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        白噪聲激勵下非線性聲學(xué)超材料的隨機(jī)響應(yīng)1)

        2021-12-31 07:50:28王曉敏馮進(jìn)鈐陳越超
        力學(xué)與實踐 2021年6期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        王曉敏 馮進(jìn)鈐 陳越超

        (西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安 710048)

        噪聲充斥在各個領(lǐng)域中,帶來了很多負(fù)面的影響[1-2]。針對噪聲的控制,傳統(tǒng)的隔聲材料,如鋼板、磚墻、多孔和纖維等材料只具備在中高頻范圍吸附噪聲的能力,加之材料的面密度較大,重量過重,仍有很多不足之處。近年來,人們根據(jù)實際需要設(shè)計出的聲學(xué)超材料(acoustic metamaterial, AMMs)[3-4]作為一種復(fù)合型新型材料,由于制作成本較低,結(jié)構(gòu)簡單,具有良好的低頻噪聲阻隔能力,引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。目前對于線性聲學(xué)超材料的研究已經(jīng)比較成熟,對于非線性聲學(xué)超材料還處于初級階段[5-6]。Zhao 等[4]提出的單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料通過引入磁場來消除噪聲,實現(xiàn)了深亞波范圍內(nèi)寬帶低頻噪聲的吸收,為噪聲的控制提供了新的方向。

        隨機(jī)因素和非光滑因素[7]通常會伴隨發(fā)生,噪聲是一種很常見的隨機(jī)激勵,會引起系統(tǒng)產(chǎn)生很多復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為[8]。因此,對于隨機(jī)振動的響應(yīng)研究顯得尤為重要[9-10]。近年來,解決概率響應(yīng)的方法有很多種,隨機(jī)平均法[11-13]由于簡單可行,已被廣泛使用。針對非光滑碰撞振動系統(tǒng)[14]的研究,學(xué)者們通常使用Zhuravlev–Ivanov 非光滑變換[15]。本文的創(chuàng)新點在于單穩(wěn)態(tài)吸收器系統(tǒng)引入了一種對稱的非光滑變換,即Galerkin–Ivanov 變換[16]分析系統(tǒng)的響應(yīng)。并且,將力學(xué)和聲學(xué)領(lǐng)域結(jié)合起來進(jìn)行研究,完善了聲學(xué)超材料理論。單穩(wěn)態(tài)模型從頻域到時域的轉(zhuǎn)化,以及非光滑非線性因素的作用均是富有挑戰(zhàn)性的工作。本課題針對噪聲作用下的非線性單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料,分析其存在的動力學(xué)行為具有重要意義。

        首先,通過對單穩(wěn)態(tài)吸收器模型動力學(xué)方程的參數(shù)做無量綱化處理后和約束條件構(gòu)成本文的動力學(xué)系統(tǒng)。然后,利用非光滑變換得到原系統(tǒng)的近似等效系統(tǒng)。再次,對等效系統(tǒng)做能量包線隨機(jī)平均得到平均福克普朗克柯爾莫哥洛夫(Fokker Planck Kolmogorov,F(xiàn)PK)方程,再利用非光滑逆變換得到響應(yīng)的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)。最后,通過數(shù)值仿真分析系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng),驗證解析結(jié)果的正確性。

        1 單穩(wěn)態(tài)吸收器的碰撞振動模型

        考慮單穩(wěn)態(tài)吸收器的振動模型,如圖1 所示。

        圖1 單穩(wěn)態(tài)吸收器

        其中參數(shù)r表示吸收器的半徑。該模型是底部封閉的空腔,它主要由腔體中間薄膜上的質(zhì)量塊和同軸兩側(cè)極板上對稱放置的一對外部磁鐵組成,磁鐵會對質(zhì)量塊產(chǎn)生吸引力。該模型在時間域上滿足的動力學(xué)方程為

        考慮單邊剛性約束的無量綱化方程為

        式中,a,b分別表示剛度和阻尼系數(shù),屬于線性項系數(shù);c表示非線性系數(shù)。g是與時間相關(guān)的變量,它們分別表示為

        f是噪聲幅值,ξ(t) 是標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲,其均值和方差分別滿足

        τ是表示時間的平移,δ(t) 表示狄拉克函數(shù)。

        考慮帶有單邊約束非線性單穩(wěn)態(tài)吸收器的動力學(xué)系統(tǒng),其原始方程可表示為

        式中,R是碰撞恢復(fù)系數(shù),R的取值大小和碰撞面的材料相關(guān)且R ∈(0,1]。可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)R ∈(0,1) 時,碰撞后系統(tǒng)會有能量的損失,R越小能量的損失越大;當(dāng)取臨界值R=1 時,能量不變,系統(tǒng)運(yùn)動的狀態(tài)會變得不連續(xù),此時稱作未擾系統(tǒng)。˙x-和˙x+分別表示碰撞前后的速度,當(dāng)x >0,系統(tǒng)處于連續(xù)運(yùn)動的狀態(tài),可以視作“無約束的”;當(dāng)x=0,系統(tǒng)處于碰撞約束的位置,所以式(4) 可以看做連續(xù)微分方程和碰撞項構(gòu)成的混合系統(tǒng)。直接求解這個混合系統(tǒng)的解很難,所以需要構(gòu)造它的近似等效系統(tǒng)。

        2 伊萬諾夫非光滑變換

        為了應(yīng)用Galerkin–Ivanov 非光滑變換,以狀態(tài)空間的形式重新構(gòu)造了方程(4),引入新的變量m和n。令m=x和n= ˙x,得到

        3 概率響應(yīng)

        式(9)給出的是Stratonovich 方程,根據(jù)隨機(jī)微分方程(stochastic differential equation, SDE) 的知識,可以得到其等價的It?o型SDE 為

        W(t) 是維納過程。引入小參數(shù)ε,εf2/2 表示兩種積分變換的Wong–Zakai 修正項。g相對參數(shù)a,b,c的取值量級很小,可看做是系統(tǒng)的微小擾動。當(dāng)ε= 0 時,未擾系統(tǒng)的總能量函數(shù)(能量包線) 和勢函數(shù)分別為

        為使能量函數(shù)可以取正值,所以G(α)>0。由Khassminskii 定理可知,H是慢變量,位移變量α和速度變量β是快變量。得到總能量H關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)的微分方程為

        利用式(11)和式(13)結(jié)合It?o公式,當(dāng)ε →0 時,H可以用Markov 過程來近似

        利用式(11)和式(12)的變換,得到位移變量α和速度變量β的聯(lián)合PDF

        借助非光滑變換式(6) 和式(7),經(jīng)過坐標(biāo)變換可以得到原位移變量m和速度變量n的系統(tǒng)響應(yīng)的PDF 為

        那么,變量m和n的邊緣概率密度p(m) 和p(n)分別為

        最后,給出能量函數(shù)H的解析解p(H) 和相應(yīng)的數(shù)值解?p(H),可以計算出系統(tǒng)能量曲線擬合的誤差δ(H),即

        4 數(shù)值仿真

        將解析解和數(shù)值解繪制在同一圖中,以驗證解析結(jié)果的有效性。另外,進(jìn)一步對數(shù)據(jù)擬合的誤差δ(H) 做相應(yīng)的分析。

        4.1 響應(yīng)分析

        本節(jié)分成兩個部分,主要討論通過調(diào)節(jié)不同的阻尼系數(shù)b和幅值參數(shù)f,探究對響應(yīng)PDF 的影響。

        4.1.1 系統(tǒng)阻尼變化的響應(yīng)分析

        給出參數(shù)c=0.01,f=0.3,g=0.001,固定幅值f,觀察取b= 0.03,0.05,0.07 時,系統(tǒng)能量H的函數(shù)p(H)、位移m的概率密度p(m)、速度n的概率密度p(n) 以及它們的聯(lián)合函數(shù)p(m,n) 的解析解和數(shù)值解擬合的效果,如圖2 和圖3 所示。其中AS 表示解析結(jié)果,NS 表示數(shù)值結(jié)果。

        圖2 不同阻尼系數(shù)下的PDFs

        圖3 位移和速度的聯(lián)合PDFs

        圖2(a) 給出了H的PDF 曲線。當(dāng)f固定時,阻尼系數(shù)b是引起系統(tǒng)能量損失的重要因素。b取值越大,H的峰值也越高,能量函數(shù)p(H)接近于0 的速度越快。這符合熟知的物理背景,阻尼越大,能量損耗會更多,衰減的速率也就越快,結(jié)論是一致的。

        圖2(b) 表示變量m的PDF 曲線。位移曲線是一條截斷曲線,它的穩(wěn)態(tài)概率密度變化的峰值是在m= 0 處,即碰撞約束的位置。固定f,增大阻尼系數(shù)b,峰值越高,系統(tǒng)的狀態(tài)處于平衡位置的概率越大。而且,通過將解析結(jié)果和Monte Carlo 擬合效果進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)靠近峰值附近,數(shù)值解略高于解析解,這是因為碰撞時刻t0是通過二分法來取值的,通過減小步長使得結(jié)果更加精確。

        圖2(c) 是速度n的PDF 曲線。從圖中可以看出,它是一條類似于標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的光滑曲線,并且關(guān)于中點左右對稱。曲線的峰值出現(xiàn)在n= 0 位置,f不變,增大參數(shù)b,概率密度曲線的拖尾減小,峰值增高,變得更加陡峭。這表明,阻尼越大,系統(tǒng)更趨向于穩(wěn)定在平衡位置。減小參數(shù)b,峰值降低,曲線變得更加平滑。

        4.1.2 噪聲幅值變化響應(yīng)分析

        類似地,取系統(tǒng)參數(shù)分別為b= 0.05,c=0.1,g= 0.001,固定參數(shù)b取值,當(dāng)f= 0.2,0.3, 0.4 時, 獲取不同噪聲幅值下系統(tǒng)對應(yīng)的p(H),p(m),p(n),p(m,n) 的擬合曲線,如圖4 和圖5 所示。

        類似于圖2,圖4(a)~圖4(c) 分別給出總能量H,位移m和速度n的解析和數(shù)值結(jié)果曲線。當(dāng)阻尼b一定時,隨著幅值f增大,峰值變得越來越低,曲線更加光滑平緩,這表明噪聲的擾動使系統(tǒng)容易偏離平衡狀態(tài),而且發(fā)現(xiàn)p(n) 峰值接近于p(m)峰值的一半,說明噪聲會使系統(tǒng)向著遠(yuǎn)離平衡位置的方向去振動。反之,噪聲幅值越小,峰值會逐漸增高,系統(tǒng)接近0 的概率也就越大??梢钥吹?,噪聲幅值和阻尼變化對系統(tǒng)的影響是恰好相反的。

        圖4 不同幅值參數(shù)下的PDFs

        圖4 不同幅值參數(shù)下的PDFs (續(xù))

        參照圖3,圖5(a)~圖5(c) 給出的三組圖分別表示當(dāng)f=0.2,0.3,0.4 時,固定b,改變幅值f大小,對比解析解和數(shù)值解,可以看到數(shù)據(jù)擬合的效果很好。

        圖5 位移和速度的聯(lián)合概率密度曲線PDFs (續(xù))

        4.2 誤差分析

        給出能量函數(shù)的誤差曲線來說明使用能量包線隨機(jī)平均法分析系統(tǒng)響應(yīng)的有效性。

        圖6(a)和圖6(b)分別給出了不同阻尼系數(shù)和幅值參數(shù)下,能量H的誤差變化示意圖??梢钥吹?,通過均方誤差的數(shù)值模擬,最終誤差的閾值小于0.1。隨著H增加,誤差逐漸減小并逐漸趨于0。伴隨阻尼的增大,誤差趨于0 的速度加快。結(jié)合圖2(a) 以及圖4(a) 曲線擬合的情況,完全驗證了這一點。

        圖6 能量的誤差示意圖

        5 結(jié)論

        本文主要研究在剛性約束條件下的非線性單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸聲器模型的平穩(wěn)響應(yīng)。通過引入一種對稱的非光滑變換來處理碰撞引起的非光滑位置,給出近似等效系統(tǒng)。然后利用隨機(jī)平均法獲得穩(wěn)態(tài)的PDF,通過解析解與數(shù)值解的比較,驗證了隨機(jī)平均法的適用性。結(jié)果表明:隨機(jī)平均法可以有效地分析系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。隨著噪聲幅值的增大,響應(yīng)的平穩(wěn)PDF 會變得更加光滑,系統(tǒng)更趨向于穩(wěn)定在平衡位置。正是由于單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料寬帶低頻吸聲、減振、降噪的優(yōu)點,結(jié)合對其動力學(xué)行為的分析,可以給生活、工業(yè)、軍事等各個領(lǐng)域噪聲防控帶來極大的便利。基于單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料,本文重點給出了隨機(jī)響應(yīng)的研究結(jié)果,后續(xù)將進(jìn)一步考慮材料的非線性和噪聲特性,探討強(qiáng)非線性和不同噪聲對系統(tǒng)的頻幅、模態(tài)等方面的影響,提高超聲材料的吸音效果。

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