彭伯倫 江 杰， 任浩熙 陳思達，

*(中國建筑第八工程局有限公司，南寧 530000)

?(廣西大學土木建筑工程學院，南寧 530004)

**(工程防災與結構安全教育部重點實驗室，南寧 530004)

??(廣西防災減災與工程安全重點實驗室，南寧 530004)

在研究公路路面、機場道面和列車軌道的動力響應問題上，通常將其視為移動載荷作用下的黏彈性地基梁或地基板模型，很多學者對這個問題做了大量的研究工作[1-4]。Kenney[5]較早地對Winkler地基模型上的Euler–Bernoulli 梁進行了研究，得到勻速移動集中載荷作用下梁撓度的解析解，并得出了無限長梁速度和阻尼的臨界值。Sun[6]運用Fourier變換和留數(shù)定理推導得到了黏彈性地基梁的穩(wěn)態(tài)響應封閉解，并研究了不同速度和阻尼情況下梁撓度的變化規(guī)律。Kargarnovin 等[7]和Cao 等[8]進行了彈性Pasternak 地基梁在移動集中載荷下的振動分析，結果表明在研究梁撓度時，不能忽略地基剪切模量的影響。時伉麗等[9]利用二重Fourier 變換和留數(shù)定理，對黏彈性Pasternak 地基梁的撓度響應進行求解，最后得到了在復數(shù)域上的封閉解，并著重分析了地基黏性和剪切力的作用。

以上研究在建立模型時，都只考慮了處于勻速運動狀態(tài)下的載荷，忽視了載荷在變速運動下的影響。在實際工程如列車出入站、飛機起降和車輛啟動等過程中的速度都不是恒定的，目前還十分缺少對于路面結構在速度變化的載荷作用下的動力響應分析。許多研究考慮了加速度的影響，如Niki 等[10]研究了變速移動載荷作用下Winkler 地基有限梁的動力響應，并對單軸和雙軸車輛載荷進行了參數(shù)化分析。Edmond 等[11]則利用在空間上Fourier 變換和在時域上Laplace 變換的方法，得到了變速載荷作用下黏彈性地基梁一般解，研究結果表明加速度和初速度的增大導致了梁撓度的減小。陳上有等[12]用變速移動載荷模擬車輛變速通過橋梁，將車輛載荷化簡為兩種變速移動載荷，研究表明橋梁的撓度受到載荷初速度、加速度大小的影響。王少欽等[13]通過振型疊加原理，建立了勻變速移動載荷通過簡支梁橋的動力平衡微分方程，并對車橋共振的現(xiàn)象進行了分析。上述變速移動載荷的研究中，模型的建立采用的是Winkler 地基，忽視了土體的剪切作用，誤差會有所增大[14]。

本文基于以上研究，采用了能夠反映土體彈簧剪切相互作用的Pasternak 地基模型。首先建立了位于Pasternak 黏彈性地基上有限長梁振動微分控制方程。然后基于振型疊加法得到了在變速載荷作用下梁撓度的表達式，最后采用Gauss–Legendre 求積公式對梁的撓度進行求解，接著對移動載荷的加速度、初速度及地基梁參數(shù)進行分析，得出其對梁撓度的影響。

1 基本控制方程及其解

假設一個位于黏彈性Pasternak 地基上的Euler–Bernoulli 有限長梁，在其表面受到一個變速移動的集中載荷P(x，t)，載荷以某一速度v(t) 沿著x正方向移動，如圖1 所示。其中，EI為梁的抗彎剛度，m為單位長度質量，k為地基的彈性模量，c為地基的阻尼系數(shù)，Gp為地基的剪切力。

圖1 黏彈性地基梁模型

令t時刻梁上x處的撓度為w(x，t)。根據(jù)經(jīng)典彈性地基梁理論，在笛卡爾坐標系下的動力控制方程可寫成[9]

為了得到式(1) 的解，采用振型疊加法進行相應地變換，最后轉換成廣義坐標下的動力平衡方程，根據(jù)文獻[15]，w(x，t) 解的假設形式為

式中，Xi(x) = sin(iπx/l)(i= 1，2，···，n) 表示振型函數(shù)，Ti(t) 為對應的廣義坐標。

將式(2) 代入式(1) 后得

式中P(x，t) 為作用在梁表面的移動載荷，可表示為

式中δ(·)為單位脈沖函數(shù)，又稱為Dirac 函數(shù)，有以下性質定義

式(4) 中x0表示載荷作用的位置，基于本文的假設，將載荷的速度看成是隨時間變化的函數(shù)，即當初速度為v0、加速度為a時，載荷作用位置可表示為

將式(3)兩端乘以Xn(x)，并對x進行積分，根據(jù)振型函數(shù)的正交性化簡，可以得到有限長梁的第n階振型的運動方程

式中βn和ξn表達式分別為

式(7) 的解可由Duhamel 積分形式表示為

采用MATLAB 對式(10) 進行數(shù)值積分，通過自適應步長的Gauss–Legendre 求積公式進行計算，然后將計算得到的Tn(t) 代入式(2) 就可以得到撓度的數(shù)值解。為了提高計算精度，在本文計算中取n=100。

2 算例對比驗證

為了驗證本文的正確性，當加速度退化為0 時，將本文計算得到的結果與文獻[16] 進行對比，計算參數(shù)如下：梁彈性模量E= 201× 109Pa，截面的慣性矩I= 3.05× 10-5m4，單位長度質量m= 60.37 kg/m，文獻[17] 指出當有限長梁長度為50 m 時可以近似等同于無限長梁，即取l= 50 m，地基彈性模量k= 3.5×107Pa，地基阻尼系數(shù)c=1.73×106N/(m/s)，地基剪切力Gp=6.67×107N，移動載荷速度v0=50 m/s，載荷幅值P=6.5×104N。圖2 可以看出本文的退化結果與文獻[16] 的計算結果吻合較好，從而驗證了本文解的正確性。

圖2 本文結果和文獻[16] 結果的比較

3 參數(shù)研究

前述驗證了變速移動載荷作用下地基梁撓度解的正確性，從式(1) 可以看出地基梁撓度與載荷加速度、初速度以及地基參數(shù)有關，在此著重研究上述影響因素對地基梁撓度的影響。假設載荷從坐標原點出發(fā)，向著x正方向移動，運動方式為變速運動。取載荷幅值P= 100 kN，梁采用的是UIC260鋼軌模型[14]，其參數(shù)為EI=6.12×106N·m2，m=60.34 kg/m，在實際工程中，無限長梁能夠更好地模擬實際路況，取l= 50 m，假設地基彈性模量Es= 50 MPa，泊松比ν= 0.3，地基阻尼系數(shù)c=1.73×106N/(m/s)，土層厚度H=10 m，Pasternak地基模型的參數(shù)可以通過簡化彈性空間法[14]得到，計算公式為

3.1 不同位置處撓度變化

圖3 為移動集中載荷在加速度a=10 m/s2，初速度v0= 10 m/s 時，黏彈性地基梁在x= 10， 25，40 m 處的撓度隨時間變化曲線。圖中豎虛線表示的是移動載荷作用在x=10， 25， 40 m 上的時刻，可以發(fā)現(xiàn)梁撓度最大值并不是發(fā)生在載荷作用時刻，而是出現(xiàn)在移動載荷離開該點后的某一刻，這個現(xiàn)象稱為時間滯后現(xiàn)象。這三點處的撓度隨時間變化曲線類似，僅僅是幅值不同。

圖3 不同位置處撓度隨時間變化曲線

3.2 初速度影響

圖4 計算的是梁上一點在移動集中載荷加速度為a= 10 m/s2的情況下，初速度對梁撓度變化的影響。從數(shù)值上進行觀察，通過將初速度從10 m/s增大到100 m/s，梁撓度的最大值相對減少了大約72.66%，可見初速度變化對梁撓度的影響十分顯著。圖5 為對應的載荷作用時刻，梁上各點撓度的變化規(guī)律，可以看出，速度的改變并沒有對滯后現(xiàn)象造成影響，撓度最大值仍舊出現(xiàn)在載荷作用的后方。

圖4 不同初速度下?lián)隙入S時間變化規(guī)律

圖5 不同初速度下載荷作用時刻梁上各點的撓度

3.3 加速度影響

圖6 表示了在初速度為10 m/s 的情況下，不同加速度對梁撓度變化規(guī)律的影響。與初速度的影響近似，通過賦予移動載荷不同的加速度，載荷通過加速移動到達梁上一點時，梁的撓度呈現(xiàn)先增大后減少的現(xiàn)象，并且撓度大小最后會趨于0。從梁撓度數(shù)值上看，通過將加速度從0 增大到100 m/s2，梁撓度最大值相對減小了大約39.5%，可見載荷加速度對梁動力響應的影響同樣不可忽視。圖7 為對應的載荷作用時刻梁上各點撓度的變化規(guī)律，可以看出，加速度的改變并沒有對滯后現(xiàn)象造成影響，撓度最大值仍舊出現(xiàn)在載荷作用的后方。

圖6 不同加速度下?lián)隙入S時間的變化

圖7 不同加速度下載荷作用時刻梁上各點的撓度

3.4 地基剪切力影響

圖 8 計算了移動集中載荷在初速度v0=10 m/s、加速度a= 10 m/s2的情況下，地基剪切力對梁撓度變化規(guī)律的影響。圖上清楚地展現(xiàn)出地基剪切力對梁撓度變化有著較大影響，地基剪切力從0(退化為Winkler 地基模型)增大到12.8×107N時，梁的撓度最大值減少了40.61%，并且當不考慮剪切力時，梁還會出現(xiàn)一定的負撓度，地基剪切力增大后，梁的動撓度會變小。造成這種情況的原因是，Pasternak 地基模型考慮了土體彈簧之間剪切相互作用的影響，這種相互作用可以有效地抑制梁的振動，所以從最后的計算結果上看，在考慮了地基剪切力影響的Pasternak 地基模型計算結果要比在Winkler 地基模型的計算結果小。由此可知，在計算黏彈性地基梁的動力響應時，不能夠忽略地基剪切力的影響。此外，從圖上還可以看出，地基剪切力的增大，使得梁撓度變化曲線整體向左偏移，即地基剪切力對動力響應的滯后有一定影響。

圖8 不同剪切力下?lián)隙入S時間的變化規(guī)律

3.5 地基彈性模量影響

圖 9 顯示了移動集中載荷在初速度v0=10 m/s、加速度a=10 m/s2的情況下，地基彈性模量對梁撓度變化規(guī)律的影響，地基彈性模量的取值有2.5，5，7.5，10 MPa。從圖上可以看出，地基彈性模量對梁的動撓度有著十分明顯的影響，但彈性模量在不同范圍的影響不同。當?shù)鼗鶑椥阅Ａ繌?.5 MPa增大到5 MPa 時，梁撓度減少了大約15.96%，而當彈性模量從7.5 MPa 增大到10 MPa 時，梁撓度只減少了大約9.49%。此外，隨著地基彈性模量的改變，梁撓度變化曲線的總體趨勢沒有改變，說明動力響應的滯后現(xiàn)象與彈性模量沒有關系。

圖9 不同彈性模量下?lián)隙入S時間的變化規(guī)律

3.6 地基阻尼影響

關于不同初速度下阻尼對地基梁動力響應影響方面的研究已有學者做了相關工作[18]，在此本文僅對不同加速度情況進行研究。圖10 顯示了移動集中載荷在初速度為v0= 10 m/s，加速度分別為a=10 m/s2，a=50 m/s2的情況下，阻尼對地基梁撓度變化規(guī)律的影響。比較兩個圖可以發(fā)現(xiàn)，當?shù)鼗枘釓?.73×105N/(m/s)增大到3.64×106N/(m/s)，在加速度為10 m/s2時梁撓度最大值減少了44.96%，在加速度為50 m/s2時梁撓度最大值減少了65.88%，加速度較大時地基阻尼的影響更為顯著。此外，隨著地基阻尼的增大，梁撓度曲線明顯向右偏移，即梁撓度最大值出現(xiàn)的時間發(fā)生了滯后。當?shù)鼗枘彷^小時，梁撓度變化曲線是關于載荷作用時刻對稱的，而隨著阻尼的增大，梁撓度變化曲線的不對稱性愈發(fā)明顯，因此阻尼是導致動力響應發(fā)生延遲的原因。

圖10 不同阻尼下?lián)隙入S時間的變化規(guī)律

為更近一步研究地基阻尼對梁撓度最大值的影響，圖11 顯示了在不同載荷加速度的情況下，地基阻尼對地基梁撓度最大值的影響規(guī)律。從圖上可以發(fā)現(xiàn)，在無地基阻尼和較低地基阻尼情況下(c ＜260 kN/(m/s))，移動載荷的加速度越大，產(chǎn)生的梁撓度最大值就越大，而當?shù)鼗枘彷^大時(c ＞260 kN/(m/s))，移動載荷的加速度越大，產(chǎn)生的梁撓度最大值就越小。此外還可以得出，移動載荷的加速度較小時，地基梁撓度最大值隨地基阻尼的增大衰減較慢，而當移動載荷的加速度較大時，地基梁撓度最大值隨地基阻尼的增大衰減較快。

圖11 撓度最大值與地基阻尼的關系

4 結論

本文對Pasternak 黏彈性地基上有限長梁在變速移動載荷作用下的梁撓度進行了解析推導，得到了梁撓度的積分表達式，從中得出以下幾個結論：

(1) 其他條件相同時，載荷初速度從0 增大到100 m/s 時，梁的撓度最大值減小了大約72.66%，加速度從0 增大到100 m/s2時，梁撓度最大值減小了大約35.9%。

(2) 梁撓度與彈性模量、地基剪切力密切相關。增大彈性模量可以有效抑制梁的振動；對于地基剪切力，地基剪切力從0 增大到12.8×107N 時，梁的撓度幅值相對減少了40.61%。地基彈性模量不影響動力響應的滯后現(xiàn)象，而地基剪切力增大，梁撓度曲線向左偏移，說明地基剪切力對滯后現(xiàn)象有削弱的作用。

(3) 當?shù)鼗枘釓?.73× 105N/(m/s) 增大到3.64×106N/(m/s) 時，在加速度為10 m/s2時梁撓度最大值減少了44.96%，在加速度為50 m/s2時梁撓度最大值減少了65.88%，加速度較大時地基阻尼的影響更為顯著。

(4)在研究不同加速度下，地基阻尼對梁撓度最大值影響時發(fā)現(xiàn)，當?shù)鼗枘嵝∮?60 kN/(m/s)，梁撓度最大值會隨著載荷加速度的增大而增大，而當?shù)鼗枘岽笥?60 kN/(m/s)，梁撓度最大值會隨著載荷加速度的增大而減小。