毛北行，王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院，河南 鄭州 450015)

混沌同步自提出以來就備受重視[1-9].分數(shù)階系統(tǒng)在現(xiàn)實世界中大量存在，且用分數(shù)階微分方程建模更符合模型本身的特點，因而隨著分數(shù)階微分學與積分學的發(fā)展，分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制引起了工程科學界的濃厚興趣.例如：文獻[10] 研究了一類分數(shù)階不確定同步發(fā)電機系統(tǒng)的自適應滑?？刂婆c參數(shù)辨識；文獻[11]根據(jù)自適應滑模方法研究了一類分數(shù)階不確定系統(tǒng)同步問題；文獻[12]研究了一類分數(shù)階不確定混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步，獲得主從系統(tǒng)達到滑模同步的充分條件；文獻[13]研究了不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)的主動滑模同步；文獻[14]研究了分數(shù)階不確定系統(tǒng)的有限時間滑模同步技巧；文獻[15]研究了不確定分數(shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的滑模同步.另一方面，單擺混沌系統(tǒng)引起了眾多學者的高度關(guān)注.例如：文獻[16]研究了大角度單擺周期的估計；文獻[17]研究了重力常數(shù)的測定；文獻[18]研究了有界擾動下單擺的分岔混沌分析；文獻[19]研究了從周期到有界混沌；文獻[20]研究了從單擺到混沌的動力學分析與控制；文獻[21]研究了單擺混沌現(xiàn)象問題；文獻[22]對單擺系統(tǒng)多參數(shù)混沌邊緣進行了研究，得到了單擺系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件；文獻[23]研究了單擺到混沌的條件；文獻[24]研究了一類整數(shù)階分數(shù)階單擺的混沌同步；文獻[25]研究了一類分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)的終端滑模同步.雖然來自模型及系統(tǒng)本身的不確定性和外部擾動在工程實際中大量存在，且是系統(tǒng)不穩(wěn)定和產(chǎn)生擾動的根源，但有關(guān)分數(shù)階單擺不確定系統(tǒng)的自適應滑模同步方面的研究還鮮有報道.在上述研究基礎(chǔ)上，本文研究了分數(shù)階具有外部擾動和不確定性單擺混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步，分別設計了滑模面并證明了滑模面的穩(wěn)定性與可達性，獲得不確定分數(shù)階單擺系統(tǒng)取得自適應滑模同步的兩個充分條件.

1 預備知識

無阻尼單擺系統(tǒng)可描述為

(1)

其中：θ為擺線的夾角，L為擺長，g為重力加速度.如圖1所示.

圖1 單擺圖

考慮阻力，設阻尼系數(shù)為γ，則單擺系統(tǒng)可描述為

(2)

其等價系統(tǒng)如下：

主系統(tǒng)設計為

(3)

考慮外部擾動和不確定性，從系統(tǒng)設計為

(4)

這里y(t)=(y1，y2)T，Δfi(y，t)和di(t)分別為有界不確定項和外部擾動，ui(t)為控制器.

定義ei=yi-xi(i=1，2)，則

(5)

定義1[26]Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為

分數(shù)階單擺混沌可描述為

(6)

當g=10，L=1，γ=0.46，q=0.86時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，系統(tǒng)的相圖如圖2所示.

圖2 單擺系統(tǒng)相圖

(7)

假設1 不確定項Δfi(y，t)和外部擾動di(t)均有界，即存在未知常值參數(shù)mi，ni>0，滿足

|Δfi(y，t)|

定義ei=yi-xi，i=1，2，則

(8)

2 主要結(jié)果

用引理2，得到si→0?ei(t)→0.

定理2 假設1滿足.構(gòu)造滑模面si(t)=ei(t).控制律為

不在滑模面上時，設計函數(shù)

由引理1得

由引理2，從而得到si→0?ei(t)→0.

3 數(shù)值仿真

以分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)為例，使用Matlab工具箱中的軟件程序進行數(shù)值仿真.令g=10，L=1，γ=0.46，q=0.86，Δf1(y，t)=cos(2πy2)，Δf2(y，t)=0.5cos(2πy1).d1(t)=0.2cos(t)，d2(t)=0.6sin(t).

定理2中設計滑模面si(t)=ei(t).控制律為

定理1與2自適應律設計為(i=1，2)

定理1誤差如圖3—4所示，定理2誤差如圖5—6所示.由圖3—4中可看到，誤差初始時刻相差較大，距原點較遠，隨時間推移，誤差逐漸趨近于一致并向坐標原點趨近，表明系統(tǒng)取得同步.定理1與定理2的區(qū)別在于選取不同的滑模函數(shù)控制效果不同，定理1中設計的滑模函數(shù)和控制器都比定理2復雜一些，定理2中的滑模面簡單實用，控制形式簡單且控制效果良好.從圖5—6上可看出定理1中誤差擺幅較大，比較難于趨向穩(wěn)定；定理2的誤差擺幅則較定理1小一些，很容易趨近于原點，并趨于同步.文章設計了兩種截然不同的滑模函數(shù)，當q=1時，分數(shù)階系統(tǒng)退化為整數(shù)階系統(tǒng)，該方法對整數(shù)階系統(tǒng)仍然適用和成立.

圖3 定理1第一誤差

圖4 定理1第二誤差

圖6 定理2第二誤差