孟武功， 蔣楊英

（舟山市7412 工廠研究院， 浙江舟山316041）

0 引言

ISO/TR 16224[1]、GB/Z 32564—2016[2]和VDI 2230[12]是螺母設(shè)計(jì)的現(xiàn)行指導(dǎo)資料。 但是資料中也僅規(guī)定了對(duì)邊寬度系數(shù)S/d≥1.4 的情況， 對(duì)于對(duì)邊小于標(biāo)準(zhǔn)寬度的螺母或螺母與螺栓強(qiáng)度差距較大的情況下， 未給出明確的設(shè)計(jì)指導(dǎo)?！堵菁y聯(lián)接的理論與計(jì)算》[6]中僅用標(biāo)準(zhǔn)對(duì)邊寬度計(jì)算，《螺紋緊固件聯(lián)接工程》[4]僅提出對(duì)螺母體作為“厚壁筒”來(lái)計(jì)算其內(nèi)表面切應(yīng)力。 對(duì)于受力較為復(fù)雜的螺母體，用簡(jiǎn)單的方法僅對(duì)某些特殊情況下的計(jì)算有用，對(duì)于更為普遍意義上的內(nèi)螺紋件設(shè)計(jì)顯然是不完整的。

利用FEM 方法對(duì)螺母的載荷與對(duì)邊的關(guān)系進(jìn)行分析可看到軸向載荷F∝對(duì)邊寬度S，在有些情況下也會(huì)出現(xiàn)高度方向的塌陷（壓潰）。 現(xiàn)實(shí)是無(wú)法預(yù)測(cè)六角面上或是螺紋牙以外部分的應(yīng)力， 應(yīng)用現(xiàn)有資料中介紹的方法得出的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況存在較大差異。

除非標(biāo)六角螺母、法蘭螺母螺紋的強(qiáng)度問(wèn)題以外，還有薄壁內(nèi)螺紋件見圖4， 它的承載能力、箱體件上內(nèi)螺紋的壁厚、沖壓件上的內(nèi)螺紋承載能力、以及預(yù)埋螺紋件的安全性預(yù)測(cè)常常是設(shè)計(jì)人員重點(diǎn)關(guān)注的非標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1 旋合長(zhǎng)度設(shè)計(jì)

1.1 設(shè)計(jì)方法

《緊固件連接設(shè)計(jì)手冊(cè)》[7]（見圖1）給出了內(nèi)螺紋剪切強(qiáng)度計(jì)算公式：

圖1 螺紋牙展開模型

式中：τ—螺紋緊固件聯(lián)接工程，τ=X×Rmn；Rmn內(nèi)螺紋抗拉強(qiáng)度；X—剪切強(qiáng)度/抗拉強(qiáng)度比；Fm—極限拉力載荷；D—內(nèi)螺紋公稱直徑；b—螺紋牙根寬度， 普通螺紋b=0.87P；kz—考慮各圈螺紋牙受力不均的系數(shù)，內(nèi)、外螺紋不同材料對(duì)應(yīng)的取值如下：

內(nèi)、外螺紋均為鋼：

根據(jù)VDI 2230 可查出表1 中數(shù)據(jù)：

表1 剪切強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度的比例系數(shù)

根據(jù)VDI 2230 不同性能等級(jí)的螺栓與螺母對(duì)應(yīng)的meff/d 關(guān)系。 結(jié)合表1 中的數(shù)據(jù)，可將10.9 級(jí)螺栓連接副對(duì)應(yīng)的螺母最小有效高度meffmin轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)方程。

meffmin=d×（0.72264+6.17938×0.99163Rmn

《緊固件聯(lián)接工程》[4]、VDI 2230[12]、《螺紋連接的理論與計(jì)算》[6]、《螺紋聯(lián)接設(shè)計(jì)與計(jì)算》[13]，分別提出了不同的算法，但計(jì)算結(jié)果均在meff與meffmin范圍中，其中《螺母設(shè)計(jì)指南》中列出的蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬法計(jì)算最為簡(jiǎn)單。

借助CAE 分析不同的高度與應(yīng)力的關(guān)系，結(jié)果表明螺母高度對(duì)于螺紋部分應(yīng)力的影響并不比對(duì)邊大小對(duì)應(yīng)力影響更敏感。 圖2 中曲線為提取CAE 分析中螺母外部各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，揭示了螺母對(duì)邊寬度、高度與應(yīng)力之間的關(guān)系。

圖2 同規(guī)格同強(qiáng)度旋合長(zhǎng)度由12～16 時(shí)的外部應(yīng)力狀態(tài)

1.2 螺母高度（或內(nèi)螺紋深度）計(jì)算

前面介紹了有效旋合長(zhǎng)度meff的計(jì)算方法。通常螺栓的旋入端和內(nèi)螺紋入口處均有倒角，所以在設(shè)計(jì)螺母高度（或內(nèi)螺紋深度）時(shí)需考慮端面倒角的高度。 《螺母設(shè)計(jì)指南》[1-2]中對(duì)于倒角的排除采用的是0.6hc，《螺紋連接的理論與計(jì)算》[6]采用減去0.5hc，此處選用與《螺母設(shè)計(jì)指南》一致。

則雙面倒角螺母公稱高度：

式中：hc—端面倒角高度。

2 螺母對(duì)邊尺寸設(shè)計(jì)

注意力都放在螺紋牙形上的受力與分析， 而螺母的支承面、六角對(duì)邊的應(yīng)力很少關(guān)注。在性能測(cè)試中也僅有一個(gè)擴(kuò)孔試驗(yàn)與對(duì)邊有間接關(guān)系， 其他的標(biāo)準(zhǔn)或設(shè)計(jì)資料基本未涉及。 但在緊固連接中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)支承面刮傷、變形、開裂等問(wèn)題，也有像圖4 中機(jī)體上的內(nèi)螺紋經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)開裂或滑牙，但是如何計(jì)算？ 設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是什么？

圖4 機(jī)體或箱體上的螺紋孔結(jié)構(gòu)

本文嘗試尋找一種比較方便的設(shè)計(jì)方法。

圖3 螺紋上的受力與分解

2.1 螺母設(shè)計(jì)指南方法計(jì)算

首先采用《螺母設(shè)計(jì)指南》里的螺母脫扣載荷可推導(dǎo)出S 與D 的關(guān)系式。

可以看出，此關(guān)系式是一個(gè)間接結(jié)果，由式（11）求得的螺母對(duì)邊尺寸與我們工程所需要的結(jié)果相差較大，或者說(shuō)，《螺母設(shè)計(jì)指南》 中所給參數(shù)反過(guò)來(lái)計(jì)算就會(huì)過(guò)于保守。 對(duì)設(shè)計(jì)者來(lái)說(shuō)，需要相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果。

2.2 數(shù)學(xué)模型

螺母體的受力比較復(fù)雜， 我們?cè)噲D通過(guò)應(yīng)力計(jì)算找到一種解析方法。

2.2.1 切應(yīng)力

我們可以先把螺母簡(jiǎn)化為一個(gè)厚壁圓筒， 螺紋的徑向分力類似于厚壁圓筒受內(nèi)壓力的應(yīng)力計(jì)算[5]，公式為：

式中：α—螺紋的牙形半角；S—螺母對(duì)邊寬度；d—螺栓公稱直徑；μth—螺紋摩擦系數(shù)；Mn—螺母高度；Fmn—螺母在給定性能下的保證載荷

2.2.2 螺旋升角引起的切向應(yīng)力

2.2.3 軸向均勻載荷引起的應(yīng)力

2.3 解析表達(dá)式

綜合上文提到的三向應(yīng)力， 就可以通過(guò)應(yīng)力間的相互關(guān)系找到所需要的設(shè)計(jì)方法。

利用目前的已有資料設(shè)計(jì)非標(biāo)六角螺母較困難，本文探索一種新方法， 通過(guò)三向應(yīng)力之間的應(yīng)力關(guān)系分析螺母受力，從而實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)非標(biāo)六角螺母的目的。

對(duì)于三向應(yīng)力的關(guān)系，可采用密塞斯（Von Mises）或特雷斯卡（Tresca）屈服條件進(jìn)行分析，下面我們根據(jù)密塞斯屈服條件：

σ 值以螺母材料在給定條件下的屈服強(qiáng)度代入，則可解得四個(gè)結(jié)果，即兩個(gè)復(fù)數(shù)值，兩個(gè)實(shí)數(shù)值，兩個(gè)實(shí)數(shù)值中取大的正值即對(duì)邊尺寸，此處為螺母接觸面處。

為清晰觀察解的范圍，可借助Matlab 進(jìn)行“數(shù)值”運(yùn)算， 并繪制圖5， 觀察圖5 得到在螺母高度1.2mm 處可得，有±10.7921 解。

圖5 函數(shù)圖解法

函數(shù)法與圖解法結(jié)合，在圖形上可印證S 解的范圍。

3 模型的應(yīng)用

3.1 使用方法之一：解析算法

觀察圖2 及圖6 可發(fā)現(xiàn)，螺母應(yīng)力在高度方向上，由上而下逐漸提高，式（16）是一個(gè)平均應(yīng)力方法，所以需要對(duì)載荷分布進(jìn)行必要的修正。

圖6 M8、M10、M12 三種規(guī)格螺母在不同材料強(qiáng)度下的旋合長(zhǎng)度與對(duì)邊值

分析螺母軸力分布的理論很多，此處借用《螺紋連接的理論與計(jì)算》[6]的分布理論。 略去相關(guān)的理論推導(dǎo)。

式中：vb、vn、Eb、En分別為螺栓和螺母材料的泊松比和彈性模量。 An、Ab分別為螺母和螺栓的應(yīng)力面積。

這里螺母的破壞準(zhǔn)則，采用屈服強(qiáng)度，即以Rsn替換σ。

分別將計(jì)算所需的螺栓與螺母的尺寸代入式 （17）～式（19），再將式（21）代入式（16）的常數(shù)項(xiàng)，得到表2 中10級(jí)螺母對(duì)邊最小尺寸。

表2 10.9 螺栓配不同材料性能下的內(nèi)螺紋的對(duì)邊S 或外徑尺寸與有效旋合長(zhǎng)度

（續(xù)表2）

若將這些參數(shù)與螺母的材料性能相關(guān)聯(lián)， 然后用數(shù)學(xué)工具把它繪制成曲線。 觀察螺母的旋合長(zhǎng)度的線型與螺母的載荷分布曲線非常相似，這并非巧合，而是揭示了它們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

3.2 使用方法之二：數(shù)值解

設(shè)螺母性能為Rsn，d 是已知的螺紋規(guī)格，meff是此前的計(jì)算結(jié)果，其中僅一個(gè)對(duì)邊尺寸S 為未知數(shù)。我們可以用解析計(jì)算，但計(jì)算模型經(jīng)過(guò)了簡(jiǎn)化，同時(shí)計(jì)算期間需人工干預(yù)，且過(guò)程中間的一些特定的條件需確認(rèn)，所以并非最優(yōu)結(jié)果。

現(xiàn)有條件下的計(jì)算工具十分豐富，可以采用python、VB、VBA、VC 或Matlab 等工具， 借用它們進(jìn)行非線方程組的數(shù)值解，可縮短計(jì)算時(shí)間并提高計(jì)算精度。計(jì)算時(shí)僅需根據(jù)自己對(duì)計(jì)算精度需求設(shè)置即可。 這里僅以python為例： 直接應(yīng)用密塞斯屈服條件， 此處設(shè)置計(jì)算精度為0.01。

若精度不夠可將條件改為0.0001，其他無(wú)需干預(yù)；當(dāng)然，可以引入“擬蒙特卡羅”方法，由于我們的未知條件并不多，而且趨勢(shì)及范圍基本明確，所以，即使循環(huán)次數(shù)不足及時(shí)加以調(diào)整即可。

通過(guò)上面的數(shù)值解法稍加改造， 在外面再加一層對(duì)不同材料的條件循環(huán)， 即可得到符合不同材料要求的對(duì)邊尺寸S。 下表就用此得到。

4 實(shí)例

下面我們將通過(guò)三個(gè)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證表2 中所設(shè)計(jì)尺寸數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

例1：螺母規(guī)格M8×1.25，保證載荷Fm=40kN、配用螺栓剛性，螺母抗拉強(qiáng)度=240MPa，螺母外徑D=16.3、高度分別按照m=8～16 進(jìn)行FEM 分析計(jì)算。 提取外層節(jié)點(diǎn)應(yīng)力并繪制曲線。

圖7 中有一個(gè)明顯的趨勢(shì)，高度大于11 之后應(yīng)力在高度方向上逐步變平緩，在高度大于16 之后對(duì)應(yīng)力的影響變的無(wú)關(guān)緊要了。 表2 中的涂色處的高度就在上圖的中間部位。

圖7 相同材料、相同直徑、相同載荷，不同高度尺寸的應(yīng)力云圖

圖8 相同直徑、不同厚度的螺母，在保證載荷下的外部應(yīng)力曲線

例2：下面以高度m=8 外徑D=10、11、11.5、12、12.5、13、13.5、14.5、15.5，性能800MPa 進(jìn)行FEM 分析計(jì)算，分析其應(yīng)力分布。 規(guī)格參見表2 中800MPa 一欄中參數(shù)。

圖9 中明顯地看到在較小的對(duì)邊尺寸下螺母體下部應(yīng)力較高且區(qū)域較大，隨著對(duì)邊的加大，高應(yīng)力深紅色區(qū)隨之減小，而且逐步向內(nèi)部的左下角集中。上部的低應(yīng)力藍(lán)色區(qū)也逐步擴(kuò)大。 由圖中可明顯地看到前兩個(gè)圖的下部有較大的變形且第一個(gè)D=10 加載時(shí)因變形過(guò)大失敗。與表2 中D=11.5～13 是符合的。

圖9 相同高度、相同材料狀態(tài)，不同的外徑或?qū)叧叽鐟?yīng)力云圖

圖10 可以看出，在S=10 時(shí)首先是在45%高度以下應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力，之后下降很快，當(dāng)S≥11.5 應(yīng)力變化就會(huì)變的平穩(wěn)， 當(dāng)S大于12 就已很平緩， 在S 加大后逐步趨于平直。 當(dāng)達(dá)到公稱S 值最危險(xiǎn)部位的應(yīng)力也只有螺母性能極限的50%左右。

圖10 相同高度、不同外徑或?qū)叧叽绲膽?yīng)力分布曲線

例3：用三維模型進(jìn)行仿真，載荷40kN，規(guī)格M8 高度18 外徑16.6、17、17.6、18.5、21，材料：鋁合金，性能240MPa。

可以看到圖11 中隨著螺母壁厚的增加，應(yīng)力的分布紅色區(qū)逐步縮小且向內(nèi)徑的左下角集中， 上部的低應(yīng)力藍(lán)色區(qū)逐步增大。 最小的D=16.6 的一個(gè)下部明顯有變形，D=17.6 最外部由深紅變淺。 這證實(shí)了表2 中M8 涂色區(qū)的兩個(gè)S 規(guī)格，其基本上是吻合的。

圖11 相同高度、同樣的材料狀態(tài)，不同外徑或?qū)叧叽鐚?duì)三維應(yīng)力分布的影響

5 總結(jié)

通過(guò)實(shí)例我們已驗(yàn)證了部分規(guī)格的準(zhǔn)確性， 通過(guò)表格查詢或是通過(guò)公式計(jì)算要設(shè)計(jì)螺母的外形尺寸， 或是一些鑄件的內(nèi)螺紋的外部尺寸， 表2 中尺寸是針對(duì)簡(jiǎn)化后的六角螺母而言，如果是六角螺母或是法蘭螺母，或是鑄件上的內(nèi)螺紋口緣外有大平面或筋板相助， 表中尺寸會(huì)相對(duì)更安全一些。

如果說(shuō)能準(zhǔn)確地了解所要設(shè)計(jì)的內(nèi)螺紋產(chǎn)品的材料性能， 通過(guò)計(jì)算或查表就可比較清晰地了解裝配后的工作狀態(tài)下，內(nèi)螺紋的安全系數(shù)。

6 結(jié)束語(yǔ)

由于篇幅的原因， 本文僅以較小的視角提出了一些個(gè)人對(duì)螺母外形尺寸的設(shè)計(jì)方法， 后續(xù)會(huì)根據(jù)需要在這方面以更大視角展示一些設(shè)計(jì)方法和驗(yàn)證方法。

隨著我國(guó)在汽車等各行業(yè)的大發(fā)展， 在緊固方面會(huì)有更多的需求，希望各行業(yè)同仁們可以提出自己的看法，或更好的設(shè)計(jì)理念和方法， 讓我們的工業(yè)設(shè)計(jì)盡快地走向世界前列。