亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        Rn上的測度雙K-框架

        2021-12-31 02:51:46尚蒙娟朱玉燦
        關(guān)鍵詞:上界下界界線

        尚蒙娟, 朱玉燦

        (福州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 福州 350108)

        0 引言

        Hilbert空間中的框架作為標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種推廣, 兩者不同的關(guān)鍵在于空間中的元素用框架展開的表達(dá)式是不唯一的. 目前, 框架理論已廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域, 參見文獻(xiàn)[1-3].

        雖然框架重構(gòu)表達(dá)式的形式看起來不復(fù)雜, 但計(jì)算量稍大.而緊框架比框架的重構(gòu)表達(dá)式的形式更簡潔, 計(jì)算更簡單, 因此緊框架比框架應(yīng)用領(lǐng)域更廣泛.每個(gè)框架都可以延拓為緊框架.是否每個(gè)K-框架也可以延拓為緊K-框架? 答案是不行, 具體參見命題1.但是雙K-框架卻可以延拓為緊K-框架, 所以研究雙K-框架很重要.類似地討論雙K-框架的推廣, 即測度雙K-框架.

        在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上, 引入測度雙K-框架的概念.由于雙K-框架是近幾年剛提出的, 因此對雙K-框架性質(zhì)的研究文獻(xiàn)較少.本研究主要討論雙K-框架的一些性質(zhì), 研究任一個(gè)測度雙K-框架可以膨脹為緊測度K-框架; 分析不同空間的測度雙K-框架在算子擾動(dòng)下的穩(wěn)定性.

        采用如下記號(hào):H是一個(gè)可分的復(fù)Hilbert空間,I是H的恒等算子.設(shè)H1,H2是兩個(gè)復(fù)Hilbert空間,B(H1,H2)表示從H1到H2的所有有界線性算子的集合.特別地,B(H)表示從H到H的所有有界線性算子的集合.若T∈(H1,H2), 則用R(T)和NT分別表示算子T的值域和核,Ω表示Rn的非空子集, B表示Ω上的Borelσ-代數(shù), 其元素稱為Borel集,M(Ω, B)為定義在B上的有限正測度集合.

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1[7]設(shè)μ∈M(Ω, B), 若存在正數(shù)α,β, 使得對于?x∈Rn, 有:

        (1)

        則稱μ為Rn上的測度框架, 其中α,β分別為測度框架μ的下界、 上界.特別地,α的上確界和β的下確界分別成為測度K-框架的最佳下界和最佳上界.若只有式(1)右邊不等式成立, 則稱μ為Rn的Bessel測度.若α=β, 則稱μ為Rn的緊測度框架.若α=β=1, 則稱μ為Rn的Parseval測度框架.

        對于Rn的Bessel測度μ∈M(Ω, B), 稱有界線性算子θμ滿足:

        θμ:Rn→L2(Ω,μ),θμx=〈x, ·〉Rn

        (2)

        (3)

        (4)

        稱Sμ為μ的框架算子.

        定義2[14]設(shè)K∈B(Rn),μ∈M(Ω, B)稱為Rn上的測度K-框架, 若存在正數(shù)α,β, 對于?x∈Rn, 有:

        (5)

        其中:α,β分別為測度K-框架μ的下界、 上界.特別地,α的上確界和β的下確界分別成為測度K-框架的最佳下界和最佳上界.

        (6)

        定義4[15]設(shè)K1∈B(H1),K2∈B(H2), 若存在可逆的有界線性算子T:H2→H1滿足:TK2T*=K1, 則稱K1,K2關(guān)于算子T相似等價(jià)的.

        定義5設(shè)K∈B(Rn), 稱μ∈M(Ω, B)為Rn上的測度雙K-框架, 若存在正數(shù)α,β, 使得

        (7)

        稱α,β分別為測度雙K-框架μ的下界、 上界.特別地,α的上確界和β的下確界分別稱為測度雙K-框架的最佳下界和最佳上界.若α=β, 則稱μ為Rn的緊測度K-框架.

        注1若K=I時(shí), 則μ為Rn上的測度框架, 從而測度雙K-框架可視為測度框架的一種推廣.

        2 一些引理

        引理1[16]若T∈B(H)且T有閉值域, 則1)~3)成立.

        1) 存在唯一的算子T+∈B(H)滿足:

        稱T+為T的偽逆算子, 特別地, 如果T為可逆的有界線性算子, 則T+=T-1.

        2)T+T=πR(T+),TT+=πR(T), 其中πR(T+)和πR(T)分別是從H到R(T+)和R(T)上的正交投影.

        3)R(T*)是H的一個(gè)閉子空間, (T*)+=(T+)*.

        引理2[17]若T∈B(H), 則Ⅰ)~Ⅲ)成立.

        Ⅲ) 如果H的四個(gè)子空間R(T),R(T*),R(TT*),R(T*T)中有一個(gè)是閉子空間, 則其他三個(gè)也是閉子空間.

        3 測度雙K-框架

        下面討論利用測度K-框架來構(gòu)造R(K)上的測度雙K-框架.

        定理1設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的測度K-框架,K∈B(Rn), 則μ∈M(Ω, B)是R(K)的測度雙K-框架.

        證明 因?yàn)棣獭蔒(Ω, B)是Rn的測度K-框架, 所以

        命題1設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的界為0<α≤β<∞的測度K-框架, 如果存在Rn的Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架, 則μ∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K-框架.

        證明 如果存在Rn的Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架, 即:

        則:

        又因?yàn)棣獭蔒(Ω, B)是Rn的測度K-框架, 所以下式成立.

        故μ∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K-框架.

        由測度框架的若干性質(zhì)知, 在一定條件下, 任給一個(gè)測度框架添加測度框架后使之成為緊測度框架[8].由命題1知, 測度K-框架膨脹為緊測度K-框架, 只能是測度雙K-框架, 類似于測度框架提升的證明, 可以得到測度雙K-框架可以向緊測度K-框架的膨脹.

        定理2設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的界為0<α≤β<∞的測度雙K-框架, 則存在Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架, 其中λ>β.

        證明 設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K-框架, 其框架算子為Sμ, 則存在正數(shù)α,β, 使得:

        從而對任意x∈Rn, 有:

        故存在Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架.

        先考慮兩個(gè)相似等價(jià)算子K1,K2所刻畫的測度雙K1-框架和測度雙K2-框架之間的關(guān)系.

        定理3設(shè)K1∈B(Rn),K2∈B(Rn)是關(guān)于可逆的有界線性算子T:Rn→Rn相似等價(jià)的,μ∈M(TΩ,TB)是Rn的測度雙K1-框架.則ν=μ°T∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K2-框架.

        證明 由于μ∈M(TΩ,TB)是Rn的測度雙K1-框架, 則:

        令ν=μ°T∈M(Ω, B), 于是對任意y∈Rn, 有:

        即對任意y∈Rn, 有:

        又對任意y∈Rn, 有:

        從而

        故ν=μ°T∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K2-框架.

        進(jìn)一步討論, 不同空間的測度雙K-框架在有界線性算子擾動(dòng)下的穩(wěn)定性.

        證明 設(shè)μ∈M(T+Ω,T+B)是Rn的測度雙K1-框架, 則:

        又T∈B(Rn,Rm), 且Rm是有限維空間, 所以R(T)是閉的, 由引理1得到T的偽逆算子T+存在, 且TT+|R(T)=IR(T).由Ω?R(T), 據(jù)引理1得:TT+Ω=Ω.對每個(gè)ω∈Ω, 令z=T+(ω), 則Tz=TT+ω=ω,ω∈Ω.所以對任意x∈Rm, 有:

        從而對任意x∈Rm, 有:

        從而

        故ν=μ°T+∈M(Ω, B)是Rm的測度雙K2-框架.

        猜你喜歡
        上界下界界線
        The Beasts Within
        有界線性算子的Drazin逆的逆序律
        一個(gè)三角形角平分線不等式的上界估計(jì)
        Lower bound estimation of the maximum allowable initial error and its numerical calculation
        一道經(jīng)典不等式的再加強(qiáng)
        關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)行政區(qū)域界線管理維護(hù)邊界地區(qū)社會(huì)穩(wěn)定的意見
        婚姻的智慧,是分寸和界線
        海峽姐妹(2016年7期)2016-02-27 15:21:26
        矩陣Hadamard積的上下界序列
        最大度為10的邊染色臨界圖邊數(shù)的新下界
        Nekrasov矩陣‖A-1‖∞的上界估計(jì)
        久久成人精品国产免费网站| 欧美一区波多野结衣第一页| 啪啪网站免费观看| 极品少妇一区二区三区| 欧洲美熟女乱av亚洲一区| 亚洲精品字幕| 中文字幕人妻中文| 女同性恋看女女av吗| 国产情侣一区二区三区| 五级黄高潮片90分钟视频| 国产无套视频在线观看香蕉| 午夜精品人妻中字字幕| 亚洲免费观看视频| 日韩免费无码一区二区三区 | 亚洲国产精品久久久久秋霞小说| 99精品热这里只有精品| 97精品国产高清自在线看超| 日本精品一区二区三区试看 | 国产成人综合久久亚洲精品| 中文字幕久无码免费久久| 亚洲精品在线一区二区三区| 2021国产精品视频网站| 中国老妇女毛茸茸bbwbabes| 亚洲欧美日韩精品高清| 国产自拍av在线观看| 精品精品国产自在97香蕉| 久久久久亚洲av无码尤物| 女同性恋亚洲一区二区| 99久久婷婷国产亚洲终合精品| 久久国内精品自在自线图片| 粉嫩极品国产在线观看| 国产精品美女一区二区av| 国产高清av在线播放| 两个人看的www中文在线观看| 日韩精品极品视频在线免费| 日本久久伊人特级黄色| 97夜夜澡人人爽人人喊中国片| 久久久久亚洲AV片无码乐播| 国产一区二区免费在线视频| 亚洲春色在线视频| 亚洲两性视频一三区|