王 旭，王春燕，王文靜，魏國(guó)華

(1.北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081;2.上海無(wú)線電設(shè)備研究所,上海 201109)

0 引 言

通信對(duì)抗領(lǐng)域中采用的數(shù)字調(diào)制類(lèi)別主要有連續(xù)相位調(diào)制連續(xù)相位調(diào)制(Continuous Phase Modulation,CPM)和非連續(xù)相位調(diào)制[1-2]。其中，CPM信號(hào)的調(diào)制特性會(huì)受到多個(gè)調(diào)制參數(shù)的影響，主要包括成形濾波器形狀、相關(guān)長(zhǎng)度、調(diào)制指數(shù)等，不同的參數(shù)組合會(huì)調(diào)制出具有不同特性的CPM信號(hào)。因此，在沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)的情況下，CPM信號(hào)的符號(hào)速率盲估計(jì)問(wèn)題一直是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。針對(duì)該問(wèn)題，目前已提出的算法主要可分為兩類(lèi)。第一類(lèi)是分析碼元交替時(shí)的信號(hào)奇異點(diǎn)，通過(guò)自相關(guān)運(yùn)算或小波變換提取信號(hào)瞬時(shí)相位跳變點(diǎn)，進(jìn)而完成對(duì)符號(hào)速率的估計(jì)。后來(lái)又相繼提出了一些改進(jìn)算法[3-5]。但是，小波變換的多尺度盲點(diǎn)等問(wèn)題導(dǎo)致該類(lèi)算法存在抗噪聲性能較差且時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都較高的缺點(diǎn)。第二類(lèi)以循環(huán)平穩(wěn)理論為基礎(chǔ)[6]，該類(lèi)算法均表現(xiàn)出優(yōu)異的抗噪能力。其中文獻(xiàn)[7]提出了調(diào)制指數(shù)、載波頻偏和符號(hào)速率的參數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法，直接利用三維搜索得到參數(shù)的估計(jì)結(jié)果，但是在搜索精度要求高時(shí)，該算法的復(fù)雜度較高且計(jì)算量大，實(shí)時(shí)性無(wú)法保證。繼而，文獻(xiàn)[8-9]提出利用循環(huán)譜不同截面上離散譜線與調(diào)制參數(shù)的關(guān)系，只對(duì)符號(hào)速率進(jìn)行估計(jì)，避免了三維搜索，有效降低了算法的計(jì)算量和復(fù)雜度。但是，該類(lèi)算法的符號(hào)速率估計(jì)精度會(huì)嚴(yán)重受限于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)產(chǎn)生的柵欄效應(yīng)，有待進(jìn)一步改進(jìn)。

基于此，本文針對(duì)二進(jìn)制CPM信號(hào)，摒棄傳統(tǒng)雙側(cè)頻移的循環(huán)譜計(jì)算思路，提出了一種基于單側(cè)頻移的循環(huán)譜計(jì)算方法，同時(shí)利用符號(hào)速率的粗估結(jié)果降低計(jì)算量，最后聯(lián)合譜峰搜索結(jié)果和其左右兩側(cè)相鄰譜線進(jìn)行循環(huán)譜內(nèi)插，進(jìn)一步提高估計(jì)精度。理論分析及仿真驗(yàn)證了該算法的有效性。

1 二進(jìn)制CPM信號(hào)模型

發(fā)射端二進(jìn)制CPM信號(hào)的表達(dá)式定義[5]為

s(t,?)=Acos(2πf0t+φ(t,?)+φ0)。

(1)

(2)

式中:hi為調(diào)制指數(shù)，以下討論hi取固定值時(shí)的情況；g(τ)為脈沖成形時(shí)域響應(yīng)函數(shù)。常用的脈沖成形濾波器有矩形濾波器(Rectangular filter，REC)，高斯濾波器(Gaussian filter，Gauss)，以及根升余弦濾波器(Square Root Raised Cosine filter，SRRC)，其時(shí)域相位響應(yīng)函數(shù)可統(tǒng)一表示為

(3)

式中:L為相位約束長(zhǎng)度，當(dāng)L=1時(shí)，稱(chēng)為全響應(yīng)CPM信號(hào)；當(dāng)L>1時(shí)，稱(chēng)為部分響應(yīng)CPM信號(hào)。

由式(1)可得CPM信號(hào)的瞬時(shí)相位為

?(t)=2πf0t+φ(t,?)+φ0。

(4)

由式(2)和式(4)可簡(jiǎn)單推導(dǎo)出信號(hào)的瞬時(shí)頻率為

(5)

由此可見(jiàn)，CPM信號(hào)的瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率與多個(gè)調(diào)制參數(shù)相關(guān)。

不失一般性，假設(shè)經(jīng)過(guò)一個(gè)加性高斯白噪聲信道，且發(fā)射端相對(duì)于未知接收機(jī)運(yùn)動(dòng)，則未知接收信號(hào)可表示為

x(t)=s(t-τ,?)+n(t)=

ABcos(2π(fd(t)+Δf)t+

φ(t-τB,?)+φB)+n(t)。

(6)

式中：AB為未知接收信號(hào)的幅度，τB為信號(hào)空間傳播時(shí)延，φB為接收信號(hào)經(jīng)本地混頻后的信號(hào)初相，Δf是由收發(fā)雙方的本地振蕩器頻率不一致引入的載波頻差，fd(t)是由于收發(fā)雙方存在徑向運(yùn)動(dòng)而引入的時(shí)變多普勒頻率，n(t)是加性高斯白噪聲。同時(shí)，認(rèn)為觀測(cè)信號(hào)在觀測(cè)時(shí)隙內(nèi)滿足短時(shí)平穩(wěn)假設(shè)，即在觀測(cè)時(shí)隙內(nèi)fd(t)保持不變，未知接收信號(hào)可簡(jiǎn)化為具有固定載頻的二進(jìn)制CPM信號(hào)。

2 符號(hào)速率估計(jì)

2.1 CPM信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)特性

自Gardner在文獻(xiàn)[6]中提出譜相關(guān)的概念以來(lái)，至今已逐步建立并不斷完善了譜相關(guān)理論[10-13]。譜相關(guān)理論在利用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)的隱含周期性做參數(shù)檢測(cè)的同時(shí)，又恰好利用了白噪聲的非相關(guān)性來(lái)抑制噪聲，因此譜相關(guān)法具有良好的抗噪聲性能。

假設(shè)未知接收的二進(jìn)制CPM信號(hào)為二階連續(xù)非平穩(wěn)的實(shí)值隨機(jī)信號(hào)[12]，記為x(t)，則其時(shí)變自相關(guān)函數(shù)和循環(huán)自相關(guān)函數(shù)為

Rx(t,τ0)=E{x(t+τ0/2)x(t-τ0/2)} ，

(7)

(8)

式中:α為循環(huán)頻率，T為信號(hào)x(t)的隱含周期，E{·}表示求期望。對(duì)式(8)中的自相關(guān)延時(shí)參數(shù)τ0做傅里葉變換可得信號(hào)x(t)的循環(huán)譜函數(shù)[14]為

(9)

文獻(xiàn)[12]以二進(jìn)制帶通CPM信號(hào)為例，理論推導(dǎo)了調(diào)制指數(shù)為整數(shù)、半整數(shù)以及其他情況時(shí)的循環(huán)譜表達(dá)式，并結(jié)合理論分析和仿真分別給出了信號(hào)的(f,α)雙循環(huán)譜平面、f=0的α截面以及f=fc的α截面上離散譜線與信號(hào)載波fc、符號(hào)周期T0的關(guān)系。其中，調(diào)制參數(shù)T0的周期性主要體現(xiàn)在循環(huán)譜載波截面處，也即是CPM信號(hào)的f=fc的載波截面上，將會(huì)在α=K/T0(K取整數(shù))處出現(xiàn)明顯的離散譜線，而在其他地方取值較小或者為零，且能量主要聚集在α=±1/T0(一倍碼速率)處的離散譜線。此外，文獻(xiàn)[9]表明，當(dāng)載波估計(jì)的相對(duì)誤差不大于實(shí)際符號(hào)速率的1/20時(shí)，載波截面循環(huán)譜形狀不會(huì)發(fā)生明顯變化，且不會(huì)對(duì)符號(hào)速率的估計(jì)精度產(chǎn)生明顯影響。

基于文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論，考慮在調(diào)制指數(shù)h、相位約束長(zhǎng)度L、成形濾波器形狀均未知的情況下，本文選定計(jì)算二進(jìn)制CPM信號(hào)的載波截面循環(huán)譜，通過(guò)搜索f=fc的α截面上α=±1/T0附近取值最大的離散譜線，進(jìn)而得到符號(hào)速率估計(jì)。

2.2 符號(hào)速率估計(jì)原理

本小節(jié)以離散采樣信號(hào)為例，詳細(xì)闡述本文所提算法的原理及具體實(shí)現(xiàn)。假設(shè)未知接收的二進(jìn)制CPM信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)為N(0≤t

y(n)=x(nTs)=s(nTs,?)+n(nTs)，n=1,2,…,N。

(10)

利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)對(duì)y(n)做譜分析：

(11)

Y′(k)=‖Y(k)‖。

(12)

離散頻域平滑法是計(jì)算循環(huán)譜的常用方法，其循環(huán)譜分析精度由循環(huán)譜分析單元(Cyclic Spectrum Analyzer，CSA)的長(zhǎng)度決定。傳統(tǒng)雙側(cè)頻移法[9-10]選定2Fs為頻移間隔計(jì)算循環(huán)譜：

(13)

式中:M為平滑點(diǎn)數(shù)，k、m分別為傳統(tǒng)頻率f、循環(huán)頻率α歸一化數(shù)字頻率，實(shí)際應(yīng)用中均取離散整數(shù)。由公式(13)確定的循環(huán)頻率離散取值為α=2m/NTs，對(duì)應(yīng)柵欄效應(yīng)的縫隙間隔為2/NTs?？梢?jiàn)，相較于DFT譜分析對(duì)應(yīng)柵欄效應(yīng)的縫隙間隔，傳統(tǒng)雙側(cè)頻移法計(jì)算得到的循環(huán)譜分析精度下降了一半，有望進(jìn)一步改進(jìn)。因此，本文提出選定CSA為Fs進(jìn)行單側(cè)頻移，對(duì)應(yīng)的循環(huán)譜計(jì)算公式為

(14)

分析可得，公式(14)確定的循環(huán)頻率離散取值為α=m/NTs，對(duì)應(yīng)柵欄效應(yīng)的縫隙間隔為1/NTs。顯然，與傳統(tǒng)的雙側(cè)頻域平滑算法相比，本文算法計(jì)算得到的循環(huán)譜分析精度提高了一倍，表現(xiàn)為柵欄效應(yīng)的縫隙間隔縮小至原來(lái)的1/2，與DFT譜分析對(duì)應(yīng)柵欄效應(yīng)的縫隙間隔相同。

(15)

由式(15)可以看出，循環(huán)譜本質(zhì)上是在對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行一定間隔的搬移后再求互相關(guān)。由于實(shí)際工程中是對(duì)有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，頻率搬移的最小間隔會(huì)受到DFT柵欄效應(yīng)的影響。針對(duì)該問(wèn)題，本文提出利用內(nèi)插法對(duì)循環(huán)譜的譜峰搜索結(jié)果進(jìn)行校正，以此來(lái)降低DFT柵欄效應(yīng)對(duì)符號(hào)速率估計(jì)精度的影響。

結(jié)合循環(huán)譜特性的相關(guān)研究文獻(xiàn)來(lái)看，與式(15)相對(duì)應(yīng)的循環(huán)譜幅度的解析表達(dá)式很難得出，可以將本文中的譜峰位置搜索問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，拋物線內(nèi)插法又恰好是處理該類(lèi)問(wèn)題得到優(yōu)于網(wǎng)格精度的常用方法[14]。因此本文采用拋物線曲線擬合的方法對(duì)譜峰附近的循環(huán)譜進(jìn)行近似細(xì)化，進(jìn)而對(duì)譜峰搜索結(jié)果進(jìn)行校正。假定循環(huán)譜峰值主瓣內(nèi)的譜線幅度滿足拋物線的一般式：

f(α)=c2α2+c1α+c0。

(16)

因此，利用最小二乘法進(jìn)行拋物線擬合的優(yōu)化函數(shù)為

(17)

其中，

利用式(17)的擬合結(jié)果和拋物線性質(zhì)，得到校正后峰值對(duì)應(yīng)的正循環(huán)頻率α+：

(18)

(19)

2.3 算法流程及計(jì)算量分析

根據(jù)2.2節(jié)的內(nèi)容，基于循環(huán)譜及內(nèi)插法的二進(jìn)制CPM信號(hào)符號(hào)速率盲估計(jì)算法的具體步驟如下：

Step2 帶通濾波處理。利用Step 1得到的載頻和信號(hào)帶寬的粗略估計(jì)結(jié)果設(shè)計(jì)帶通濾波器，主要目的是濾除帶外噪聲，提高信號(hào)質(zhì)量。

Step3 采用單側(cè)頻移平滑法提高循環(huán)譜分析精度，使柵欄效應(yīng)的縫隙間隔縮小至原來(lái)的1/2，依據(jù)式(15)計(jì)算載波截面循環(huán)譜。

Step4 譜線提取。分別提取載波截面循環(huán)譜搜索區(qū)間內(nèi)的正負(fù)循環(huán)頻率峰值點(diǎn)(離散譜線)，由此得到的符號(hào)速率估計(jì)結(jié)果需再經(jīng)過(guò)Step 5進(jìn)一步提高精度。

依據(jù)算法流程，對(duì)本文算法的計(jì)算量進(jìn)行分析。利用式(11)計(jì)算N點(diǎn)FFT所需實(shí)數(shù)乘法次數(shù)為Nlb(N)；利用式(15)考慮計(jì)算載波截面完整循環(huán)譜的情況，所需實(shí)數(shù)乘法次數(shù)最多為(4M+4)N，M為平滑點(diǎn)數(shù)；假定選取2d+1根譜線利用式(17)進(jìn)行內(nèi)插，將拋物線擬合的最小二乘問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解問(wèn)題，所需實(shí)數(shù)乘法次數(shù)為22(2d+1)+48。這說(shuō)明內(nèi)插法引入的計(jì)算量低，利于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。結(jié)合以上分析，本文算法所需實(shí)數(shù)乘法次數(shù)為CM0=Nlb(N)+(4M+4)N+22(2d+1)+48，而基于雙側(cè)頻域平滑的傳統(tǒng)循環(huán)譜法[9]所需實(shí)數(shù)乘法次數(shù)為CM1=Nlb(N)+4N2，可見(jiàn)本文算法的計(jì)算量沒(méi)有明顯增加。

3 仿真及性能分析

為驗(yàn)證本文所提算法的性能，分別選取文獻(xiàn)[5]中基于頻率脊線提取的小波變換法(Frequency Ridges Extraction，F(xiàn)RE)和文獻(xiàn)[9]中基于雙側(cè)頻域平滑的傳統(tǒng)循環(huán)譜法(Traditional-Cyclic Correlation Spectrum，T-ccs)作對(duì)比。除特別說(shuō)明之外，仿真實(shí)驗(yàn)的部分參數(shù)為，采樣率fs=16 MHz，符號(hào)速率R0=0.2 Mb/s，載頻fc=4 MHz，觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N=8 192，約100個(gè)符號(hào)數(shù)。

針對(duì)二進(jìn)制CPM信號(hào)，下面通過(guò)仿真說(shuō)明所提算法在不同信噪比及調(diào)制參數(shù)條件下的性能，并驗(yàn)證內(nèi)插法對(duì)抑制DFT柵欄效應(yīng)的有效性。符號(hào)速率估計(jì)的歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)均以500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為準(zhǔn)。

(20)

式中：C為蒙特卡洛仿真次數(shù)。

3.1 信噪比及調(diào)制參數(shù)對(duì)算法的影響

表1 仿真參數(shù)

按照仿真條件1進(jìn)行仿真，算法性能曲線如圖1所示。從圖1中可以看出，當(dāng)SNR<-3 dB時(shí)，三種算法對(duì)應(yīng)的NMSE曲線基本一致；但當(dāng)SNR≥-3 dB時(shí)，本文所提算法的性能明顯優(yōu)于其他算法；此外，隨著信噪比的增大，本文所提算法的性能持續(xù)提升至10-7，而FRE算法和T-ccs算法的性能曲線穩(wěn)定于10-5。這是由于該條件下柵欄效應(yīng)成為了限制符號(hào)速率估計(jì)精度的主要因素，而本文所提算法結(jié)合內(nèi)插法削弱了柵欄效應(yīng)，所以相比于其他算法具有更優(yōu)的估計(jì)性能。

圖1 信噪比對(duì)算法性能的影響

按照表1所列的仿真條件2進(jìn)行仿真，圖2給出了不同調(diào)制參數(shù)條件下的算法性能曲線。由圖2可見(jiàn)，隨著相位約束長(zhǎng)度L增大，三種算法的性能都會(huì)衰退。這是由于成形脈沖的積分區(qū)間變長(zhǎng)，不利于符號(hào)速率的識(shí)別；同時(shí)，隨著調(diào)制指數(shù)的增大，三種算法的性能持續(xù)提升；特別地，當(dāng)調(diào)制指數(shù)h≥10/16時(shí)，本文算法的性能提升至10-6，而FRE算法和T-ccs算法的性能僅提升至10-4。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對(duì)不同相位約束長(zhǎng)度、不同調(diào)制指數(shù)的二進(jìn)制CPM信號(hào)，本文所提算法的性能均優(yōu)于其他算法。

圖2 L、h對(duì)算法性能的影響

為了驗(yàn)證符號(hào)過(guò)采樣率對(duì)算法性能的影響，按照表1所列的給定的符號(hào)速率取值范圍進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中過(guò)采樣率r=[fs/R0]，仿真結(jié)果如圖3所示。可見(jiàn)，在過(guò)采樣率r<6時(shí)，只有FRE算法性能表現(xiàn)出明顯的惡化，而本文算法和T-ccs算法均表現(xiàn)出很好的穩(wěn)健性，由此可知本文算法在采樣率一定的條件下可以正確估計(jì)出具有較大帶寬動(dòng)態(tài)范圍的二進(jìn)制CPM信號(hào)的符號(hào)速率；隨著過(guò)采樣率不斷增大，三種算法對(duì)應(yīng)的NMSE逐漸增大，這是由于仿真實(shí)驗(yàn)的采樣點(diǎn)數(shù)不變，符號(hào)速率減小則相應(yīng)的符號(hào)數(shù)量減小，表明數(shù)據(jù)量的大小也會(huì)對(duì)算法性能產(chǎn)生一定的影響；在不同過(guò)采樣率條件下，本文算法性能均優(yōu)于其他算法。

圖3 符號(hào)過(guò)采樣率對(duì)算法性能的影響

最后，為方便分析驗(yàn)證濾波器形狀對(duì)本文算法性能的影響，此處引入信噪峰值比[15]的概念。由于該類(lèi)算法是通過(guò)識(shí)別離散譜線完成對(duì)CPM信號(hào)的符號(hào)速率估計(jì)，所以離散譜線峰值與噪聲的幅度比值越大就越容易辨識(shí)出符號(hào)速率。依照表1所列的仿真條件4進(jìn)行仿真，圖4給出了三種不同成形濾波器條件下的仿真結(jié)果?？梢?jiàn)，一方面，隨著信噪比的增大，離散譜線的峰值比增大；另一方面，在相同仿真條件下，T-ccs算法與本文算法計(jì)算得到的循環(huán)譜對(duì)應(yīng)的離散譜線峰值比略有不同，但未見(jiàn)明顯惡化。由此表明本文算法針對(duì)不同的濾波器形狀表現(xiàn)出良好的穩(wěn)健性，可用于實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制CPM信號(hào)的符號(hào)速率盲估計(jì)。

圖4 成形濾波器形狀對(duì)算法性能的影響

3.2 DFT柵欄效應(yīng)對(duì)算法的影響

結(jié)合3.1節(jié)的仿真結(jié)果來(lái)看，SNR=5 dB時(shí)T-ccs算法和本文算法的性能穩(wěn)定，此時(shí)符號(hào)速率的估計(jì)誤差主要受限于柵欄效應(yīng)。本小節(jié)以T-ccs算法為對(duì)比，探究不同符號(hào)速率、不同符號(hào)數(shù)量條件下本文算法對(duì)FFT柵欄效應(yīng)的抑制作用，具體仿真條件見(jiàn)表1中的條件5和條件6。

圖5給出了仿真條件5和仿真條件6的仿真結(jié)果。由圖可見(jiàn)，一方面，由于DFT的柵欄效應(yīng)，相較于T-ccs算法，本文算法在未經(jīng)譜峰校正之前，符號(hào)速率估計(jì)的NMSE隨符號(hào)速率變化同樣存在著規(guī)律性的起伏，但前者的NMSE性能曲線起伏周期約2 kb/s，后者約為1 kb/s，顯然本文所提算法結(jié)合單側(cè)頻移法計(jì)算循環(huán)譜，提高了循環(huán)譜的分析精度，將柵欄效應(yīng)的縫隙間隔縮小至原來(lái)的1/2，驗(yàn)證了2.2節(jié)的理論分析；另一方面，在相同條件下，在采用了內(nèi)插法對(duì)譜峰搜索結(jié)果進(jìn)行校正后，NMSE性能曲線隨符號(hào)速率變化的起伏明顯變?nèi)?，證明本文算法有效抑制了DFT柵欄效應(yīng)對(duì)符號(hào)速率估計(jì)精度的影響。總之，針對(duì)不同符號(hào)速率、不同符號(hào)數(shù)量的情況，相較于T-ccs算法，本文算法估計(jì)性能更為穩(wěn)定，具有更高的估計(jì)精度，這與第2節(jié)所得結(jié)論一致。

(a)0.2 Mb/s符號(hào)速率

(b)2 Mb/s符號(hào)速率圖5 不同符號(hào)速率時(shí)柵欄效應(yīng)對(duì)算法性能的影響

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)二進(jìn)制CPM信號(hào)提出了一種改進(jìn)型的聯(lián)合循環(huán)譜和內(nèi)插法的符號(hào)速率估計(jì)算法。在相同條件下，通過(guò)選定CSA為Fs進(jìn)行單側(cè)頻移平滑計(jì)算循環(huán)譜，相較于循環(huán)譜的傳統(tǒng)計(jì)算方法，該方法可提高循環(huán)譜的分析精度，將柵欄效應(yīng)的縫隙間隔縮小至原來(lái)的1/2。此外，本文算法結(jié)合拋物線內(nèi)插法對(duì)譜峰搜索結(jié)果進(jìn)行校正，以增加較少計(jì)算量為代價(jià)換取了符號(hào)速率估計(jì)精度的大幅提高。理論分析與仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了該算法具有很好的抗噪性和魯棒性，以及更高的估計(jì)精度。這對(duì)通信對(duì)抗等非合作接收的實(shí)際工程應(yīng)用具有重要的意義。后續(xù)建議結(jié)合多進(jìn)制CPM信號(hào)的循環(huán)譜特征與其他高階內(nèi)插法對(duì)非合作接收的CPM信號(hào)符號(hào)速率盲估計(jì)問(wèn)題展開(kāi)研究。