殷雅俊

(清華大學航天航空學院工程力學系，北京 100084)

標題顯示出了三個關鍵詞：空間域上的協(xié)變微分學，時間域上的協(xié)變微分學，協(xié)變性思想。其中，空間域上的協(xié)變微分學成熟于里奇學派。其核心思想，亦即協(xié)變性思想，是里奇學派的偉大創(chuàng)見。三個關鍵詞中，只有時間域上的協(xié)變微分學是個新詞匯。

讀者也許會問：“時間域上的協(xié)變微分學，與空間域上的協(xié)變微分學，有何區(qū)別和聯(lián)系？”本文嘗試給出回答。

本文包括如下內容：(1)類比張量的空間協(xié)變微分概念，引入張量的時間協(xié)變微分概念；(2) 類比張量的空間廣義協(xié)變微分概念，引入張量的時間廣義協(xié)變微分概念；(3)類比空間域上張量的協(xié)變微分學和廣義協(xié)變微分學，展示時間域上張量的協(xié)變微分學和廣義協(xié)變微分學；(4)揭示空間域上與時間域上張量的協(xié)變微分學之間的對稱性，以及廣義協(xié)變微分學之間的對稱性。

1 從歷史的天空看張量微分學中的協(xié)變性思想

文獻[1-4] 曾指出，張量的微分概念不具有協(xié)變性。確切地說，張量分量的微分，不再是張量分量。里奇學派敏銳地意識到了張量的微分概念的局限性，他們拓展了協(xié)變性思想，定義了張量的協(xié)變微分概念。

歷史地看，協(xié)變微分是里程碑性的新概念––它是協(xié)變微分學誕生的標志，不僅為新學科奠定了基礎，而且為其發(fā)展開辟了新道路。

協(xié)變微分學的“運氣”可謂好得出奇：一經問世，就大放異彩–– 攜手黎曼幾何學，為廣義相對論奠定了數(shù)學基礎。廣義相對論著名的公設之一，是協(xié)變不變性公設?？梢?，在愛因斯坦心目中，協(xié)變性思想居于多么崇高的地位。不僅如此，廣義相對論場方程的關鍵項之一，就是里奇張量的協(xié)變導數(shù)。顯然，沒有協(xié)變微分學，就沒有廣義相對論。

歷史給予我們啟示：協(xié)變性思想的任何拓展，都可能具有恒久價值。幸運地是，這樣的拓展之路，竟然確鑿無疑地存在。拓展之路的起點，仍然是修復對稱性破缺的概念以及理論。確切地說，是修復空間與時間之間的對稱性破缺–– 空間域上，協(xié)變性思想無處不在；時間域上，協(xié)變性思想無影無蹤。具體地講，協(xié)變性思想起源于空間域，并在空間域上大放異彩。但在時間域上，似乎難覓其蹤跡。強烈的反差引起了筆者的注意，由此開啟了彌補對稱性破缺的進程?，F(xiàn)就其中的探索和感悟與讀者分享。

2 張量分析學中的對稱性破缺

文獻[1-2] 已經證實：張量的空間微分與張量的時間微分是對稱的概念?；谇罢?，可發(fā)展空間域上張量的微分學；基于后者，可發(fā)展時間域上張量的微分學。而空間域上張量的微分學與時間域上張量的微分學，是完全對稱的理論。

然而，優(yōu)美的對稱性沒能得到延續(xù)：

(1) 我們有“張量的空間協(xié)變微分” 概念，但沒有“張量的時間協(xié)變微分” 概念。顯然，概念上存在對稱性破缺。

(2)我們有空間域上張量的協(xié)變微分學，但沒有時間域上張量的協(xié)變微分學。顯然，理論上存在對稱性破缺。

我們借助關聯(lián)圖將上述對稱性和對稱性破缺進行羅列，如圖1 所示。

圖1 對稱性和對稱性破缺

為便于讀者理解，再就關聯(lián)圖做更細致的類比和解說。

先做縱向類比：歷史上，先驅們將張量的空間微分擴展成了空間協(xié)變微分，將空間域上張量的微分學發(fā)展成了張量的協(xié)變微分學。可以追問：與張量的時間微分形影相隨，能否擴展出張量的時間協(xié)變微分？與時間域上張量的微分學相生相伴，能否發(fā)展出時間域上張量的協(xié)變微分學？

再做橫向類比：與張量的空間微分對應，對稱地存在張量的時間微分；與空間域上張量的微分學對應，對稱地存在著時間域上張量的微分學?？梢宰穯枺号c張量的協(xié)變微分對應，是否對稱地存在張量的時間協(xié)變微分？與空間域上張量的協(xié)變微分學對應，是否對稱地存在時間域上張量的協(xié)變微分學？

科學史上有這樣的范例：偉大先驅們一旦捕捉到對稱性破缺現(xiàn)象，便緊追不舍，匠心獨具地彌補破缺，孜孜以求地修復對稱。而新的對稱性，最終都毫無例外地助產了新的理論?，F(xiàn)在，我們在張量分析學中發(fā)現(xiàn)了更多的對稱性破缺。問題是，能否彌補破缺的對稱性？能否構建新的對稱性？能否引出新的理論？答案是肯定的。

偉大先哲告誡后人：“歷史時常有驚人的相似之處，但決不會簡單地重復”。“驚人的相似之處”，意味著我們總能從歷史中獲得借鑒。“決不會簡單地重復”，意味著我們必須有所創(chuàng)造。

3 修復對稱性破缺的切入點—— 對稱性基因及其遺傳

拉格朗日描述下，文獻[1-2] 已經成對列出了對稱性概念–– 場函數(shù)(·) 對拉格朗日坐標xm的微分d(·)(即空間微分) 和對時間t的微分dt(·) (即時間微分)

其中，?(·)/?xm是場函數(shù)(·)對拉格朗日坐標xm的偏導數(shù)(即空間導數(shù))，dt(·)/dt是場函數(shù)(·) 對時間t的偏導數(shù)(亦即物質導數(shù)或時間導數(shù))。兩個定義式在表觀形式上是對稱的，在解析結構上也是對稱的。由于兩個概念非常基本，因此，它們就像兩顆對稱的種子，內含對稱的基因。令對稱基因持續(xù)不斷地遺傳下去，便可彌補破缺的對稱性。

拉格朗日坐標線嵌入在物體內且隨之一起變形，構成隨體(或拖帶) 坐標系。沿坐標線，基矢量可借助矢徑r=r(xm，t) 定義為gm=?r/?xm。為方便起見，隨體的gm被稱為拉格朗日基矢量?？臻g域上，拉格朗日基矢量的空間導數(shù)由克里斯托菲爾公式給出[5]

聯(lián)立式(1) 和式(3)，可寫出基矢量的空間微分

其中，?ivk是速度分量vk對坐標xi的協(xié)變導數(shù)。式(3) 與式(5)，式(4) 與式(6)，在表觀形式上是對稱的，在解析結構上也是對稱的。

以上述對稱性為基礎，空間域和時間域上對稱化的協(xié)變微分學，就可以拉開序幕了。下面，我們以二階張量為例，展開對稱化進程。

拉格朗日描述下，二階張量場函數(shù)T的分解式為

為簡單起見，式(7) 中只列出了張量的混變分量。

4 空間域上的協(xié)變微分學

空間域上的協(xié)變微分學[5-7]是里奇學派的杰作。歷史地看，空間協(xié)變導數(shù)和空間協(xié)變微分，是空間域上協(xié)變微分學的標志性概念。筆者注意到，先驅們在引出空間協(xié)變導數(shù)概念時，選擇了非常平易的出發(fā)點–– 張量對坐標的空間偏導數(shù)。式(7) 對坐標xm求偏導數(shù)。借助于式(3)，可以導出

組合系數(shù)是dxm。

至此，空間域上協(xié)變微分學的邏輯基礎成型了。隨后，我們看到了空間域上美輪美奐的建筑–– 奠定在協(xié)變微分概念基礎之上的協(xié)變微分學。

5 時間域上的協(xié)變微分學

空間域上，從張量的經典微分學到協(xié)變微分學，先驅們精彩紛呈的探索之路，深深地吸引了筆者；先驅們深邃的協(xié)變性思想，深深地啟發(fā)了筆者。2014年，筆者逐漸意識到，協(xié)變性思想的探索，應該有兩條平行的道路：先驅們走過的協(xié)變性之路，是空間域上的協(xié)變性道路。與之相對稱，還存在著一條平行之路，即時間域上的協(xié)變性道路[7-9]。沿著這條對稱之路，可以從時間域上張量的微分學，走向時間域上張量的協(xié)變微分學。

式(14) 與式(9) 之間的對稱性，式(15) 與式(10) 之間的對稱性，清晰可見。優(yōu)雅的對稱性，被完整地遺傳了下來。

當然，“時空的協(xié)變性”，僅僅是作者的個人感知，其真理性遠未得到檢驗。盡管如此，作者確信，協(xié)變性是時空的本征性質?；蛘哒f，協(xié)變性是大自然的本征性質。

進一步可研究張量場函數(shù)的時間協(xié)變

式(16) 與式(11) 之間的對稱性，式(17) 與式(12) 之間的對稱性，清晰可見。對稱性的遺傳，穩(wěn)定且精準。

正如時間微分與時間導數(shù)成正比(式(2))，時間協(xié)變微分與時間協(xié)變導數(shù)也成正比

至此，時間域上協(xié)變微分學的邏輯基礎齊備了。我們看到了時間域上富麗堂皇的建筑––奠定在時間協(xié)變微分概念基礎之上的協(xié)變微分學。

同時，理論的對稱性破缺得以彌補–– 時間域上的協(xié)變微分學大廈，與空間域上的協(xié)變微分學大廈，構成了對稱的建筑群，如圖2 所示。

圖2

6 從空間協(xié)變微分到空間廣義協(xié)變微分

然而，二者的對稱性沒有遺傳下去。協(xié)變性思想確保了?mui有定義，但?mui的定義誘發(fā)了對稱性破缺

也就是說，空間域上的協(xié)變微分學內部，存在對稱性破缺現(xiàn)象。這不是個別現(xiàn)象，類似的對稱性破缺現(xiàn)象在空間域內普遍存在。要彌補破缺的對稱性，必須以合適的方式定義?mgi，以便建立起?mui～?mgi對稱

要定義?mgi，僅有協(xié)變性觀念是不夠的，必須發(fā)展廣義協(xié)變性觀念[2，10-13]。

廣義協(xié)變性是一個新觀念。發(fā)展新觀念，需突破老觀念。突破形式有兩類，第一類是內部突破，第二類是外部突破。

不同于內部突破，外部突破意味著，從老觀念出發(fā)引不出新觀念，即必須從外部引入新的邏輯基礎。更一般地說：問題是在A 學科中提出來的，而解決問題的方案卻在A 學科之外(或B 學科之內)。例如，“怎樣定義基矢量的空間協(xié)變導數(shù)?mgi？怎樣定義并基的空間協(xié)變導數(shù)?m(gigj)？” 這類問題，是從空間域上的張量協(xié)變微分學內部提出來的，但答案卻不在其內部而在其外部。

筆者的解決方案，是以新概念為導引，以公理為基礎，將廣義協(xié)變性觀念[10-13]，從外部賦予空間域上張量的協(xié)變微分學。其具體內涵如下。

(1) 抽象出了一個更具一般性的新概念–– 廣義分量：

拉格朗日空間域上，滿足里奇變換的量，被稱為拉格朗日廣義分量。

(2) 提煉出了一條極具基礎性的公設–– 空間域上的協(xié)變形式不變性公設。

拉格朗日空間域上，公設表述如下：

拉格朗日廣義分量的空間廣義協(xié)變導數(shù)(或空間廣義協(xié)變微分)，與拉格朗日分量的空間協(xié)變導數(shù)(或空間協(xié)變微分)，在表觀形式上具有完全的一致性。

表觀形式的一致性，就是對稱性。因此可以說，協(xié)變形式不變性公設，就是對稱性公設。公設規(guī)定了?mgi與?mui表觀形式的一致性。這樣，就補齊了?mui～?mgi對稱性。

隨著空間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 概念的定義，新的概念對稱性破缺出現(xiàn)了，如圖3 所示。

圖3

下一節(jié)我們將彌補概念上的對稱性破缺。

7 從時間協(xié)變微分到時間廣義協(xié)變微分

可見，時間域上的協(xié)變微分學內部，也存在對稱性破缺現(xiàn)象。這也不是個別現(xiàn)象，類似的對稱性破缺現(xiàn)象在時間域上普遍存在。要補全破缺的對稱性，也必須發(fā)展時間域上的廣義協(xié)變性觀念。

時間域上的廣義協(xié)變性觀念[2，8-9，14]，不可能從時間域上的協(xié)變微分學內部產生，需借助于公理化思想從外部引入。于是有拉格朗日時間域上的協(xié)變形式不變性公設：

拉格朗日廣義分量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(或時間廣義協(xié)變微分)，與拉格朗日分量的時間協(xié)變導數(shù)(或時間協(xié)變微分)，在表觀形式上具有完全的一致性。

注意到，式(21)、式(22) 與式(19)、式(20) 完全對稱。這樣，概念上的對稱性破缺被補齊了，如圖4 所示。

圖4

8 空間域上的廣義協(xié)變微分學

“概念+公設”，就構成了公理化系統(tǒng)的基本要素。拉格朗日空間域上的公理化系統(tǒng)，就是拉格朗日空間域上的廣義協(xié)變微分學[2，10-13]。

這個線性變換，可以推廣到任意廣義分量。

張量T是特殊的廣義分量。其空間廣義協(xié)變導數(shù)?mT和空間廣義協(xié)變微分DT，可以按照公設定義，并可以證實有

這是賞心悅目的結果。式(24)結合式(9)和式(11)，可知

至此，空間域上廣義協(xié)變微分學的輪廓，清晰化了。

然而，理論上新的對稱性破缺又出現(xiàn)了，如圖5所示。

圖5

下一節(jié)我們將彌補理論上的對稱性破缺。

9 時間域上的廣義協(xié)變微分學

彌補理論上新的對稱性破缺并不困難：既然公理化思想能將空間域上的協(xié)變微分學拓展為廣義協(xié)變微分學，那么，公理化思想也能將時間域上的協(xié)變微分學拓展為廣義協(xié)變微分學[8-9，14]。

這個比例變換，可以推廣到任意廣義分量。

對于張量T，其時間廣義協(xié)變導數(shù)?tT和時間廣義協(xié)變微分DtT，可按照公設定義，且可以證實有

式(27) 結合式(14) 和式(16)，可知

至此，時間域上廣義協(xié)變微分學的輪廓，清晰化了。

注意到，式(26)～式(28)與式(23)～式(25)完全對稱。可以說，時間域上的廣義協(xié)變微分學，與空間域上的廣義協(xié)變微分學，完全對稱。形象地講，時間域上廣義協(xié)變微分學的大廈，與空間域上廣義協(xié)變微分學的大廈，構成了完美對稱的建筑群，如圖6所示。

圖6

再從整體上鳥瞰一下：從左到右，我們看到了平行對稱的三組建筑群：第一組是空間域上的張量微分學與時間域上的張量微分學；第二組是空間域上的協(xié)變微分學與時間域上的協(xié)變微分學；第三組是空間域上的廣義協(xié)變微分學與時間域上的廣義協(xié)變微分學。本文按順序依次描繪了三組對稱建筑群的構建歷程，井然有序，一氣呵成，順暢自然。然而，筆者必須坦誠地告訴讀者：真實的探索過程遠非如此輕松愉快。恰恰相反，一路磕磕絆絆，曲折反復，多次功敗垂成。讀者也許會質疑：本文中的構建進程完全異于真實的探索過程，是否有“篡改歷史”的嫌疑？

筆者聯(lián)想到學生時代的經歷。當年學習麥克斯韋方程組，深為其優(yōu)美、莊嚴、深刻所折服。然而，查閱歷史后才發(fā)現(xiàn)，教科書中的描述，與麥克斯韋真實的探索過程，完全不是一回事。教科書中的麥克斯韋方程組，是千錘百煉后的完美形態(tài)，與其誕生時的初始形態(tài)相比，自然有面目全非之感。然而，我們并不能指責教科書偽造了歷史。

筆者引用高斯的名言做注腳：“漂亮的大廈建成了，誰還會留下腳手架？”

10 空間域上廣義協(xié)變微分學的可計算性

空間域上，要使廣義協(xié)變微分學具有可計算性，必須澄清基矢量的空間廣義協(xié)變導數(shù)和空間廣義協(xié)變微分[2，10-13]。本節(jié)同時關注一個問題：透過廣義協(xié)變性思想的透鏡看空間，能看到什么？

拉格朗日基矢量gi的空間廣義協(xié)變導數(shù)?mgi，可根據(jù)公設，仿照矢量分量ui的空間協(xié)變導數(shù)?mui，定義成

仿照矢量分量ui的空間協(xié)變微分Dui，拉格朗日基矢量的空間廣義協(xié)變微分可定義為

基于上述定義，可以從空間廣義協(xié)變性的角度，研究空間的性質。立即發(fā)現(xiàn)，基矢量的空間廣義協(xié)變導數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為0，即

一旦基矢量的空間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 可計算，空間域上的廣義協(xié)變微分學，就具有了可計算性。

前期的研究中，式(31) 和式(32) 被稱為“空間域上的協(xié)變微分變換群”。這一變換群下的不變性質，就構成了空間域上廣義協(xié)變微分學的核心內容。

基矢量的空間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 恒為0，其物理意義，已經在前期的綜述論文中得到闡釋：融入基矢量的觀察者(簡稱“隨基觀察者”) 看到的基矢量的空間變化率，就是基矢量的空間廣義協(xié)變導數(shù)。由于觀察者隨著基矢量的伸長而伸長，隨著基矢量的轉動而轉動，因此，他根本感受不到基矢量的空間變化率，或者說，他感受到基矢量的空間變化率恒為零。

這里引用前輩力學家武際可先生的觀點：“基矢量的協(xié)變導數(shù)恒為零，是隨基觀察者牽連運動的必然結果?！?筆者將武先生的觀點稱為“運動的觀點”–– 觀察者站在基矢量上，隨之一起運動，這是牽連運動。由于隨基觀察者完全融入了基矢量，因此，他看到的相對運動，就恒為零。筆者認為，這是非常漂亮的思想，完美地把數(shù)學與力學融成了一體。這是影響廣泛的命題?？梢酝浦?，由基矢量的乘法運算生成的任何廣義分量，其空間廣義協(xié)變導數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為零。下面是滿足命題的例子。

度量張量分量的空間廣義協(xié)變導數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為0

度量張量是空間長度度量的“刻度”。其空間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 為零，正是隨基觀察者看到的結果。

度量張量的雜交分量[2，15]的空間廣義協(xié)變導數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為0度量張量雜交分量就是坐標變換系數(shù)。它不僅是空間長度度量的“刻度”，而且是坐標變換的“擔當者”。其空間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 恒為0，正是隨基觀察者看到的圖像。

我們該如何理解空間域上的“0” 結果？作者認為，“0”結果表明，空間具有協(xié)變性。可以大膽推斷：協(xié)變性是空間的本征性質。

沒有空間域上的廣義協(xié)變微分學，我們感知不到空間的協(xié)變性。這涉及到一個“詭異” 的問題：空間的協(xié)變性，是客觀實在，還是人為的塑造？筆者傾向于認為，盡管空間廣義協(xié)變微分是人造的概念，但由其刻畫的空間協(xié)變性，是客觀的，是不以人的意志為轉移的。

特別要指出的是，大量的“0”結果，使得空間域上的廣義協(xié)變微分學，變得致精致簡。

11 時間域上廣義協(xié)變微分學的可計算性

時間域上，要使廣義協(xié)變微分學具有可計算性，必須澄清基矢量的時間廣義協(xié)變導數(shù)和時間廣義協(xié)變微分[7-9]。本節(jié)同時關注一個問題：透過廣義協(xié)變性思想的透鏡看時間，能看到什么？

按照公設，拉格朗日基矢量的時間廣義協(xié)變導數(shù)?tgi，仿照矢量分量ui的時間協(xié)變導數(shù)?tui，可定義成

依據(jù)公設，仿照矢量分量ui的時間協(xié)變微分Dtui，拉格朗日基矢量的時間廣義協(xié)變微分可定義為

注意到，式(39)、式(40) 與式(29)、式(30) 完全對稱。在這樣的定義下，就可以從時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分)的角度，研究時間的性質。立即發(fā)現(xiàn)，基矢量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 恒為0，即

一旦基矢量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 可計算，拉格朗日時間域上的廣義協(xié)變微分學，就具有了可計算性。式(41)和式(42)被稱為時間域上的協(xié)變微分變換群。這一變換群下的不變性質，就構成時間域上廣義協(xié)變微分學的核心內容。

基矢量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 恒為0，其物理意義，可以這樣闡釋：隨基觀察者看到的基矢量的時間變化率，就是基矢量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分)。他隨著基矢量的伸長而伸長，隨著基矢量的轉動而轉動，因此，他根本感受不到基矢量的時間變化率，或者說，他感受到了0值。

請讀者再次回顧一下武際可先生運動的觀點。注意到，式(41)、式(42) 與式(31)、式(32) 完全對稱。

如下命題自然成立：基矢量的乘法運算給出的任何廣義分量，其時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 均恒為0。滿足命題的案例如下。度量張量分量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分) 恒為0，即

隨基觀察者感覺不到度量張量的時間變化率。注意到，式(43)、式(44) 與式(33)、式(34) 完全對稱。

作為坐標變換系數(shù)，度量張量的雜交分量的時間廣義協(xié)變導數(shù)(微分)[2，15]恒為0，即

我們該如何理解時間域上的“0”結果？“0”結果意味著，時間具有協(xié)變性。大膽推測：協(xié)變性是時間的本征性質。

沒有時間域上的廣義協(xié)變微分學，我們感知不到時間的協(xié)變性。這涉及到一個“詭異” 的問題：時間的協(xié)變性，是客觀實在，還是人為的塑造？筆者傾向于認為，盡管時間域上的廣義協(xié)變微分是人造的概念，但由其刻畫的時間協(xié)變性，是客觀的，是不以人的意志為轉移的。

特別要指出的是，大量的“0”結果，使得時間域上的廣義協(xié)變微分學，變得致精致簡。

12 時空的協(xié)變性

如上所述，空間具有協(xié)變性，時間也具有協(xié)變性。聯(lián)合起來，就可以說，時空具有協(xié)變性?；蛘哒f，協(xié)變性是時空的本征特性。

當我們談及場函數(shù)，一般都是指外加在空間域上的函數(shù)，例如，應力張量場函數(shù)，應變張量場函數(shù)，等。實際上，空間域自身也有場函數(shù)，例如，基矢量場函數(shù)，度量張量場函數(shù)，等?？臻g域自身的場函數(shù)，刻畫的是空間自身的本征性質，因此，可稱之為空間的本征場函數(shù)。

協(xié)變性思想，雖然是從外加張量場函數(shù)引出來的觀念，但也適用空間的本征場函數(shù)。時空上的“0”結果，正是協(xié)變性思想與空間本征場函數(shù)相結合的產物。“0” 結果，是本征場函數(shù)的空間協(xié)變微分不變性質，也是本征場函數(shù)的時間協(xié)變微分不變性質。也可以說，“0” 結果，是時空的協(xié)變不變性質。沒有廣義協(xié)變性思想的透鏡，不可能看見如此抽象的不變性質。

時空，是力學研究永恒的參照“背景”。理解時空的本性，是力學探索者永恒的使命。筆者曾經認為，力學發(fā)展到今天，對時空的理解，已臻完美無缺。然而，隨著協(xié)變性思想的拓展，筆者改變了看法：時空仍然是力學中有待深入理解的對象之一。

力學研究物質的運動，而任何運動都發(fā)生在特定的時空，都要受到時空的約束。這樣的約束，必然體現(xiàn)在刻畫運動的自然規(guī)律中：因為時空具有協(xié)變性，因此，自然規(guī)律必然具有協(xié)變性。于是，我們有一般性命題：正是時空的協(xié)變不變性，決定了自然規(guī)律的協(xié)變不變性。

由此看來，廣義相對論將“協(xié)變不變性”提升到至高無上的公理地位，絕對是無與倫比的高明之舉。

透過廣義協(xié)變性思想的透鏡，我們看到了美麗、對稱、協(xié)變的時空！

13 結論

空間域上的協(xié)變微分學是先驅們的經典之作，極大地推動了物理學和力學的發(fā)展。筆者期待，時間域上的協(xié)變微分學，能夠像空間域上的協(xié)變微分學一樣，成為物理學和力學探索者開疆拓土的利器。

對稱性貫穿本文始終?？臻g域上的協(xié)變微分學與時間域上的協(xié)變微分學，概念是對稱的，概念的解析結構是對稱的，理論體系是對稱的。當然，空間和時間也是對稱的。對稱性，大都表現(xiàn)為解析結構的相似性，以及代數(shù)結構的一致性。

空間域上的協(xié)變微分學與時間域上的協(xié)變微分學的對稱性，是偶然的巧合嗎？筆者的答案是否定的。如此精致的對稱性，昭示著某種客觀性和必然性。當然，要刻畫空間域上的廣義協(xié)變微分學和時間域上的廣義協(xié)變微分學，人為塑造的概念必不可少。雖然人為塑造的概念是主觀意志的產物，但人造概念揭示出的廣義協(xié)變性和對稱性，卻是客觀實在。