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        中性技術(shù)進(jìn)步條件下的經(jīng)濟(jì)控制模型的最優(yōu)控制分析

        2022-01-05 12:57:28孔凡亮付麗娜徐加波
        關(guān)鍵詞:最優(yōu)控制時(shí)刻定理

        孔凡亮,付麗娜,徐加波

        (1.新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830023;2.新疆工程學(xué)院信息工程學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830023)

        0 引言

        宏觀經(jīng)濟(jì)模型研究從美國(guó)學(xué)者穆?tīng)栠M(jìn)行勞動(dòng)力市場(chǎng)分析開(kāi)始到現(xiàn)在已經(jīng)有近一個(gè)世紀(jì)的歷史了.對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)模型的研究,引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[1]從系統(tǒng)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā),把投資—生產(chǎn)—分配—消費(fèi)等社會(huì)生產(chǎn)過(guò)程作為一個(gè)系統(tǒng)來(lái)討論,并引入了Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù),建立了宏觀經(jīng)濟(jì)中的投資—生產(chǎn)—再投資過(guò)程的發(fā)展模型,研究了該方程的解的存在唯一性及穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[2]以??怂怪行约夹g(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)為反饋要素建立了如下資產(chǎn)發(fā)展方程:

        其中:Ω=(0,am),Q=Ω×(0,T),p(a,t)為t時(shí)刻資產(chǎn)存量按役齡a的分布密度函數(shù),μ(a,t)為t時(shí)刻資產(chǎn)存量按役齡a的相對(duì)折舊率,p0(a)為初始時(shí)刻資產(chǎn)按役齡a的分布密度函數(shù),γ(t)為t時(shí)刻生產(chǎn)性積累率,A(t)為t時(shí)刻綜合要素生產(chǎn)率,L(t)為t時(shí)刻勞動(dòng)力函數(shù).文獻(xiàn)[3]研究了一類(lèi)帶有時(shí)滯的固定資產(chǎn)投資系統(tǒng)的積累率的最優(yōu)控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[4]利用Banach空間理論和Banach-Saks-Mazur定理討論了一類(lèi)非定常經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)資產(chǎn)相對(duì)折舊率的最優(yōu)控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[5-7]對(duì)資產(chǎn)投資系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究,但此類(lèi)研究還比較少.

        許多學(xué)者致力于關(guān)于具有年齡結(jié)構(gòu)的種群動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題的研究[8-18],對(duì)非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題的研究所引進(jìn)的方法很有參考價(jià)值.

        受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文研究投資系統(tǒng)關(guān)于資產(chǎn)外資的控制問(wèn)題,并利用中性技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì),研究如下一類(lèi)非線性經(jīng)濟(jì)控制模型的最優(yōu)控制問(wèn)題:

        (OH)

        其中:p0(a,t)為某一給定的理想資產(chǎn)分布密度函數(shù);控制變量u∈U={u∈L∞(QT)|0≤u(a,t)≤L,a.e.(a,t)∈QT},QT=(0,am)×(0,T),am,T∈(0,+∞);pu(a,t)滿足

        (1)

        1 系統(tǒng)(1)解的性質(zhì)

        為方便討論,本文作如下假設(shè):

        (H2)γ(t),A(t)∈L∞(0,T),0≤γ(t)≤γ,0≤A(t)≤A,a.e.t∈(0,T);

        (H3)p0(a)∈L∞(0,am),p0(a)≥0,a.e.a∈(0,am);

        (H5)u∈U={u∈L∞(QT)|0≤u(a,t)≤L,a.e.(a,t)∈QT};

        (H6)p0(a,t)∈L∞(QT)為給定理想資產(chǎn)分布密度函數(shù).

        定義1.1 所謂系統(tǒng)(1)的解是指存在函數(shù)p(a,t)∈L∞(QT)在每一條特征線a-t=k(常數(shù))上絕對(duì)連續(xù),且滿足

        應(yīng)用特征線法[9]可將系統(tǒng)(1)的解表示為

        (2)

        其中:

        為了得到系統(tǒng)(1)的解,首先給出以下引理:

        引理1.1 假設(shè)(H1)—(H5)成立,設(shè)任意給定T>0,p(a,t)∈L∞(QT),則p(a,t)是系統(tǒng)(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)它是問(wèn)題(2)的解.

        引理1.2 假設(shè)(H1)—(H5)成立,如果對(duì)任意給定T>0,p(a,t)∈L∞(QT)是問(wèn)題(2)的解,那么:

        (2)φ(t)≤γAH(amt‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0,am))eγAHt,a.e.t∈(0,T).

        證明

        由Gronwall不等式可得

        從而

        φ(t)≤γAH(amT‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0,am))eγAHt.

        不失一般性,本文假定T>am.記V=L∞(QT),對(duì)任意給定的p∈V,定義算子K(p)(a,t)如(2)式的右端,即

        (3)

        其中:

        令:

        M1t=(amT‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0,am))eγAHt,

        M2t=max{γAH(amT‖u‖L∞(QT)+am‖p0‖L∞(0,am))eγAH(t-a),‖p0‖L∞(0,am)}+T‖u‖L∞(QT),

        W={p∈L∞(0,T|L1(0,am));p(a,0)=p0(a),‖p(·,t)‖L1(0,am)≤M1t,0≤p(a,t)≤M2t,a.e.(a,t)∈QT}.

        易知W是V的閉子集.

        (4)

        證明首先對(duì)任意p∈W,t∈[0,T],由引理1.2可得K(q)∈W.

        其次對(duì)任意p1,p2∈W,t∈[0,T],由(3)式可得

        由Gronwall不等式得

        定理1.1 假設(shè)(H1)—(H5)成立,則對(duì)任一給定的u∈U,系統(tǒng)(1)存在唯一的非負(fù)解pu∈L∞(QT),它關(guān)于u一致有界且滿足pu(a,t)≤M2T.

        對(duì)任意p1,p2∈W,由引理1.3知

        所以算子K是完備子空間W上的嚴(yán)格壓縮映射,由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可知算子K在W上有唯一不動(dòng)點(diǎn),從而問(wèn)題(2)有唯一非負(fù)解.再由引理1.1可知系統(tǒng)(1)有唯一非負(fù)解pu∈L∞(QT),且由引理1.2可得其關(guān)于u一致有界并滿足pu(a,t)≤M2T.

        2 最優(yōu)解的存在性

        考慮下面控制問(wèn)題解的存在性:

        (OH)

        其中pu(r,t)是系統(tǒng)(1)的解.

        為了求解問(wèn)題(OH),借鑒文獻(xiàn)[3]的方法,先考察其等價(jià)形式.令

        U1={p(a,t)|存在u(r,t)∈U,使得p(a,t)是系統(tǒng)(1)的解}.

        引入新的性能指標(biāo)泛函

        于是問(wèn)題(OH)就等價(jià)于尋找p*(a,t)∈U1,使得

        (OH)′

        引理2.1 函數(shù)集{Nu|u∈U}在L2(0,T)中是相對(duì)緊的.

        證明由于pu為系統(tǒng)(1)的解,故對(duì)充分小的ε>0,設(shè)

        則當(dāng)t∈(0,T)時(shí),Nu,ε(t)是下列微分方程的解:

        下面利用L2(0,T)空間相對(duì)緊定理[8],證明集合{Nu,ε|u∈U}在L2(0,T)中是相對(duì)緊的.由于Nu,ε關(guān)于u∈U一致有界,只需驗(yàn)證以下兩個(gè)條件:

        從而引理結(jié)論成立.

        pn在L2(QT)中弱收斂于p*.

        (5)

        由引理2.1和集合U1的構(gòu)造,相應(yīng)地存在Nun的子序列(仍記為Nun),使得下列關(guān)系式成立:

        在L2(0,T)中Nun→N*;對(duì)[0,T]中幾乎處處t,Nun(t)→N*(t).

        (6)

        (7)

        (8)

        由(6)和(7)式可得

        由u(a,t)與p(a,t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得以下定理:

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