劉志強(qiáng)，葉 曦，錢同惠

（江漢大學(xué) 智能制造學(xué)院，湖北 武漢 430056）

0 引言

二自由度直升機(jī)是微型無(wú)人機(jī)中較為常見的機(jī)型，常被應(yīng)用于航拍、軍事偵察以及無(wú)人機(jī)快遞等多個(gè)領(lǐng)域［1－2］。在研究直升機(jī)控制過(guò)程中，直升機(jī)作為控制對(duì)象，具有很強(qiáng)的非線性和耦合性，使得直升機(jī)的穩(wěn)定性和操縱性較差［3］?？刂葡到y(tǒng)是直升機(jī)運(yùn)行的關(guān)鍵，它對(duì)增強(qiáng)直升機(jī)穩(wěn)定性和操作性有著重要作用。因此，設(shè)計(jì)合適有效的控制系統(tǒng)，研究更精準(zhǔn)的控制方法，對(duì)直升機(jī)整體性能的改善有著較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

王怡怡等［4］研究了二自由度直升機(jī)姿態(tài)角控制的自抗干擾控制方法，從理論上保證了該控制方法的有效性，但并沒(méi)有運(yùn)用到實(shí)物中進(jìn)行驗(yàn)證；孫雨佳等［5］設(shè)計(jì)了模糊PID 控制方法，有效改善了控制系統(tǒng)的性能，但未有效解決直升機(jī)系統(tǒng)的高耦合性；王博［6］采取線性化和極點(diǎn)配置的方法，設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋控制器，解決了強(qiáng)耦合問(wèn)題；趙文豪［7］運(yùn)用LQR 控制策略對(duì)直升機(jī)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，對(duì)于強(qiáng)耦合系統(tǒng)，LQR 控制器基本可以滿足系統(tǒng)的跟蹤控制要求。

通過(guò)分析以上文獻(xiàn)可知，狀態(tài)反饋控制器對(duì)于二自由度直升機(jī)的姿態(tài)控制具有較強(qiáng)的解耦性和適用性。本文利用Quanser AERO 直升機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，提出了一種基于LabVIEW 平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)反饋控制方法。LabVIEW 平臺(tái)拖拽式的編程方式相較于MATLAB 編程更為靈活簡(jiǎn)單，良好的可視化操作界面能讓用戶根據(jù)需求進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定，大大提高了工作效率［8－11］。本文在二自由度直升機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，通過(guò)控制俯仰和偏航兩個(gè)方向角來(lái)研究直升機(jī)姿態(tài)控制方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用LabVIEW 平臺(tái)能夠?qū)崟r(shí)跟蹤直升機(jī)俯仰角和偏航角變化，驗(yàn)證了LQR 控制器的信號(hào)跟蹤性能，解耦性能較好。

1 二自由度直升機(jī)系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)

1.1 系統(tǒng)組成

直升機(jī)模型的主要構(gòu)件有基座、俯仰樞軸、偏航樞軸、螺旋槳等，實(shí)物結(jié)構(gòu)如圖1 所示?；鳛橐粋€(gè)托臺(tái)，雙槳在其上進(jìn)行俯仰和偏航運(yùn)動(dòng)。左右螺旋桿分別安裝在槳的兩端，其中螺旋桿底部分別安裝兩個(gè)無(wú)芯直流電機(jī)。當(dāng)兩端螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)，產(chǎn)生升力使系統(tǒng)做俯仰運(yùn)動(dòng)；當(dāng)左右螺旋槳存在電壓差時(shí)，可以使系統(tǒng)做偏航運(yùn)動(dòng)。

圖1 二自由度直升機(jī)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of the two-DOF helicopter

直升機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力來(lái)源于電機(jī)工作，其電機(jī)電樞電路原理圖如圖2 所示。直流電機(jī)軸與螺旋槳輪轂連接，輪轂是一種夾頭夾鉗，用于將螺旋槳安裝到電機(jī)上，具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1。螺旋槳連接輸出端，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2。相關(guān)符號(hào)參數(shù)信息詳見表1。

表1 符號(hào)參數(shù)信息Tab.1 Symbol parameter information

圖2 電機(jī)電樞電路原理圖Fig.2 Schematic diagram of the motor armature circuit

反抗電動(dòng)勢(shì)電壓eb與電機(jī)軸轉(zhuǎn)速ωm以及電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)km有關(guān)，其表達(dá)式為

將空氣阻力所施加的扭矩簡(jiǎn)化為與電機(jī)轉(zhuǎn)矩相反的阻力矩τd，其表達(dá)式為

本文直升機(jī)系統(tǒng)俯仰角度與偏航角度的測(cè)量是通過(guò)對(duì)編碼器的脈沖進(jìn)行計(jì)數(shù)實(shí)現(xiàn)的，得到的角度數(shù)據(jù)傳輸?shù)娇刂瓶ㄖ?，進(jìn)而實(shí)時(shí)獲取俯仰運(yùn)動(dòng)和偏航運(yùn)動(dòng)信號(hào)。編碼器的型號(hào)參數(shù)詳見表2。

表2 編碼器的型號(hào)參數(shù)Tab.2 Encoder type parameters

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

二自由度直升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型的建立需要分析其機(jī)械結(jié)構(gòu)和受力情況，采用微分方程的形式來(lái)表示。實(shí)驗(yàn)自由體模型如圖3 所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)自由體模型Fig.3 Experimental free-body model

模型使用如下約定：

1）當(dāng)俯仰角為零時(shí)，直升機(jī)與水平地面平行。

2）當(dāng)俯仰運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生力Fp，機(jī)身圍繞Y軸逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，俯仰角變大，即θ˙＞0。

3）當(dāng)偏航運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生力Fy，機(jī)身圍繞Z軸逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，偏航角變大，即ψ˙＞0。

4）當(dāng)俯仰轉(zhuǎn)子電壓Vp＞0 時(shí)，俯仰角θ˙＞0。

5）當(dāng)偏航轉(zhuǎn)子電壓Vy＞0 時(shí)，偏航角ψ˙＞0。

考慮到俯仰和偏航運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的耦合情況，可建立如下微分方程。當(dāng)機(jī)身與水平地面平行時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程為

在俯仰和偏航軸上作用的扭矩為

式中，Jp、Jy分別表示俯仰方向和偏航方向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；Dp、Dy分別表示俯仰軸和偏航軸的阻尼，V·s/rad；Ksp表示俯仰軸的剛度，N·m/rad；Kpp、Kyy分別表示俯仰轉(zhuǎn)子和偏航轉(zhuǎn)子的扭矩推力增益，N·m/V；Kpy表示偏航轉(zhuǎn)子在俯仰上作用的交叉扭矩推力增益，N·m/V；Kyp表示俯仰轉(zhuǎn)子在偏航上作用的交叉扭矩推力增益，N·m/V；Vp、Vy分別表示施加在俯仰轉(zhuǎn)子和偏航轉(zhuǎn)子上的電壓，V。

本文考慮到受控對(duì)象非線性特征明顯，設(shè)計(jì)出有效的控制方法需要得到直升機(jī)整體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通過(guò)變換函數(shù)模式，化簡(jiǎn)得到運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)空間表達(dá)為

本次實(shí)驗(yàn)在二自由度直升機(jī)系統(tǒng)平臺(tái)上經(jīng)過(guò)測(cè)試得到相關(guān)物理參數(shù)見表3。在進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)量和計(jì)算過(guò)程中會(huì)使各項(xiàng)參數(shù)存在一定誤差，但是誤差范圍不會(huì)對(duì)控制系統(tǒng)的研究產(chǎn)生太大影響。

表3 二自由度直升機(jī)物理參數(shù)Tab.3 Physical parameters of the two-DOF helicopter

2 控制器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)PID 控制在非線性系統(tǒng)的線性化模型上很適用，但它不考慮俯仰運(yùn)動(dòng)和偏航運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)耦合。因此，該控制方法有一定的缺陷，無(wú)法滿足預(yù)期控制目標(biāo)。利用上述建模給出的狀態(tài)空間模型，可以采用LQR 算法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，改善控制系統(tǒng)的耦合性。LQR 可以求得狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，它以狀態(tài)方程形式給出線性系統(tǒng)，目標(biāo)函數(shù)是對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)［12］。本文使用最優(yōu)線性二次型跟蹤調(diào)節(jié)理論對(duì)二自由度直升機(jī)俯仰軸和偏航軸進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

2.1 系統(tǒng)的可控性分析

系統(tǒng)可控性描述的是給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，存在控制矢量使得有限時(shí)間內(nèi)可以把系統(tǒng)所有的狀態(tài)引向零狀態(tài)。

可控性的判別常采用秩判據(jù)，其充分必要條件是n維矩陣A和B組成的n維矩陣Gc秩為n，其中Gc＝[B AB A2B…An－1B]。

根據(jù)表3 各項(xiàng)參數(shù)可求得

把A和B代入Gc中，可計(jì)算出4 維矩陣Gc。通過(guò)使用MATALB 軟件調(diào)用rank（ctrb（A，B））可以得到Gc的秩為4，即矩陣Gc滿秩，所以系統(tǒng)是可控的。

2.2 系統(tǒng)的可觀性分析

系統(tǒng)可觀性描述的是通過(guò)輸出估計(jì)系統(tǒng)可能的輸入，可觀性判別的充分必要條件是n維矩陣A和B組成的n維矩陣Go秩為n，其中Go＝[C CA CA2…CAn－1]T。

同理，把A和B代入Go中，可計(jì)算出4 維矩陣Go的秩。通過(guò)使用MATLAB 軟件調(diào)用rank（obsv（A，C））可以得到Go的秩為4，即矩陣Go滿秩，所以系統(tǒng)是可觀的。

通過(guò)上述分析可以得出，該系統(tǒng)具備可控性和可觀性，故而采用LQR 控制方法具備可行性。

2.3 最優(yōu)跟蹤控制

首先，重寫直升機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程

構(gòu)造一個(gè)狀態(tài)反饋控制器：

則該系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤控制指標(biāo)為

式中，K為狀態(tài)反饋增益，xd為系統(tǒng)期望跟蹤軌跡，Q和R均是正定對(duì)稱矩陣。

由于該系統(tǒng)滿足可控性和可觀性，為使（8）式取得極小值，有輸出的近似最優(yōu)跟蹤控制方程為

Riccati 矩陣代數(shù)方程為

式中，P是（10）式的唯一正定對(duì)數(shù)解，常量伴隨陣

閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

通過(guò)上式及初始條件x(0) ＝x0，即可求出近似最優(yōu)軌跡x?(t)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

通過(guò)對(duì)所設(shè)計(jì)控制策略進(jìn)行仿真分析，可以進(jìn)一步理解LQR 控制器的設(shè)計(jì)思路，同時(shí)對(duì)二自由度直升機(jī)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，首先測(cè)試PID 的控制效果，并求得相關(guān)參數(shù)。經(jīng)過(guò)多次調(diào)整參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，選取比例系數(shù)Kp＝10，積分系數(shù)Ki＝0.5，微分系數(shù)Kd＝1 時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能更好。具體實(shí)驗(yàn)步驟如下：

俯仰軸自由，偏航軸固定，在階躍信號(hào)作用下得到俯仰軸30 s內(nèi)的輸出響應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 PID 控制俯仰軸輸出階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of PID controlled pitch axis output

俯仰軸固定，偏航軸自由，在階躍信號(hào)作用下得到偏航軸30 s內(nèi)的輸出響應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 PID 控制偏航軸輸出階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of PID controlled yaw axis output

俯仰軸自由，偏航軸自由，同時(shí)設(shè)置俯仰軸和偏航軸跟蹤一個(gè)近似正弦波信號(hào)，其中俯仰軸正弦信號(hào)是一個(gè)幅度值為0.5 rad、周期值為2.5 s、脈沖幅度為50%周期值，跟蹤時(shí)長(zhǎng)20 s；偏航軸正弦波信號(hào)是一個(gè)幅度值為1.2 rad、周期值為5 s、脈沖幅度為50%周期值，跟蹤時(shí)長(zhǎng)30 s。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6 和圖7 所示。

圖6 PID 跟蹤俯仰軸性能Fig.6 Pitch axis performance of PID tracking

圖7 PID 跟蹤偏航軸性能Fig.7 Yaw axis performance of PID tracking

由圖6 和圖7 可以觀察到PID 控制同時(shí)跟蹤俯仰軸和偏航軸效果不佳，與期望曲線有較大差距。其中俯仰軸主要是信號(hào)存在一定延遲，響應(yīng)過(guò)慢；而偏航軸受強(qiáng)耦合影響嚴(yán)重，輸出信號(hào)完全無(wú)法滿足期望信號(hào)要求。

另采用LQR 控制器進(jìn)行測(cè)試，同時(shí)設(shè)置俯仰軸和偏航軸跟蹤一個(gè)近似正弦波信號(hào)，其中俯仰軸正弦信號(hào)是一個(gè)幅度值為0.5 rad、周期值為20 s、脈沖幅度為50%周期值，跟蹤時(shí)長(zhǎng)20 s；偏航軸正弦波信號(hào)是一個(gè)幅度值為2.5 rad、周期值為25 s、脈沖幅度為50%周期值，跟蹤時(shí)長(zhǎng)30 s。

在LabVIEW 軟件中構(gòu)建基于LQR 控制策略的二自由度直升機(jī)仿真程序，如圖8 所示，通過(guò)前面板定義系統(tǒng)的Q矩陣和R矩陣。

圖8 LabVIEW 程序框圖Fig.8 LabVIEW program block diagram

圖9 LQR 跟蹤俯仰軸性能Fig.9 Pitch axis performance of LQR tracking

圖10 LQR 跟蹤偏航軸性能Fig.10 Yaw axis performance of LQR tracking

傳統(tǒng)PID 控制受強(qiáng)耦合影響嚴(yán)重，無(wú)法準(zhǔn)確跟蹤俯仰軸和偏航軸信號(hào)，而LQR 控制相比之下效果更好。從圖9 和圖10 可以看出，俯仰軸響應(yīng)速度更快，信號(hào)延遲得到改善，雖仍存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，可能是建模時(shí)未考慮庫(kù)倫摩擦，但基本能跟蹤期望軌跡。偏航軸的運(yùn)動(dòng)跟蹤控制雖存在一定延遲，但幾乎沒(méi)有誤差，經(jīng)過(guò)多次反復(fù)實(shí)驗(yàn)，其跟蹤性能良好，基本可以滿足設(shè)計(jì)要求。

綜上所述，采用LQR 控制方法所取得的效果良好，基本可以滿足該系統(tǒng)的跟蹤控制要求。

4 結(jié)語(yǔ)

研究二自由度直升機(jī)姿態(tài)控制策略，往往存在解決強(qiáng)耦合的難點(diǎn)，采用傳統(tǒng)PID 控制對(duì)于單一姿態(tài)角具有較好的控制效果，而在同時(shí)控制兩個(gè)姿態(tài)角的過(guò)程中表現(xiàn)出較差的跟蹤控制能力。為滿足二自由度直升機(jī)系統(tǒng)的性能要求，本文研究了LQR 控制方法，設(shè)計(jì)出一種狀態(tài)反饋控制器，建立了二自由度直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，確定了最優(yōu)控制規(guī)律，并利用LabVIEW 構(gòu)建軟件平臺(tái)，最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)俯仰角度和偏航角度的實(shí)時(shí)跟蹤。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LQR 控制克服了傳統(tǒng)PID 控制的缺陷，同時(shí)跟蹤控制兩個(gè)姿態(tài)角的效果良好，能夠基本達(dá)到系統(tǒng)的運(yùn)行目標(biāo)，有效解決了系統(tǒng)的耦合性。