白銀川， 楊 濤

（上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093）

以樁體為豎向增強(qiáng)體的復(fù)合地基技術(shù)不僅使地基承載力得到了極大提高，還會增強(qiáng)路基邊坡的穩(wěn)定性，減少地基沉降和工后沉降并加快其固結(jié)過程，在世界各國軟土地基加固工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用。

復(fù)合地基固結(jié)理論一直是復(fù)合地基理論研究的核心問題之一。砂樁和碎石樁等散體材料樁的剛度較小但滲透性遠(yuǎn)大于樁間土，散體材料樁加速復(fù)合地基固結(jié)的機(jī)理較為明確。國內(nèi)外學(xué)者基于砂井地基固結(jié)理論，考慮樁體應(yīng)力集中效應(yīng)提出了大量散體材料樁復(fù)合地基的固結(jié)計算模型。CFG樁、低強(qiáng)度混凝土樁和水泥土樁都為不排水樁，剛度較大但不排水，不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)機(jī)理比較復(fù)雜。Horpibulsuk等[1]進(jìn)行了水泥土樁復(fù)合地基固結(jié)特性室內(nèi)模型試驗，發(fā)現(xiàn)端承樁復(fù)合地基比天然地基的固結(jié)要快很多，Chai等[2]認(rèn)為這主要是加固區(qū)復(fù)合固結(jié)系數(shù)遠(yuǎn)大于地基土固結(jié)系數(shù)的緣故。楊濤等[3]和章定文等[4]分別采用數(shù)值模擬和室內(nèi)模型試驗的方法，對懸浮和打穿軟土的不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)特性作了比較分析，發(fā)現(xiàn)后者比前者固結(jié)更快，樁的貫入比較小時不排水懸浮樁復(fù)合地基的固結(jié)甚至比天然地基還要慢。盧萌盟等[5]和Gong等[6]分別在變荷載作用下得到端承不排水樁和懸浮水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解。朱洵等[7]和陳宙翔等[8]分別建立了瞬時荷載下考慮樁間土非飽和和非線性的端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解。楊濤等[9-10]給出了變荷載下懸浮釘形攪拌樁復(fù)合地基和瞬時荷載下多元不排水長–短樁復(fù)合地基的固結(jié)計算模型。張丹貝等[11]考慮真空作用，建立了懸浮不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解。

上述不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計算模型都是在樁土等豎向應(yīng)變假設(shè)下建立的。然而，在路堤等柔性基礎(chǔ)下以及帶柔性墊層的剛性基礎(chǔ)下的復(fù)合地基中，樁與樁間土的沉降不同，樁的沉降比樁間土小，路堤下復(fù)合地基中這種現(xiàn)象更為明顯。顯然，這些情況下等豎向應(yīng)變假設(shè)并不成立。李耀琨等[12]和Lang等[13]分別建立了剛性基礎(chǔ)下有墊層端承和懸浮剛性樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解，可以考慮樁體上、下刺入的影響。目前，柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計算理論的研究成果較少。楊濤等[14-15]對此進(jìn)行了初步研究，在等應(yīng)力條件下給出路堤下端承不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解，但解答中復(fù)合壓縮模量仍然采用基于等應(yīng)變假設(shè)的面積比公式計算，且解答不能揭示路堤荷載下樁土差異沉降的影響機(jī)理。顯然，進(jìn)一步研究柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計算方法是非常必要的。鑒于此，本文建立了考慮樁–土間差異沉降的端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)簡化解析解，可為同類實際工程設(shè)計提供參考。

1 基本假定與軸對稱固結(jié)模型

1.1 基本假設(shè)

公式推導(dǎo)采用如下基本假設(shè)：

a.樁為不排水樁。樁和樁間土都為線彈性體，它們僅發(fā)生豎向變形，樁–土界面處不發(fā)生相對滑移。

b.樁間土是飽和的，僅發(fā)生豎向滲流，滲流符合達(dá)西定律。

c.外荷載p(t)大面積施加，在待加固地基中引起的豎向附加應(yīng)力σ(t)沿深度均布。

1.2 軸對稱固結(jié)模型

柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的軸對稱固結(jié)模型如圖1所示。不排水樁的半徑和長度分別為rp和H，其彈性模量和壓縮模量分別為Epe和Ep。單樁影響區(qū)半徑為re，它與樁間距s及布樁方式有關(guān)：三角形布樁時re=0.525 s，正方形布樁時re=0.565 s。不排水樁的置換率m=(rp/re)2。樁間土的豎向滲透系數(shù)、泊松比、彈性模量及壓縮模量分別為kv，μs，Ese和Es。由于是柔性基礎(chǔ)，大面積均布荷載p(t)施加在復(fù)合地基表面上，任意時刻樁頂沉降為wp(t)，同一時刻樁間土表面任一點的沉降為ws(r,t)，后者大于前者。r和z為徑、豎向坐標(biāo)。

圖1 復(fù)合地基固結(jié)模型Fig.1 Consolidation model of the composite ground

2 固結(jié)方程及其解答

2.1 固結(jié)方程

根據(jù)Alamgir等[16]的研究，p(t)作用下柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基中樁頂沉降wp(t)和樁間土表面沉降ws(r,t)存在下述關(guān)系：

式中，αc(t)和βc為待定的位移參數(shù)，前者隨加荷過程而變化。

根據(jù)任意時刻固結(jié)模型外邊界r=re上的剪應(yīng)力為0，可以得到βc滿足如下超越方程：

式（2）表明βc只與樁的置換率m有關(guān)。求解方程式（2）可以得到βc隨樁置換率m的變化規(guī)律，如圖2所示。擬合后可得到二者的如下關(guān)系：

圖2 βc隨不排水樁置換率變化曲線Fig.2 Variation of βc with area replacement ratio of undrained column

將軸對稱固結(jié)模型離散化，如圖3所示。將樁分成L個單元，各單元厚度ΔH=H/L；將樁間土分成L×N個環(huán)狀單元，其厚度等于樁單元的厚度，徑向?qū)挾??r=(re–rp)/N。參照Alamgir等[16]和楊濤[17]的推導(dǎo)過程，可以得到αc(t)的計算公式如下：

圖3 固結(jié)模型的離散Fig.3 Discretization of consolidation model

式中，ΔR=Δr/rp。

由于 σˉp(t)沿樁長并不均布，從式（4）可知αc(t)沿樁長也不均布。根據(jù)Alamgir等[16]的研究可知，它沿樁長的分布需要從上到下逐個對樁單元和模型外邊界處土單元進(jìn)行應(yīng)力計算才能獲得，工作量較大。參照楊濤[17]的研究，復(fù)合地基固結(jié)分析中可采用不隨樁長變化的 αˉc(t) ，計算公式如下：

柔性基礎(chǔ)下樁–土差異沉降隨距樁中心線距離的增加而逐漸增大。利用式（1）可計算出t時刻樁頂平面樁–土平均差異沉降δ(t)：

式（9）表明，δ(t)隨加荷過程逐漸變化。

參照李耀琨等的研究[12]，樁間土與樁的豎向應(yīng)變之間存在下述關(guān)系：

將式（9）代入式（10），并取 αc(t)=(t)，有

式中，D為常數(shù)，按下式計算：

吳慧明等[18]和方磊等[19]分別進(jìn)行了柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基現(xiàn)場試驗和室內(nèi)模型試驗，李國維等[20]進(jìn)行了填砂路堤下水泥土攪拌樁復(fù)合地基現(xiàn)場試驗。這些試驗發(fā)現(xiàn)：柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基樁土應(yīng)力隨荷載變化的規(guī)律與剛性基礎(chǔ)下的復(fù)合地基顯著不同，它隨荷載的增加先減小后增大然后趨于穩(wěn)定，最大值約為1.8，地基土的固結(jié)時間對其數(shù)值影響較小。此外，楊濤等[3]的研究表明，樁土應(yīng)力比的變化對柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)速率的影響不大。基于這些研究成果，建議固結(jié)分析時樁土應(yīng)力比n0(t)取2～3。

根據(jù)復(fù)合材料力學(xué)理論，待加固天然地基中豎向附加應(yīng)力σ(t)為復(fù)合地基的平均豎向應(yīng)力，則任意深度處σ(t)由樁和土共同承擔(dān)，有

由式（11）和式（14）可得

由樁間土質(zhì)量守恒定律，有

式中，γw為水的重度。

將式（15）代入式（16）可得變荷載下柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基樁間土的固結(jié)控制方程：

式中，cv=kvEs/γw為樁間土的豎向固結(jié)系數(shù)。

2.2 定解條件

考慮復(fù)合地基頂面排水底面不排水，變荷載下固結(jié)方程（18）的定解條件為

a.豎向邊界條件。

b.初始條件。

2.3 變荷載下固結(jié)一般解

在定解條件式(19)～(21)下不易求解非齊次的固結(jié)方程式(17)。為便于數(shù)學(xué)上求解，進(jìn)行如下函數(shù)變換：

將式(22)代入固結(jié)方程式(17)和定解條件式 (19)～(21)，有

由于上述變荷載下復(fù)合地基平均超靜孔壓定解問題的數(shù)學(xué)表述與相同荷載下天然地基一維固結(jié)問題定解問題的數(shù)學(xué)表述在形式上完全相同，根據(jù)Lu等[21]天然地基一維固結(jié)理論，容易解得復(fù)合地基平均超靜孔壓為

式中，M=(2i–1)π/2，i=1, 2，3,···,∞。

將式（27）代入式（22），得到樁間土的平均超靜孔壓:

利用式（27）給出的復(fù)合地基平均孔壓解答，按式（30）計算變荷載柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的整體平均固結(jié)度：

式中，σu為待加固地基中豎向附加應(yīng)力的最終值。

2.4 單級荷載下的解答

特殊地，考慮單級加荷情況。圖4給出單級外荷載作用下待加固天然地基豎向附加應(yīng)力σ(t)隨時間變化的曲線，它可表示為

圖4 單級荷載下豎向附加應(yīng)力曲線Fig.4 Vertical additional stress curve under ramp loading

式中，tc為加載時間。

將式（31）代入式（27），得到單級荷載下復(fù)合地基的平均超靜孔壓：

將式（32）代入式（22）即可得到單級荷載下樁間土的平均超靜孔壓：

將式（31）和式（32）代入式（30），得到單級荷載下復(fù)合地基的整體平均固結(jié)度：

3 算例驗證

工程設(shè)計中將路堤視為柔性基礎(chǔ)，故算例選取路堤下端承水泥土樁復(fù)合地基進(jìn)行固結(jié)分析。軟土地基厚度為H=20 m，無黏性土路堤高度為4 m，重度為 17 kN/m3。水泥土樁半徑rp=0.25 m，單樁影響區(qū)半徑re=0.7 m，相應(yīng)的置換率m=12.8%。水泥土樁、路堤填土和樁間土的壓縮模量、泊松比和滲透系數(shù)列于表1中。路堤單級填筑，每層0.5 m，總填筑時間tc=90 d。

表1 各材料參數(shù)Tab.1 Parameters of different materials

對路堤下水泥土樁復(fù)合地基進(jìn)行比奧固結(jié)有限元分析，采用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行計算。由于固結(jié)模型具有對稱性，取其右半部分進(jìn)行計算，如圖5所示。模型左、右邊界分別為對稱軸和外邊界，數(shù)值計算時約束左、右邊界的徑向位移，底部徑、豎向位移均約束。復(fù)合地基的表面排水，二側(cè)邊界和底邊界均不排水。各材料均采用線彈性模型，其彈性模量Et可根據(jù)它們的壓縮模量E1和泊松比μ按式Et=(1+μ)(1–2μ)E1/(1–μ)近似估算。路堤土和樁用軸對稱4結(jié)點四邊形單元（CAX4）離散，樁間土用軸對稱4結(jié)點四邊形應(yīng)力–孔壓耦合單元（CAX4P）離散，共剖分6720個單元，結(jié)點數(shù)為6989個。圖6給出復(fù)合地基有限元網(wǎng)格示意圖。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

圖6 有限元網(wǎng)格Fig.6 Finite element mesh

圖7給出本文解析解和有限元解獲得的路堤荷載下端承水泥土樁復(fù)合地基整體平均固結(jié)度U隨無量綱時間因數(shù)Tv=cvt/H2的變化曲線，解析解計算時n0=2.0，L=20，N=6。圖中也給出了盧萌盟等[5]基于等應(yīng)變假設(shè)的固結(jié)解析解的計算結(jié)果。從圖7中可以看出，本文固結(jié)度解析解計算的復(fù)合地基固結(jié)度曲線與有限元數(shù)值解的結(jié)果非常接近，兩者之差的絕對值不超過1.7%，說明本文解析解具有較高的計算精度。由于采用了等應(yīng)變假設(shè)，盧萌盟等[5]解析解計算的復(fù)合地基固結(jié)度數(shù)值大于本文解析解和有限元解，它與有限元解之差的絕對值不超過5.9%。假設(shè)樁土等應(yīng)變后固結(jié)度的數(shù)值偏大，原因在于高估了柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的剛度，即高估了不排水樁剛度的影響。本算例Ecsp=107 MPa，數(shù)值要小于樁的壓縮模量Ep=150 MPa。此外，圖7還表明，等應(yīng)變假設(shè)下端承不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率與路堤下復(fù)合地基固結(jié)速率的數(shù)值差別并不大。

圖7 不同解析解與有限元解的比較Fig.7 Comparison of various analytical solutions with FEM result

圖8給出由本文解析解、李耀琨等[12]解析解和盧萌盟等[5]等應(yīng)變解析解獲得的復(fù)合地基固結(jié)度曲線的比較。李耀琨等[12]的解答考慮了設(shè)置墊層的剛性基礎(chǔ)下復(fù)合地基樁–土沉降的不同，利用半無限彈性地基上圓形基礎(chǔ)沉降計算公式計算復(fù)合地基樁–土差異沉降，沒有考慮相鄰樁的影響。圖8表明，采用李耀琨等[12]解析解計算的水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)速率要大于本文解析解的計算結(jié)果，二者最大差值約4.3%，較之有限元解，二者最大相差約5.1%，其固結(jié)度曲線更靠近盧萌盟等[5]的等應(yīng)變解答。

圖8 本文解析解與其他解析解的比較Fig.8 Comparison of the proposed solution with several existing solutions

為考察樁土應(yīng)力比對復(fù)合地基固結(jié)速率的影響，用本文解析解計算出不同樁土應(yīng)力比下水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)度曲線，如圖9所示，樁土應(yīng)力比n0取2，3，5和7。圖9表明，不同樁土應(yīng)力比下復(fù)合地基的固結(jié)度曲線較為接近，說明對于諸如路堤等柔性基礎(chǔ)下的水泥土樁復(fù)合地基，其固結(jié)速率對樁土應(yīng)力比的變化不敏感，這與楊濤等[3]的數(shù)值模擬結(jié)果是一致的。n0從2變化到7時復(fù)合地基固結(jié)度略微增大，最大增幅不超過2.5%。圖9表明本文固結(jié)解析解中樁土應(yīng)力比n0取值2～3是合理的。

圖9 樁土應(yīng)力比對固結(jié)速率的影響Fig.9 Influence of column-soil stress ratio on the consolidation rate

4 結(jié) 論

a.建立了柔性基礎(chǔ)下端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解，可用于路堤荷載下不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)分析。

b.本文固結(jié)度解析解與有限元解具有較好的一致性，計算精度高于現(xiàn)有的考慮樁–土差異沉降的固結(jié)計算模型。

c.樁土應(yīng)力比對固結(jié)速率的影響不大。對柔性基礎(chǔ)下的水泥土樁復(fù)合地基可取2～3。

d.基于等應(yīng)變假設(shè)的不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計算模型更適合剛性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的固結(jié)分析。如果將它們用于路堤荷載下端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)分析，計算出的固結(jié)速率數(shù)值偏大。