(dòng)從而影響機(jī)械臂的操作精度。為了保證機(jī)械臂能夠平穩(wěn)操作，需要消除或者補(bǔ)償對(duì)基座的反作用力以及力矩。對(duì)于柔性基座與機(jī)械臂系統(tǒng)的控制策略，共有3 類(lèi)方法：第1 種方法，從反作用力入手，該方法通過(guò)規(guī)劃1 條對(duì)基座產(chǎn)生反作用力最小的路徑或者設(shè)計(jì)控制輸入，從而有效地減少對(duì)基座的擾動(dòng)，比如耦合圖、反作用零空間法，但這類(lèi)方法在受到外部擾動(dòng)、基座產(chǎn)生振動(dòng)的情況下不再適用。第2種方法，從機(jī)械臂控制入手，利用機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)來(lái)消除基座振動(dòng)，這種方法存在一系列的缺點(diǎn)，比如控制方法的切換會(huì)帶來(lái)力矩的突變，從而使得末端偏離穩(wěn)態(tài)位置，對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性能的要求也更高。第3 種方法，從基座的振動(dòng)控制入手，通過(guò)設(shè)計(jì)系統(tǒng)輸入，在實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤的同時(shí)實(shí)現(xiàn)基座的振動(dòng)控制，比如主動(dòng)阻尼控制、慣性阻尼控制。慣性阻尼控制需要知道系統(tǒng)的頻率特性，但不同的工作位置系統(tǒng)的頻率特性不同。主動(dòng)阻尼控制需要獲取加速度反饋以及系統(tǒng)的慣性矩陣，但基座運(yùn)動(dòng)與機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)可以得到有效解耦，系統(tǒng)可以保持良好的魯棒性。

本文針對(duì)主動(dòng)阻尼控制中系統(tǒng)慣性矩陣估計(jì)的問(wèn)題，利用參數(shù)辨識(shí)的方法，以獲取系統(tǒng)慣性矩陣較為準(zhǔn)確的估計(jì)值，并在原始主動(dòng)阻尼控制的基礎(chǔ)上，添加基座位移補(bǔ)償項(xiàng)以改進(jìn)抑振效果。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證，得到基座振動(dòng)抑制以及機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡跟蹤結(jié)果。

1 柔性基座機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型與參數(shù)辨識(shí)

1.1 柔性基座機(jī)械臂耦合系統(tǒng)建模

柔性基座機(jī)械臂系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖1 所示，系統(tǒng)由1 個(gè)基座與2 關(guān)節(jié)機(jī)械臂組成。

圖1 柔性基座機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1 Flexible base manipulator system

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，基座的柔性占主要因素，將機(jī)械臂視為剛性，柔性基座為彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，考慮平移位移，忽略旋轉(zhuǎn)位移。圖中，

C

為機(jī)械臂的質(zhì)心，

m

為基座的質(zhì)量，

K

為彈簧的剛度系數(shù)，

C

為阻尼系數(shù)。

基于這些假設(shè)，通過(guò)Lagrange 方程建立動(dòng)力學(xué)模型如下：

1.2 機(jī)械臂參數(shù)辨識(shí)

一般的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型如下：

這類(lèi)模型可以轉(zhuǎn)化為機(jī)械臂慣性參數(shù)的線性函數(shù)，通過(guò)采集機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，從而建立慣性參數(shù)的線性方程組，這樣機(jī)械臂參數(shù)辨識(shí)的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為解線性方程組問(wèn)題，即

此外，參數(shù)辨識(shí)的精度與機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡有關(guān)，機(jī)械臂按照預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)需要到達(dá)盡可能多的位姿和更好的參數(shù)辨識(shí)效果。有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)軌跡常作為機(jī)械臂參數(shù)辨識(shí)的激勵(lì)軌跡，采用如下公式作為各個(gè)關(guān)節(jié)的激勵(lì)軌跡：

式中：

a

、

b

、

q

分別為傅里葉級(jí)數(shù)正弦項(xiàng)、余弦項(xiàng)系數(shù)、關(guān)節(jié)補(bǔ)償。

2 控制方案

2.1 機(jī)械臂與基座運(yùn)動(dòng)解耦

為了能夠?qū)C(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)與基座運(yùn)動(dòng)解耦，從而分別對(duì)其控制，需要對(duì)機(jī)械臂的慣性矩陣進(jìn)行估計(jì)。將估計(jì)值代入式（1）中的第2 行，得到

此估計(jì)值可由之前參數(shù)辨識(shí)所獲得的結(jié)果得出，顯示表達(dá)式為

式中：

τ

為前一個(gè)采樣時(shí)刻點(diǎn)的力矩?cái)?shù)據(jù)，在采樣頻率很高的條件下，可以認(rèn)為

τ

≈

τ

。

結(jié)合式（1）與式（8），將系統(tǒng)慣性矩陣求逆，改寫(xiě)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

由式（9）可見(jiàn)，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)與基座運(yùn)動(dòng)基本解耦，兩者的運(yùn)動(dòng)同時(shí)由控制系統(tǒng)輸入

u

決定。

2.2 系統(tǒng)控制律設(shè)計(jì)

一個(gè)系統(tǒng)輸入

u

需要同時(shí)控制2 個(gè)變量

x

與

q

，定義

u

由2 個(gè)部分組成：

式中：

u

(

x

)主要作用于基座運(yùn)動(dòng)；

u

(

q

)主要作用于機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)。

機(jī)械臂軌跡跟蹤控制律的設(shè)計(jì)利用經(jīng)典的計(jì)算力矩法的思想得出

相比基座運(yùn)動(dòng)的頻率，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制頻率高得多，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)誤差可以更快地得到收斂。此時(shí)

u

(

x

)可以當(dāng)作一個(gè)常數(shù)，原始的主動(dòng)阻尼控制原理中基座運(yùn)動(dòng)控制輸入為

式中：

K

為阻尼控制系數(shù)。

最后合并

u

(

q

)和

u

(

x

)，得到總控制律為

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

考慮如圖1 所示的機(jī)械臂系統(tǒng)，機(jī)械臂實(shí)際參數(shù)以及基座的等效模型參數(shù)見(jiàn)表1。在仿真過(guò)程中，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)采用5 階多項(xiàng)式，每個(gè)關(guān)節(jié)從0 rad 運(yùn)動(dòng)到2 rad，初始和結(jié)束時(shí)刻速度與加速度為0，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3 s，并在Simulink 中進(jìn)行控制效果的驗(yàn)證。

表1 機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the manipulator system

3.1 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

鑒于慣性參數(shù)集是非時(shí)變的，根據(jù)機(jī)械臂按照激勵(lì)軌跡運(yùn)動(dòng)的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Results of the parameter identification

此外，利用慣性參數(shù)的估計(jì)值進(jìn)行力矩值計(jì)算，將各個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際力矩與理論力矩進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證辨識(shí)效果，對(duì)比結(jié)果如圖2 所示。關(guān)節(jié)1 的平均力矩誤差不超過(guò)10%，關(guān)節(jié)2 的平均力矩誤差不超過(guò)2%，動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果可以用作后續(xù)慣性矩陣的估計(jì)。

圖2 參數(shù)辨識(shí)效果驗(yàn)證Fig.2 Verification of the parameter identification

3.2 基座抑振控制結(jié)果

不同控制律下的基座的位移圖像如圖3 所示，可以清楚地看出機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)給基座施加了一個(gè)用于抑制的阻尼力，根據(jù)參數(shù)辨識(shí)獲取的慣性矩陣可以反映出系統(tǒng)的基本特性，以此設(shè)計(jì)的基座控制器抑振效果明顯。此外添加基座位移補(bǔ)償項(xiàng)后，雖然在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中局部振幅變大，但在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的誤差收斂速度明顯優(yōu)于改進(jìn)前的控制律，同時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差減小了不少。

圖3 改進(jìn)前后控制律下基座位移響應(yīng)Fig.3 Base displacement responses under the classical and improved control laws

機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差的情況如圖4 和圖5所示。

圖4 不同控制律下關(guān)節(jié)1 角度誤差對(duì)比Fig.4 Angle errors of Joint1 under the classical and improved control laws

圖5 不同控制律下關(guān)節(jié)2 角度誤差對(duì)比Fig.5 Angle errors of Joint2 under the classical and improved control laws

實(shí)際上用于基座抑振的機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)是在一個(gè)范圍內(nèi)左右擺動(dòng)，以此產(chǎn)生相當(dāng)于阻尼的效果，并且擺動(dòng)的范圍很小，基本不影響機(jī)械臂的正常操作任務(wù)。圖中也給出了控制律改進(jìn)前后的關(guān)節(jié)角度誤差對(duì)比，可見(jiàn)添加了基座位移補(bǔ)償項(xiàng)后獲得了更高的軌跡跟蹤性能，誤差收斂得更快，在運(yùn)動(dòng)結(jié)束的3 s 左右就完成了基座抑振目標(biāo)，而改進(jìn)前需要更長(zhǎng)的時(shí)間。

4 結(jié)束語(yǔ)

主動(dòng)阻尼控制實(shí)質(zhì)上是利用機(jī)械臂的左右擺動(dòng)產(chǎn)生基座抑振的阻尼力，從而完成柔性基座的控制任務(wù)。這類(lèi)方法控制律設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，并且能夠保證關(guān)節(jié)空間軌跡跟蹤精度。本文以2 自由度機(jī)械臂與彈簧-質(zhì)量-阻尼的耦合模型為基礎(chǔ)，通過(guò)在原始的主動(dòng)阻尼控制律中加入基座位移補(bǔ)償量，并利用參數(shù)辨識(shí)的方法估計(jì)慣性矩陣。驗(yàn)證結(jié)果表明，改進(jìn)后的控制律能夠以更快的速度達(dá)到誤差收斂，達(dá)到了柔性基座振動(dòng)抑制的目的，證明了方法的有效性，對(duì)于拓展到空間大型柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有較好的參考價(jià)值。