曹容寧，馬 蒙，孫曉靜，劉維寧

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

環(huán)境振動影響下的建筑樓板動力響應(yīng)計算對建筑室內(nèi)振動和二次噪聲的預(yù)測評價起到關(guān)鍵作用。柱、梁、板是框架結(jié)構(gòu)中振動傳播的主要路徑，對于此類復(fù)雜結(jié)構(gòu)多采用有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)建模分析。但軌道交通引起的室內(nèi)振動和二次噪聲問題，關(guān)心的頻率可達到250 Hz[1]，由此帶來的過密的網(wǎng)格劃分不僅會造成計算效率低，還會導(dǎo)致計算不穩(wěn)定。解析法是精確求解板動力響應(yīng)的常用方法，但只能考慮一些具有特殊幾何特性和典型邊界條件的情況[2]；雙向梁法可適用于矩形板四邊為任意典型邊界條件的情況[3](如簡支、固支或自由邊界)，而無法用于具有非均勻截面特性或非典型邊界條件下的板結(jié)構(gòu)。

SEM是將位移響應(yīng)表示為有限個簡諧波的疊加，進而通過計算形函數(shù)和動剛度矩陣完成結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的求解。Doyle利用該方法分析波在桿、梁等結(jié)構(gòu)中的傳播。在此研究基礎(chǔ)上，Lee等[9-11]用SEM求解周期性格柵結(jié)構(gòu)、分層復(fù)合梁結(jié)構(gòu)、管道結(jié)構(gòu)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)。對于類一維板問題，Birgersson等[12]利用任意邊界的一組對邊，采用超譜單元法實現(xiàn)了矩形板結(jié)構(gòu)的單方向耦合。Park等[13]采用邊界分離法和SEM結(jié)合，實現(xiàn)了四邊均為任意邊界條件的矩形板的動力計算，以及板結(jié)構(gòu)之間的耦合。這種方法將矩形板分解為兩個具有對邊典型邊界的單向板，對于每個單向板仍按照上述降維的思路，將多項式插值法應(yīng)用于一個方向，SEM應(yīng)用于另一個方向，在頻域內(nèi)計算板的形函數(shù)和動剛度矩陣。但是，由于該方法采用的節(jié)點自由度僅適用于板的變形，無法與梁、柱結(jié)構(gòu)的節(jié)點自由度一一對應(yīng)，因此只能實現(xiàn)板結(jié)構(gòu)之間的相互耦合，而無法實現(xiàn)板結(jié)構(gòu)與梁、柱結(jié)構(gòu)的耦合。

為解決上述問題，本文在Park等的基礎(chǔ)上，針對框架結(jié)構(gòu)提出了一種改進方法，其不僅可以求解四邊為任意邊界條件的樓板動力響應(yīng)問題，還通過波的傳播對板的節(jié)點自由度進行改進，實現(xiàn)板與梁、柱的耦合，從而拓寬了SEM的應(yīng)用范圍，實現(xiàn)了SEM在框架結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。該方法基本思路是將雙向板分解為兩個具有典型邊界條件的單向板問題，并應(yīng)用SEM分別求解；更進一步地，采用最優(yōu)化方法對板單元的節(jié)點自由度進行修正，使之與梁、柱單元一一對應(yīng)，實現(xiàn)梁板柱耦合結(jié)構(gòu)的計算。

1 矩形薄板動力響應(yīng)的SEM求解方法

1.1 問題的分解

一個長、寬、厚分別為2a，2b和h的均質(zhì)矩形薄板，如圖1所示，設(shè)板的中面位于xOy平面上，中面的中心點位于坐標(biāo)原點上；矩形板的四邊分別為L邊、R邊、D邊和U邊，坐標(biāo)方程依次為：x=-a，x=a，y=-b以及y=b。由于板的平面內(nèi)剛度較大，所以本文只考慮板的平面外振動，即彎曲振動。建筑結(jié)構(gòu)中板的厚度通常遠小于其長度和寬度，因此薄板彎曲振動問題可以采用Kirchhoff薄板模型進行計算。Kirchhoff薄板假定板在彎曲時，中面法線保持直線，不發(fā)生伸縮，且一直垂直于板的中面。當(dāng)采用SEM求解時，板的形函數(shù)通過控制方程求出，這樣的形函數(shù)考慮了板的動力特性，較FEM多項式插值形函數(shù)更準(zhǔn)確，計算精度受網(wǎng)格尺寸影響也不大，故無需劃分過密的網(wǎng)格單元和節(jié)點。

圖1 矩形薄板示意圖

圖2 矩形板分解

1.2 A子問題、B子問題求解

A問題的研究對象為D邊、U邊為自由邊界，L邊、R邊為任意邊界的單向板。單向板的形函數(shù)由有限條單元法[14]和SEM聯(lián)合推導(dǎo)而得，為了計算板的動力響應(yīng)問題，還需要得到動剛度矩陣。

根據(jù)有限條單元法，沿y方向?qū)寰鶆騽澐殖蒼y個條形單元，如圖3所示，每一個條形單元內(nèi)部的位移通過y方向的多項式插值函數(shù)和兩交線的位移函數(shù)表示。各個條形單元在交線上保持位移連續(xù)，依此將各個條形單元集成，單向板A的位移可以表示為

圖3 A問題有限條單元劃分

uAz(x,y)=ZA(y)·WA(x)

(1)

式中：WA為各個交線上的位移函數(shù)向量；ZA為與交線位移函數(shù)對應(yīng)的y方向插值函數(shù)向量。

然后，基于SEM的思想，交線上的位移函數(shù)可以視為x方向波的疊加，即

(2)

式中：kAi為x方向的波數(shù)；φAi為y方向的截面振型向量；aAi為波的幅值。

將位移函數(shù)式(1)代入板的Hamilton方程[15]中，結(jié)合Parseval定理[16]，可以得到頻域內(nèi)的特征方程。從而可以求解出兩兩互為相反數(shù)的特征值，即沿x正負(fù)方向傳播的波數(shù)kAi(ω)。每個特征值對應(yīng)的特征向量即y方向的截面振型φAi。

在不同頻率點處求解上述特征值問題，繪制0～250 Hz的頻散曲線，如圖4所示(板的材料參數(shù)見3.1節(jié))。實部為正表示波沿x軸正方向傳播，實部為負(fù)表示波沿x軸負(fù)方向傳播。在0～250 Hz內(nèi)，x方向主要包括4對正負(fù)方向傳播的波，每一種波對應(yīng)的y方向的截面振型如圖4所示。在截止頻率為60 Hz左右時，第3階波出現(xiàn)；在截止頻率為180 Hz左右時，第4階波出現(xiàn)。由此可知，隨著頻率的升高，參與傳播的波逐漸增多，且與之對應(yīng)的y方向振型也趨于復(fù)雜；另外，每一條頻散曲線的波數(shù)大小均隨頻率增加而增加，說明隨著頻率增大，傳播波的波長逐漸變小。

圖4 頻散曲線及對應(yīng)振型

為了求解波的幅值aAi，需借助各個交線兩端點處的位移值，即單向板L邊、R邊兩邊節(jié)點上的邊界條件。利用如下含有未知常數(shù)aAi的交線位移函數(shù)式表示L邊、R邊邊界節(jié)點的位移

(3)

為了分析框架結(jié)構(gòu)中板的動力特性，需要將板結(jié)構(gòu)與梁、柱結(jié)構(gòu)耦合。本文所采用的節(jié)點自由度體系為傳統(tǒng)的“三平動、三轉(zhuǎn)動”自由度，即{uxuyuzθxθyθz}T。由于不考慮板的平面內(nèi)變形，板的節(jié)點自由度設(shè)定為{uzθxθy}T。在前文對單向板問題進行求解時，每個節(jié)點需要提供4個自由度作為邊界條件，為了使板單元與梁柱單元的自由度一一對應(yīng)，需要對板單元的節(jié)點自由度θAxy進行縮減，為此，對式(3)進行如下修正

(4)

為了解決欠定方程組問題，本文參考Birgersson等的研究，采用計權(quán)最小二乘法求解符合等式(4)的最優(yōu)解。式(4)中的位移函數(shù)WA表示各個波的疊加，在進行最小二乘法求解之前，應(yīng)對各個疊加波進行計權(quán)。計權(quán)的原則是：選擇對位移響應(yīng)貢獻大的波進行疊加，即降低波數(shù)較大的波的權(quán)重。這樣做的原因有兩點：第一，波數(shù)較大的波波長短，沿x方向衰減很快，對位移函數(shù)的貢獻不大；第二，波數(shù)大的波y方向的截面振型復(fù)雜，y方向節(jié)點數(shù)量可能不足以描述截面振型，這會導(dǎo)致高階波的振型與低階波的振型向量相似，從而在進行波的疊加時代替低階波的貢獻量，使計算結(jié)果在低頻出現(xiàn)誤差。計權(quán)的方法是將每個波的截面振型向量進行歸一化處理，使截面振型向量的2-范數(shù)等于1/|kAi|，kAi為與各個振型向量對應(yīng)的波數(shù)。這種方法實現(xiàn)了將各個疊加波按照波數(shù)的大小進行計權(quán)，之后采用最小二乘法求解式(4)的欠定方程組，即可得到各個疊加波的幅值aAi(注意這里易偶發(fā)病態(tài)現(xiàn)象)。結(jié)合式(1)和式(2)，可以得到位移函數(shù)

uA=NAdA

(5)

式中，NA為A問題的形函數(shù)。

將位移函數(shù)(5)代入板的Hamilton方程中，即可以的得到節(jié)點位移與節(jié)點力向量的關(guān)系

SAdA=fA

(6)

式中，SA為A問題的動剛度矩陣。

B問題的單向板中，L邊、R邊為固定邊界，D邊、U邊以節(jié)點位移為邊界條件。其與A問題的差異在于：①“典型對邊”由自由邊界變?yōu)楣潭ㄟ吔?；②“任意邊界”的?jié)點位移等于原問題與A問題的節(jié)點位移之差。沿x方向?qū)寰鶆騽澐謓x個條形單元，具體推導(dǎo)過程與A問題相似，如圖5所示。

圖5 B問題有限條單元劃分

1.3 原問題求解

由于原問題的位移場為A問題、B問題的疊加，板結(jié)構(gòu)彎曲振動的位移函數(shù)則可以表示為

uz(x,y)=uAz(x,y)+uBz(x,y)=

NAdA+NBdB

(7)

如前所述，原問題與A問題、B問題的節(jié)點位移關(guān)系為

(8)

uz=Nd

(9)

式中，N為形函數(shù)。

為了能夠形象地描述矩形板四邊節(jié)點自由度對應(yīng)的形函數(shù)，這里以圖6中的板構(gòu)件為例，繪制幾個典型節(jié)點自由度上的形函數(shù)(材料和尺寸參數(shù)與第3章中的板結(jié)構(gòu)相同)。繪制靜態(tài)(0)和動態(tài)(200 Hz)下的形函數(shù)，如圖7所示?？梢钥闯觯?00 Hz下形函數(shù)較0下的形函數(shù)復(fù)雜，這是因為在形函數(shù)的計算過程中，考慮了板的動力特性。這也說明，與只能表示板的幾何特性的多項式插值函數(shù)不同，本文方法的形函數(shù)同時考慮了板結(jié)構(gòu)的幾何特性和動力特性，可以用來表示較高頻率下結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振型。圖7(e)～圖7(h)中，在y=±2 m位置處，形函數(shù)在0位置上下稍有波動，這是由于板在高頻振動下，波長很短，導(dǎo)致即使兩相鄰節(jié)點位移均為0，但節(jié)點之間仍會出現(xiàn)微弱振型。這些微弱振型會使計算結(jié)果在某些頻帶產(chǎn)生突變，若要更準(zhǔn)確地模擬板結(jié)構(gòu)的邊界條件，則仍存在一定改進空間。

圖6 原問題單元劃分

圖7 典型節(jié)點自由度的形函數(shù)

將原問題的位移函數(shù)式(9)代入薄板彎曲振動的Hamilton方程，可以得到板的節(jié)點位移與節(jié)點力向量的關(guān)系，即動剛度的計算。

2 梁板柱的耦合

梁、柱結(jié)構(gòu)與板結(jié)構(gòu)具有不同的振動形式，結(jié)構(gòu)間的相互連接使振動相互影響。在數(shù)值模擬中，為了模擬結(jié)構(gòu)之間的耦合作用，令梁、板、柱結(jié)構(gòu)在公共節(jié)點處的位移和力連續(xù)。分別計算梁、板、柱結(jié)構(gòu)的動剛度矩陣，并按照FEM的集成規(guī)則集成總動剛度矩陣，即可計算梁板柱耦合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。

梁結(jié)構(gòu)、柱結(jié)構(gòu)的振動形式相同，分別為軸向振動、彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動，本文假設(shè)3種振動形式互不影響。應(yīng)用SEM的一維求解方法，分別根據(jù)軸向振動控制方程、歐拉-伯努利梁的彎曲振動控制方程和扭轉(zhuǎn)振動控制方程，計算梁(柱)結(jié)構(gòu)的動剛度矩陣，其與節(jié)點位移和節(jié)點力的關(guān)系可表示為

(10)

板結(jié)構(gòu)彎曲振動的動剛度矩陣由前文計算得到，以平行于直角坐標(biāo)系xOy平面的板結(jié)構(gòu)為例，僅考慮彎曲振動的板結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移與節(jié)點力的關(guān)系為

(11)

本文視板的平面內(nèi)變形為剛性變形，所以忽略了平面內(nèi)變形的自由度ux,uy,θz。當(dāng)梁、柱結(jié)構(gòu)與板結(jié)構(gòu)耦合時，也需將ux,uy,θz自由度對應(yīng)的廣義位移設(shè)為0，即在進行動力計算時，將式(10)中與ux,uy,θz自由度對應(yīng)的矩陣元素剔除?？s聚后，式(10)變?yōu)?/p>

(12)

(13)

3 算例分析

3.1 算例概況

本節(jié)基于板的A問題、B問題、原問題，以及梁板柱耦合結(jié)構(gòu)，設(shè)置4種工況進行分析。板的中面均位于坐標(biāo)系xOy平面，坐標(biāo)原點O位于板面中點。分別采用SEM和FEM對4種工況進行模擬，比較計算結(jié)果的準(zhǔn)確度。

在工況1中(如圖8(a)所示)，薄板的一組對邊為自由約束、另一組對邊為簡支約束。這樣設(shè)置邊界條件的目的是為了形成對邊簡支對邊自由邊界的板，進而可以通過解析方法計算各階自振頻率，作為評價數(shù)值方法準(zhǔn)確度的依據(jù)。在A1點施加繞y軸逆時針方向的彎矩MA1=1 000 N·m/Hz，并計算A1點繞y軸轉(zhuǎn)角θA1。采用本文改進的SEM計算時，在簡支約束的兩邊分別均勻劃分5個節(jié)點；FEM模型則劃分4×4個單元共25個節(jié)點。

在工況2中(如圖8(b)所示)，薄板的一組對邊為固定約束、另一組對邊為簡支約束，形成了對邊簡支對邊固定邊界的板。在A2點施加繞x軸逆時針方向的彎矩MA2=1 000 N·m/Hz，并計算A2點繞x軸轉(zhuǎn)角θA2。采用SEM計算時，在簡支約束的兩邊分別均勻劃分3個節(jié)點；采用FEM模擬時，仍然劃分4×4個單元，共25個節(jié)點。

在工況3中(如圖8(c)所示)，固定板的4個角點，在A3點施加z方向荷載PA3=1 000 N/Hz，計算A3點的z方向位移響應(yīng)。在SEM模型中，在四邊均勻劃分16個節(jié)點，形成一個16節(jié)點的單元。在FEM模型中，分別給出4種單元劃分方法：FEM 1劃分4×4個單元，共25個節(jié)點；FEM 2劃分6×6個單元，共49個節(jié)點；FEM 3劃分10×10個單元，共121個節(jié)點。

圖8 板結(jié)構(gòu)概況

在工況4中(如圖9所示)，以建筑物中一個基本房間為例(不考慮墻體)，在板結(jié)構(gòu)四邊耦合梁結(jié)構(gòu)，在4個角點與柱結(jié)構(gòu)耦合。在4個柱腳處施加固定約束，在A4點施加z方向荷載PA4=1 000 N/Hz，并計算O點的z方向位移響應(yīng)。在SEM模型中，板的四邊均勻劃分16個節(jié)點，每根梁均勻劃分5個節(jié)點并與板在節(jié)點處耦合，每根柱子僅在兩端劃分節(jié)點。FEM的節(jié)點劃分見圖9(b)、圖9(c)。

圖9 梁板柱結(jié)構(gòu)節(jié)點劃分

4種工況中的板均為邊長Lp=4 m，厚度h=0.2 m的正方形薄板。梁、柱結(jié)構(gòu)的長度Lb=4 m，截面尺寸為0.5×0.5 m2。梁、板、柱結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)相同，彈性模量E=35 GPa；泊松比為ν=0.3；密度ρ=2 500 kg/m3，不考慮阻尼影響。

3.2 結(jié)果分析

工況1的計算結(jié)果如圖10所示，在1～250 Hz內(nèi)有5階自振頻率。通過Levy方法計算自振頻率的解析解，在圖10中以灰色虛線表示。兩種數(shù)值方法與解析解對比，得到的自振頻率誤差百分比，如表 1所示。由表1可以看出，F(xiàn)EM計算誤差范圍為0.5%～4.1%，SEM誤差范圍為0～1.5%，總體上，前者誤差大于后者，最高約達9倍。且隨著階數(shù)的增加，兩者誤差相差越來越大。因此，SEM的計算結(jié)果更接近解析解。從圖10中可以看出，在1～70 Hz頻段內(nèi)，兩種數(shù)值計算結(jié)果幾乎一致，從大約70 Hz開始，F(xiàn)EM計算結(jié)果與SEM結(jié)果分離，且隨著頻率增高，兩種結(jié)果偏離逐漸明顯。這是因為從70 Hz左右頻率處開始，單向板中的第3種波數(shù)的波開始傳播(見圖4)，其波長較短且結(jié)構(gòu)振型復(fù)雜。而對于70 Hz以上的振動，F(xiàn)EM的單元尺寸已不足以擬合出板的振型，因此計算誤差越來越大。而由于SEM的形函數(shù)考慮了板的控制方程，所以即使只在單向板的一組對邊劃分節(jié)點，無需在板的內(nèi)部劃分節(jié)點，也可以在高頻范圍得到精確度較高的計算結(jié)果。

圖10 工況1計算結(jié)果

表1 轉(zhuǎn)角自振頻率誤差

工況2的計算結(jié)果如圖11所示，在1～250 Hz內(nèi)有三階自振頻率出現(xiàn)，與解析解的自振頻率(灰色虛線)相比，數(shù)值解的誤差百分比如表2所示。FEM的誤差約為SEM誤差的3～5倍，說明后者更接近解析解。與A問題的結(jié)果類似，兩種數(shù)值方法的頻譜在低頻保持一致，隨著頻率的增高，差異開始明顯。

圖11 工況2計算結(jié)果

表2 自振頻率誤差

工況3的計算結(jié)果如圖12所示，由于該工況很難得到解析解，本文認(rèn)為當(dāng)FEM模型的網(wǎng)格劃分非常密時，可以達到與解析解相近的精度。為了驗證，對網(wǎng)格尺寸為0.3～1.0 m(節(jié)點數(shù)為16～225)的FEM模型進行收斂性分析。由于FEM網(wǎng)格劃分不夠密引起的誤差主要出現(xiàn)在高頻范圍，因此以較高階自振頻率作為收斂性分析的評價量，本工況采用第6階自振頻率作為評價量。圖12(b)展示了不同節(jié)點數(shù)量的FEM模型的高階自振頻率，隨著節(jié)點數(shù)的增加，自振頻率值收斂，可以達到與解析解相近的精度。

圖12 工況3計算結(jié)果

從圖12(a)中可以看出，F(xiàn)EM 3與SEM結(jié)果最為相近，F(xiàn)EM 2次之，F(xiàn)EM 1結(jié)果較SEM結(jié)果偏差較大。這說明隨著FEM模型劃分單元數(shù)量的增多，其計算結(jié)果與SEM結(jié)果越來越相近，尤其是在較高頻率范圍內(nèi)，這種規(guī)律更加明顯。這是因為SEM的位移函數(shù)由控制方程得到，考慮了板的動力特性，所以即使在較高頻段，仍能準(zhǔn)確地描述板的振型；而FEM的位移函數(shù)只考慮了板的幾何特性，因此需要通過增加單元和節(jié)點的數(shù)量來提高高頻范圍計算結(jié)果的準(zhǔn)確度。

工況4的計算結(jié)果如圖13所示，由于工況4中的耦合結(jié)構(gòu)沒有解析解，因此仍采用高階自振頻率(第4階)作為評價量對FEM進行節(jié)點數(shù)收斂性分析。分別對網(wǎng)格尺寸為0.4～2.0 m(節(jié)點數(shù)為17～161)的FEM模型進行計算，如圖13(b)所示，若節(jié)點數(shù)過少，則準(zhǔn)確度無法保證，隨著節(jié)點數(shù)的增加，高階自振頻率值收斂。

從圖13(a)中可以看出，當(dāng)SEM模型與FEM模型劃分節(jié)點數(shù)量相近時，F(xiàn)EM計算結(jié)果從180 Hz左右開始準(zhǔn)確度無法保證，只有當(dāng)FEM節(jié)點數(shù)遠多于SEM時，二者的計算準(zhǔn)確度相似。在50 Hz左右頻率處，SEM計算結(jié)果出現(xiàn)一個小突變，這是由于矩形板與梁只在耦合的節(jié)點處符合位移連續(xù)條件，但在節(jié)點之間位移并不連續(xù)，導(dǎo)致板在兩節(jié)點之間出現(xiàn)多余振型。

圖13 工況4計算結(jié)果

3.3 計算效率比較

在頻域內(nèi)進行結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)數(shù)值計算時，影響計算效率的主要因素有兩個：①位移求解時動剛度矩陣的求逆計算；②SEM需要在所有頻率點循環(huán)求解動剛度矩陣。由于對于材料參數(shù)不變的結(jié)構(gòu)，SEM可以通過建立前期數(shù)據(jù)庫的方式求解動剛度矩陣以節(jié)省計算時間，所以對二者計算效率的比較主要聚焦在動剛度矩陣求逆的計算效率上。

以工況3中的SEM模型和FEM 3模型為例，從圖12(a)可以看出，兩者的計算準(zhǔn)確度較為相近，在此基礎(chǔ)上比較兩個模型的動剛度矩陣。SEM模型由一個16節(jié)點的板單元組成，每個單元考慮3個自由度；FEM3模型由100個4節(jié)點板單元組成，共121個節(jié)點。圖14對兩個模型的動剛度矩陣進行了可視化繪制，可以看出，SEM模型的動剛度矩陣為48維數(shù)的滿布矩陣，其中非零元素共2 304個；FEM 3模型的動剛度矩陣為363維數(shù)的帶狀矩陣，共有8 637個非零元素。從計算效率上來說，滿布矩陣求逆的計算效率低于稀疏帶狀矩陣，但是，矩陣維數(shù)越大，非零元素越多求逆計算效率越低。因此，雖然從矩陣的稀疏程度來看，F(xiàn)EM在計算效率上優(yōu)勢較大，但是，從矩陣的非零元素數(shù)目來看，SEM的計算效率則更高。由此可以推論，對于構(gòu)造簡單且板的尺寸較小的小型結(jié)構(gòu)，動剛度矩陣維數(shù)較低，非零元素數(shù)目較少，其對計算效率影響不大，則動剛度矩陣較為稀疏的FEM計算效率更高。而對于含有大面積矩形樓板的規(guī)則結(jié)構(gòu)來說，動剛度矩陣的非零元素數(shù)目對計算效率的影響占主導(dǎo)，則SEM的計算效率更高。

圖14 可視化動剛度矩陣

4 結(jié) 論

本文針對框架結(jié)構(gòu)提出了一種改進的譜單元法，該方法將矩形板拆分成兩個單向板的疊加并分別計算，其不僅可以求解四邊為任意邊界條件的樓板動力響應(yīng)問題，還考慮了框架結(jié)構(gòu)中樓板與梁、柱的耦合關(guān)系。

通過與自振頻率解析解、以及高密度網(wǎng)格的FEM頻譜響應(yīng)對比，驗證了本文方法的準(zhǔn)確性。

與傳統(tǒng)的FEM相比，本文方法的優(yōu)勢在于：

(1)對于矩形薄板結(jié)構(gòu)，只需在四邊邊界劃分節(jié)點，可以減少動剛度矩陣維數(shù)，對于大尺寸樓板結(jié)構(gòu)，可以提高計算機的計算效率。

(2)對于框架結(jié)構(gòu)，可實現(xiàn)振動響應(yīng)的快速預(yù)測。由于只需在構(gòu)件之間的耦合處劃分節(jié)點，無需在單元內(nèi)部劃分節(jié)點，因此即使結(jié)構(gòu)尺寸有所變化，也無需重新劃分節(jié)點，從而提高建模效率。

(3)SEM的計算結(jié)果準(zhǔn)確度高于FEM，尤其是在較高頻段。①在計算對邊簡支對邊自由邊界的板時，采用FEM計算誤差最大約達SEM的9倍；②在計算對邊簡支對邊固定邊界的板時，采用FEM計算誤差最大約達SEM的5倍；③若二者的計算準(zhǔn)確度相似，F(xiàn)EM所需劃分節(jié)點數(shù)遠多于SEM。

此外，本文討論的板結(jié)構(gòu)的SEM在結(jié)構(gòu)應(yīng)用上存在一定局限性。①該方法僅適用于對矩形板的動力計算，無法計算其他形狀的板結(jié)構(gòu)；②若板結(jié)構(gòu)的尺寸很小，則SEM在計算效率上的優(yōu)勢無法突顯。因此，SEM較適用于含有大尺寸矩形樓板的規(guī)則建筑結(jié)構(gòu)。