陳建華，丁 冬，于希娟，丁 紅，忻 煜

（1. 國網(wǎng)冀北電力有限公司，北京市 100053；2. 國網(wǎng)北京市電力公司，北京市 100031；3. 國網(wǎng)北京市電力公司電力科學(xué)研究院，北京市 100075）

0 引言

經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題是電力系統(tǒng)運行中最重要的優(yōu)化問題之一［1-2］，其目的是在保證電力系統(tǒng)安全運行的前提下，通過優(yōu)化調(diào)整機(jī)組出力實現(xiàn)系統(tǒng)運行經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)的目的［3-4］。目前，經(jīng)濟(jì)調(diào)度運行中，一般認(rèn)為機(jī)組運行成本與機(jī)組出力之間為簡單的二次多項式關(guān)系。但實際上，對大型發(fā)電機(jī)組來說，其進(jìn)氣閥突然開啟時出現(xiàn)的拔絲現(xiàn)象會在機(jī)組耗量曲線上疊加一個脈動效果，產(chǎn)生閥點效應(yīng)，從而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題呈現(xiàn)非光滑和非凸特性，增加了模型的復(fù)雜度，給優(yōu)化求解帶來較大難度［5］。

以往對于考慮閥點效應(yīng)的有功調(diào)度問題的研究主要以啟發(fā)式算法為主，包括粒子群優(yōu)化算法［6-7］、自組織遷移算法、人工蜂群算法、人工免疫算法、共生生物搜索算法、和聲搜索算法［8-14］等。部分研究將2 種或多種算法進(jìn)行混合求解［15-19］，其中先由一種方法進(jìn)行初步搜索，以縮小搜索范圍，然后用另外一種方法進(jìn)行精細(xì)搜索，以達(dá)到最優(yōu)。啟發(fā)式算法的優(yōu)點在于對優(yōu)化問題的形狀要求較少，對于非凸非光滑優(yōu)化問題也能獲得優(yōu)化解。但啟發(fā)式算法每一次優(yōu)化結(jié)果均不相同，存在前后兩次結(jié)果差別較大的情況，且結(jié)果不能復(fù)現(xiàn)，因此，目前尚難以在實際現(xiàn)場應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)優(yōu)化領(lǐng)域，對于此類非凸非光滑優(yōu)化問題，一般采用分段線性化方法進(jìn)行求解，但由此會產(chǎn)生2 個問題：一是優(yōu)化模型中引入了整數(shù)變量，從而變?yōu)榛旌险麛?shù)規(guī)劃問題，降低了求解效率；二是對于存在多個局部最優(yōu)點的優(yōu)化問題，可能會出現(xiàn)最優(yōu)解來回跳變，從而導(dǎo)致優(yōu)化過程不收斂問題。

本文提出一種改進(jìn)的拉格朗日松弛有功調(diào)度算法，以考慮發(fā)電機(jī)閥點效應(yīng)影響。提出一種二次多項式分段擬合算法及基于近端梯度法的增廣求解策略，能夠在確保結(jié)果最優(yōu)性的基礎(chǔ)上加快收斂速度。

1 考慮閥點效應(yīng)的有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題模型

有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件分析如下。

1）目標(biāo)函數(shù)

一般以火電機(jī)組煤耗最小作為有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，如式（1）所示。

式中：f(pi)為火電機(jī)組i的煤耗成本，pi為機(jī)組i的有功出力；ai，bi，ci為機(jī)組i的煤耗成本系數(shù)。

當(dāng)考慮閥點效應(yīng)時，式（1）將轉(zhuǎn)變?yōu)槭剑?）。

式中：n為系統(tǒng)中所有火電機(jī)組數(shù)量；ei和fi為常數(shù)；為第i臺機(jī)組的有功出力下限。

2）約束條件

發(fā)電負(fù)荷平衡約束為：

式中：D為系統(tǒng)負(fù)荷需求預(yù)測值。

發(fā)電機(jī)出力限值約束為：

輸電斷面容量約束為：

可以看出，當(dāng)考慮常規(guī)機(jī)組閥點效應(yīng)時，優(yōu)化目標(biāo)將由傳統(tǒng)的凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉峭狗枪饣瑑?yōu)化問題。由于目前未有針對這一問題的有效求解策略，使得經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題優(yōu)化求解困難。

2 改進(jìn)拉格朗日松弛法求解算法

2.1 整體求解流程

對第1 章中的有功經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型，采用拉格朗日松弛法進(jìn)行求解，對應(yīng)的拉格朗日對偶問題如式（6）所示。

式中：C為常數(shù)項。

可以看出，式（7）可以看成是多個單機(jī)約束的優(yōu)化子問題之和。因此，原優(yōu)化問題可以表示為多個并行的單機(jī)優(yōu)化子問題，每個子問題中的變量及約束僅與一臺機(jī)組相關(guān)，而與其他機(jī)組無關(guān)。子問題的表達(dá)式如式（8）所示。

對于傳統(tǒng)有功調(diào)度問題而言，f(pi)為二次多項式函數(shù)，因此，子問題為二次規(guī)劃問題，最優(yōu)解可以較容易獲得。

在子問題獲得最優(yōu)解后，通過次梯度法更新主問題的拉格朗日乘子，并不斷對主問題、子問題進(jìn)行迭代，即可逐漸逼近最優(yōu)解。

2.2 考慮閥點效應(yīng)的改進(jìn)拉格朗日松弛算法

當(dāng)考慮閥點效應(yīng)時，f(pi)轉(zhuǎn)變?yōu)槭剑?）的非凸非光滑函數(shù)形式，如圖1 所示，導(dǎo)致傳統(tǒng)的數(shù)值優(yōu)化算法不再適用。

圖1 考慮閥點效應(yīng)的機(jī)組煤耗成本與有功出力關(guān)系Fig.1 Relationship between coal consumption cost and active power output of generator considering valve-point effect

式中：αi，k、βi，k、γi，k為第i臺機(jī)組第k分段二次擬合多項式系數(shù)。

以圖1 所示的發(fā)電機(jī)有功出力曲線為例，二次多項式擬合的誤差曲線如圖2 所示。其中，擬合誤差=|擬合值- 真實值|/機(jī)組額定出力下的煤耗成本。

圖2 擬合誤差曲線Fig.2 Fitting error curve

由圖2 可知，二次擬合最大誤差為0.25%左右，能夠滿足實際應(yīng)用需要。

將擬合后的二次多項式（9）代入式（2）可以得到火電機(jī)組煤耗成本為：

將式（14）代入式（8），可以得到此時拉格朗日子問題的表達(dá)式為：

式（15）為分段函數(shù)形式，其中，對第k分段來說，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，開口方向取決于二次項系數(shù)大小，對應(yīng)的二次項系數(shù)為：

因此，當(dāng)ai＞4ei f2i/π2時，最優(yōu)輸出功率為：

當(dāng)ai＜4ei f2i/π2時，最優(yōu)輸出功率為：

實際上，對絕大多數(shù)火電機(jī)組來說，ai取值一般在10-4～10-3之間，而ei的取值一般為102量級、fi的取值一般為10-2量級，因此，ai＜4ei f2i/π2總是成立，優(yōu)化過程中一般只需要考慮式（18）一種情況即可。式（18）表明，對于開口向下的二次函數(shù)，其最小值將在某一邊界處取得。因此，優(yōu)化問題簡化為只考慮每臺機(jī)組少數(shù)幾個閥點即可，此時需要松弛發(fā)電負(fù)荷平衡約束（v≥0），確保問題能夠收斂。

2.3 基于近端梯度法的改進(jìn)子問題求解策略

拉格朗日松弛法對原問題進(jìn)行對偶求解做法的一個主要缺點是要求原問題具有凸結(jié)構(gòu)，否則對偶問題的最優(yōu)解與原問題之間不僅存在對偶間隙，而且導(dǎo)致對偶問題收斂性較差，容易出現(xiàn)振蕩不收斂情況。

針對子問題的非連續(xù)可微特性，本文提出一種基于近端梯度法的改進(jìn)子問題求解方法。近端梯度法是一種特殊的梯度下降算法，主要用于求解目標(biāo)函數(shù)不可微的最優(yōu)化問題。如果目標(biāo)函數(shù)在某些點是不可微的，那么該點的梯度無法求解，傳統(tǒng)的梯度下降法也就無法使用。

近端梯度法的核心思想是通過proximal 映射，將不可微函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求解的proximal 映射函數(shù)，從而實現(xiàn)近似求解。假設(shè)約束函數(shù)f（x）的定義域為U，則自變量x的proximal 映射為：

本文在上式基礎(chǔ)上，通過在目標(biāo)函數(shù)中引入懲罰因子?，在不影響原優(yōu)化問題的優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，加快問題收斂速度。

式中：?為懲罰項系數(shù)；y為輔助變量。為加快收斂速度，在第λ次迭代時，本文令y取為第λ-1 次迭代時對應(yīng)的有功出力。

可以看出，式（20）優(yōu)化問題的最優(yōu)解p*i與式（15）優(yōu)化問題最優(yōu)解相同，且在最優(yōu)解處，有y=p*i。因此，二次懲罰項的加入不影響原優(yōu)化問題的優(yōu)化結(jié)果。

對于式（20）的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣為：

當(dāng)?取值過小時，將導(dǎo)致優(yōu)化問題Hesssian 矩陣條件數(shù)過大，從而導(dǎo)致優(yōu)化問題病態(tài)；而當(dāng)?取值過大時，優(yōu)化問題凸性不足，將導(dǎo)致優(yōu)化問題難以收斂。因此，合適的懲罰項系數(shù)選取對于保證優(yōu)化問題的最優(yōu)性及高效性具有重要意義。一般來說，為保證問題的收斂性，一般要求Hessian 矩陣為正定矩陣，即：

由式（22）、式（23）可知，?的取值區(qū)間建議為：

以2.2 節(jié)中發(fā)電負(fù)荷平衡約束松弛后獲得的解作為優(yōu)化初值，用式（20）替換式（15），通過對每一分段分別求解并比較各分段區(qū)間優(yōu)化解的經(jīng)濟(jì)性即可得到最優(yōu)煤耗及對應(yīng)的發(fā)電機(jī)組出力。

3 算例分析

3.1 40 機(jī)測試系統(tǒng)仿真結(jié)果

選取文獻(xiàn)［20］中的40 機(jī)測試系統(tǒng)作為研究對象，系統(tǒng)負(fù)荷需求為10 500 MW，懲罰項系數(shù)?取0.01。

不考慮閥點效應(yīng)時，有功調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的二次規(guī)劃問題，可以采用傳統(tǒng)的拉格朗日松弛法快速求解，得到最小運行成本為118 660.2 美元。

考慮閥點效應(yīng)時，采用本文方法及與其他方法優(yōu)化結(jié)果比較如表1 所示。

表1 幾種方法優(yōu)化結(jié)果比較（40 機(jī)測試系統(tǒng)）Table 1 Comparison of optimization results of several methods（40-machine test system）

由表1 可見，當(dāng)考慮閥點效應(yīng)時，系統(tǒng)運行成本由118 660.2 美元至少增加到121 412.5 美元，升高了2.32%，可見發(fā)電機(jī)閥點效應(yīng)特性對系統(tǒng)調(diào)度運行的經(jīng)濟(jì)性具有明顯影響。

同時，本文方法計算結(jié)果為121 459.6 美元，僅比全局最優(yōu)解（121 412.5 美元）高0.03%左右，但計算時間僅為1.34 s，計算效率明顯高于混合整數(shù)規(guī)劃法。同時，本文方法計算結(jié)果也明顯優(yōu)于其他6 種計算方法，且計算所需時間最短、效率最高。本文方法的收斂特性曲線如圖3 所示，經(jīng)過200 次左右迭代，本文方法能夠快速逼近最優(yōu)點。

圖3 所提算法收斂特性Fig.3 Convergence characteristic of proposed algorithm

3.2 48 機(jī)測試系統(tǒng)仿真結(jié)果

以文獻(xiàn)［24］中的48 機(jī)測試系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)包括26 臺傳統(tǒng)火力發(fā)電機(jī)組、12 臺熱電聯(lián)產(chǎn)機(jī)組及10 臺供熱機(jī)組。系統(tǒng)負(fù)荷需求為4 700 MW，供熱需求為2 500 MWth，懲罰項系數(shù)?取值為0.9。

采用本文方法與其他方法的優(yōu)化結(jié)果比較如表2 所示，每一臺機(jī)組的優(yōu)化結(jié)果比較如附錄A 表A1所示。

表2 幾種方法優(yōu)化結(jié)果比較（48 機(jī)測試系統(tǒng)）Table 2 Comparison of optimization results of several methods（48-machine test system）

由表2 可見，受優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)、約束條件均存在強(qiáng)非凸性的影響，傳統(tǒng)拉格朗日松弛法無法收斂，采用混合整數(shù)規(guī)劃法可以得到最優(yōu)的優(yōu)化結(jié)果，但算法運行時間較長，為84.82 s，效率較低。本文方法煤耗成本僅為115 806.55 美元，僅高于全局最優(yōu)解0.12%。與其他幾種方法相比，本文方法煤耗成本也最低。同時，本文方法運行時間僅為6.29 s，遠(yuǎn)小于其他幾種方法，計算效率高。同時，對于現(xiàn)場實際應(yīng)用來說，本文方法具有可重復(fù)性，且只需要運行一次即可獲得最優(yōu)解，而啟發(fā)式算法需要反復(fù)運行多次，且一般不能復(fù)現(xiàn)結(jié)果。

本文方法的收斂特性曲線如附錄B 圖B1和圖B2所示。可見，經(jīng)過600 次左右迭代，本文方法能夠逐漸逼近最優(yōu)點。根據(jù)式（23）可知，要保證結(jié)果的收斂性，懲罰項系數(shù)?的取值范圍應(yīng)為[0，1.749]。對不同?取值下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析，如表3 所示。

表3 不同懲罰項系數(shù)時的優(yōu)化結(jié)果比較Table 3 Comparison of optimization results with different penalty term coefficients

由表3 可見，當(dāng)?在允許區(qū)間范圍內(nèi)取值時，優(yōu)化結(jié)果及計算效率差別不大；當(dāng)?取值超出允許區(qū)間時，優(yōu)化過程不收斂。特別的，當(dāng)?取為∞時，優(yōu)化模型轉(zhuǎn)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的拉格朗日松弛算法，此時，優(yōu)化過程不收斂。

進(jìn)一步，考慮不同負(fù)荷需求水平及供熱需求水平，本文方法的收斂性如附錄B 圖B3 所示。由圖B3 可見，在不同負(fù)荷需求及供熱需求水平下，本文方法均能夠快速收斂，證明了本文方法的魯棒性。同時可以看出，負(fù)荷水平變化時的收斂曲線具有一定的振蕩性，與不同供熱需求水平下的收斂曲線具有較大差異，這是由于考慮常規(guī)機(jī)組閥點效應(yīng)時優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的非凸非光滑特性導(dǎo)致的。

4 結(jié)語

考慮閥點效應(yīng)的有功調(diào)度問題，以往的研究主要集中于啟發(fā)式算法。本文提出一種基于數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的求解策略，通過對拉格朗日松弛法進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合近端梯度算法，消除了發(fā)電機(jī)閥點效應(yīng)導(dǎo)致的非凸非光滑特性的影響。同時，提出一種二次多項式分段擬合及基于近端梯度法的增廣優(yōu)化求解策略。40 機(jī)及48 機(jī)兩個測試系統(tǒng)上的優(yōu)化結(jié)果表明：本文方法收斂性好、運行效率較高，較為適合在現(xiàn)場實際應(yīng)用。

同時，需要指出的是，考慮閥點效應(yīng)的有功調(diào)度問題為非凸優(yōu)化問題，由于對偶間隙的存在，拉格朗日松弛法在求解此類問題時，只能得到局部最優(yōu)解。下一步需要對此進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)合其他數(shù)學(xué)規(guī)劃算法的優(yōu)點，尋求能夠快速獲得全局最優(yōu)解的高效算法。

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